смещенная дельта функция в сферических координатах

[Null]

reterty в сообщении #1631438 писал(а):

Отсюда в обьемный интеграл "влазит" дельта функция $\delta (k-k_0)$, где теперь уже волновое число $k_0$ не является константой а становится функцией от полярного угла

Она не должна вылазить в интеграл по $\theta$. Пишите подробно.

[reterty]

У меня ответ это конкретное число. Точнее, функция от фиксированной энергии фотона. Интегрирование тройное в сферической системе координат: вначале по азимутальному углу (тривиальное: сразу получаем $2 \pi$); затем по $k$ с одномерной дельта-функцией вида $\delta(k-k_0(\theta))$; и наконец: по полярному углу $\theta$. Единственный нюанс- эту одномерную дельта функцию в сферической системе координат следует все же записывать как $\delta(k-k_0(\theta))/k^2$

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1631444 писал(а):

Единственный нюанс- эту одномерную дельта функцию в сферической системе координат следует все же записывать как $\delta(k-k_0(\theta))/k^2$

А это из каких соображений?

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1631474 писал(а):

reterty в сообщении #1631444 писал(а):

Единственный нюанс- эту одномерную дельта функцию в сферической системе координат следует все же записывать как $\delta(k-k_0(\theta))/k^2$

А это из каких соображений?

Представим такую дельта-функцию в виде: $A \delta(r-r_0)$, где $A=\operatorname{const}$ - нормирующий множитель, подлежащий дальнейшему определению. Согласно фундаментальному свойству одномерной дельта-функции, интеграл от нее по всему дозволенному интервалу должен равняться единице. Тогда для сферической системы координат:

$$ \int_{0}^{\infty} r^2 A \delta(r-r_0)\,dr=1.$$

Отсюда немедленно получаем, что $A=1/r_0 ^2$. На необходимость введения нормировочного множителя указывают и соображения размерности, если вспомнить что дельта-функция имеет размерность обратную размерности своего аргумента.

[пианист]

"Долго думал. Читал пейджер." А что это вообще, какая цель?

reterty в сообщении #1631444 писал(а):

вначале по азимутальному углу (тривиальное: сразу получаем $2 \pi$)

$2\pi$ будет, если мы интегрируем по $\varphi$ что-то, что от $\varphi$ не зависит. В частности, с $\delta(\varphi - \varphi_0)$ мы, стало быть, _не_ сворачиваем. Но с $\delta(r - r_0)$ - да. Что с $\theta$ непонятно - просто интегрируем по? по любому, дельта получается на то ли поверхности, то ли линии.

[reterty]

пианист в сообщении #1631582 писал(а):

"Долго думал. Читал пейджер." А что это вообще, какая цель?

reterty в сообщении #1631444 писал(а):

вначале по азимутальному углу (тривиальное: сразу получаем $2 \pi$)

$2\pi$ будет, если мы интегрируем по $\varphi$ что-то, что от $\varphi$ не зависит. В частности, с $\delta(\varphi - \varphi_0)$ мы, стало быть, _не_ сворачиваем. Но с $\delta(r - r_0)$ - да. Что с $\theta$ непонятно - просто интегрируем по? по любому, дельта получается на то ли поверхности, то ли линии.

С $\theta$ интегрируем конкретное выражение зависящее от этого угла в пределах от 0 до $\pi$, поскольку, как я уточнил выше дельта функция ОДНОМЕРНАЯ А НЕ ТРЕХМЕРНАЯ. Неясности все устранены. Спасибо всем содействующим устранению неясностей!

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1631589 писал(а):

Неясности все устранены.

Большие сомнения у меня в этом.

Особенно это касается волюнтаристского введения "нормировочного" множителя $1/r^2$.
Нужен ли "нормировочный множитель" и какой именно - от физической задачи зависит, из "общих соображений" не выводится.

Например. Пусть у нас есть заряженная сфера и мы хотим посчитать её заряд.
1. Центр сферы совпадает с центром координат.
Тогда можем записать плотность заряда как: $\rho(\varphi, \theta, r) = \sigma(\varphi, \theta) \delta (r - r_0)$, где $ \sigma(\varphi, \theta)$ - поверхностная плотность заряда.
И заряд сферы: $Q = \int\limits_{}^{} \sigma(\varphi, \theta) \delta (r - r_0) d V = \int\limits_{}^{} \sigma(\varphi, \theta) \delta (r - r_0) r^2 \sin \theta dr d \varphi d\theta$ = \int\limits_{}^{} \sigma(\varphi, \theta) r_0^2 \sin \theta d \varphi d\theta$

2. А вот если центр сферы не совпадает с центром координат, то чисто формально можно записать:
$\rho = \sigma(\varphi, \theta, r) \delta (f(\varphi, \theta, r))$, где $f(\varphi, \theta, r)=0$ - задаёт сферу, центр которой не совпадает с центром координат.
Но при переходе к интегралу "нормировочный множитель" нам понадобится, и будет он сильно сложнее, чем $1/r^2$

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1631763 писал(а):

reterty в сообщении #1631589 писