2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 18:08 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
Имею физическую задачу, упирающуюся в интеграл по объему со смещенной дельта-функцией векторного аргумента вида: $$  \int_V f(r) \delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)\,dV.$$ Интегрирование должно проводиться сферической системе координат, поскольку задача имеет азимутальную симметрию. Вот здесь: http://www.fen.bilkent.edu.tr/~ercelebi/mp03.pdf описаны разные случаи вида дельта-функции в сферической системе координат. Моя проблема в другом. дело в том что в моем случае $\pmb{r}_0$ не постоянный вектор а такой, что его модуль является известной функцией от азимутального угла $\theta$. Я ни разу не математик а так себе физик, поэтому решил что в этом слуае для дельта-функции следует использовать представление: $\delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)=\delta(r-r_0(\theta))/(4\pi r^2)$, что сводит вышерассмотренный интеграл к виду: $$ \dfrac{1}{4\pi}\int_{0}^{\pi} f(r_0(\theta)) \, \sin \theta d\theta.$$ Прав ли я или дело обстоит несколько сложнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11355
Hogtown
reterty в сообщении #1631241 писал(а):
Прав ли я или дело обстоит несколько сложнее?
Неправы и дело обстоит гораздо проще. Вы были бы правы если бы там была $\delta (r-r_0)$ , а там $\delta (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$. Кстати, не читайте всяких глупостей и не тащите их сюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 20:36 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
Red_Herring в сообщении #1631253 писал(а):
reterty в сообщении #1631241 писал(а):
Прав ли я или дело обстоит несколько сложнее?
Неправы и дело обстоит гораздо проще. Вы были бы правы если бы там была $\delta (r-r_0)$ , а там $\delta (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$. Кстати, не читайте всяких глупостей и не тащите их сюда.

Тогда сдаюсь: не знаю как быть. Знаю лишь то, что поскольку модуль радиус-вектора зависит от азимутального угла то "что-то" и "как-то" интегрировать по $\theta$ придется, поскольку конечный результат от угла зависеть не должен.

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11355
Hogtown
reterty в сообщении #1631254 писал(а):
Тогда сдаюсь: не знаю как быть.
Все очень просто, по определению
$$\int f(\mathbf{r}) \delta (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) \, dV = f(\mathbf{r}_0).$$ Заметим, кстати что это интеграл определен по всему пространству, а не по какой-то области. Поэтому то, что вы притащили сюда ––глупость. Автор даже не определяет, что такое $V$.

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 20:57 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
Red_Herring в сообщении #1631257 писал(а):
reterty в сообщении #1631254 писал(а):
Тогда сдаюсь: не знаю как быть.
Все очень просто, по определению
$$\int f(\mathbf{r}) \delta (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) \, dV = f(\mathbf{r}_0).$$ Заметим, кстати что это интеграл определен по всему пространству, а не по какой-то области. Поэтому то, что вы притащили сюда ––глупость. Автор даже не определяет, что такое $V$.

но у меня $\mathbf{r}_0=g(\theta)$ а не постоянный вектор. Моя область интегрирования-все пространство, поэтому должно получиться число. И главное-$f(r)$ функция не вектора а его модуля. т.е. скалярная функция скалярного аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 21:29 
Аватара пользователя


11/12/16
14044
уездный город Н
во1х.
reterty в сообщении #1631258 писал(а):
И главное-$f(r)$ функция не вектора а его модуля. т.е. скалярная функция скалярного аргумента.


Можно подумать, что модуль вектора - это не скалярная функция от вектора :wink:

во2х.
reterty в сообщении #1631241 писал(а):
$$  \int_V f(r) \delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)\,dV.$$ Интегрирование должно проводиться сферической системе координат, поскольку задача имеет азимутальную симметрию.


Есть две выделенные точки: начало координат и $\mathbf{r_0}$.
Азимутальная симметрия в этом случае может быть только в одном случае - $\mathbf{r_0}$ лежит на оси $z$ системы координат.
Если же это не так, то возникают взаимоисключающие параграфы: либо интеграл записан неверно, либо азимутальная симметрия отсутствует.
UPD:
reterty в сообщении #1631258 писал(а):
но у меня $\mathbf{r}_0=g(\theta)$ а не постоянный вектор.

то таки взаимоисключающие параграфы.

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11355
Hogtown
reterty в сообщении #1631258 писал(а):
но у меня
То как вы объясняете--бессмысленно. Что такое $\mathbf{r}_0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 22:07 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
EUgeneUS в сообщении #1631268 писал(а):
во1х.
reterty в сообщении #1631258 писал(а):
И главное-$f(r)$ функция не вектора а его модуля. т.е. скалярная функция скалярного аргумента.


Можно подумать, что модуль вектора - это не скалярная функция от вектора :wink:

во2х.
reterty в сообщении #1631241 писал(а):
$$  \int_V f(r) \delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)\,dV.$$ Интегрирование должно проводиться сферической системе координат, поскольку задача имеет азимутальную симметрию.


Есть две выделенные точки: начало координат и $\mathbf{r_0}$.
Азимутальная симметрия в этом случае может быть только в одном случае - $\mathbf{r_0}$ лежит на оси $z$ системы координат.
Если же это не так, то возникают взаимоисключающие параграфы: либо интеграл записан неверно, либо азимутальная симметрия отсутствует.
UPD:
reterty в сообщении #1631258 писал(а):
но у меня $\mathbf{r}_0=g(\theta)$ а не постоянный вектор.

то таки взаимоисключающие параграфы.

В моем случае под азимутальной симметрией понимается то что модуль $r_0$ не зависит от полярного угла $\varphi$ вовсе, а является лишь функцией $\theta$ -азимутального угла.

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 22:28 
Аватара пользователя


11/12/16
14044
уездный город Н
reterty в сообщении #1631277 писал(а):
В моем случае под азимутальной симметрией понимается то что модуль $r_0$ не зависит от полярного угла $\varphi$ вовсе, а является лишь функцией $\theta$ -азимутального угла.


Вот и я говорю - взаимоисключающие параграфы.

-- 28.02.2024, 22:32 --

Кстати, в сферической системе координат принято называть $\theta$ - полярный угол, $\varphi$ - азимутальный угол.

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 22:39 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
EUgeneUS в сообщении #1631281 писал(а):
reterty в сообщении #1631277 писал(а):
В моем случае под азимутальной симметрией понимается то что модуль $r_0$ не зависит от полярного угла $\varphi$ вовсе, а является лишь функцией $\theta$ -азимутального угла.


Вот и я говорю - взаимоисключающие параграфы.

-- 28.02.2024, 22:32 --

Кстати, в сферической системе координат принято называть $\theta$ - полярный угол, $\varphi$ - азимутальный угол.

Да, Вы правы. Корректно будет: осевая симметрия или аксиальная симметрия.

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 22:49 
Аватара пользователя


11/12/16
14044
уездный город Н
reterty в сообщении #1631282 писал(а):
Да, Вы правы. Корректно будет: осевая симметрия или аксиальная симметрия.


Вы сами запутались, и меня путаете. Осевая симметрия - относительно поворотов вокруг какой оси?

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение28.02.2024, 23:29 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
EUgeneUS в сообщении #1631285 писал(а):
reterty в сообщении #1631282 писал(а):
Да, Вы правы. Корректно будет: осевая симметрия или аксиальная симметрия.


Вы сами запутались, и меня путаете. Осевая симметрия - относительно поворотов вокруг какой оси?

оси $z$. Повороты на произвольный азимутальный угол $\varphi$

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение29.02.2024, 06:31 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
Ок, давайте я тут попишу, и тогда станет понятно где корни моего непонимания. Пусть имеется интеграл вида $$  I=\int_V f(r) \delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)\,dV,$$ где $f(r)=r$ (для простоты). Область интегрирования - все пространство. Положим, что вектор $\pmb{r}_0$ в сферической системе координат имеет компоненты: $r_0=A \cos \theta$ (опять же взято для простоты; здесь $A$ - некоторая константа); $\theta_0=\theta$; $\varphi_0=\varphi$. Общее выражение для Дельта-функции в сферических координатах: $$ \delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)=\dfrac{1}{r^2 \sin \theta} \delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)\delta(\varphi-\varphi_0).$$ Учтем, что $dV=r^2 \sin \theta dr d\theta d\varphi$.Тогда интегрирование по $\varphi$ немедленно дает единицу. Интегрирование по $r$ дает $A \cos \theta$. И, наконец, интегрирование по $\theta$ дает просто $A$, т.е. $I=A$. Прошу проверить правильность вычислений.

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение29.02.2024, 08:08 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
Ваши записи некорректны, особая точка дельта функции не может зависеть от переменных интегрирования, это уже другая функция получается. У вас она еще не в точке особенная, а на кривой или поверхности.

 Профиль  
                  
 
 Re: смещенная дельта функция в сферических координатах
Сообщение29.02.2024, 09:57 
Аватара пользователя


11/12/16
14044
уездный город Н
reterty
Н-да. "Нет таких сложностей, которые мы не могли бы себе создать"

1.
reterty в сообщении #1631286 писал(а):
оси $z$. Повороты на произвольный азимутальный угол $\varphi$


Нету в Вашей задаче такой симметрии (если $\mathbf{r}_0$ произвольное).
Значение интеграла - да, будет аксиально симметичным относительно оси $z$, и даже сферически симметричным. Но исключительно благодаря свойствам $f(r)$.

2. Да. Дельта-функцию от радиус-вектора можно записать, как произведение трех дельта-функций от трех координат. Коэффициенты при них будут обратными коэффициентами при записи $dV$ в соответствующих криволинйных координатах.
Но зачем это всё в данном случае? Совершенно не понимаю!

Вам же написали:
Red_Herring в сообщении #1631257 писал(а):
Все очень просто, по определению
$$\int f(\mathbf{r}) \delta (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) \, dV = f(\mathbf{r}_0).$$


Запишите так: $f(r) = f(|\mathbf{r}|)$. Откуда сразу значение интеграла: $f(|\mathbf{r}_0|)=f(r_0)$. И всех делов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group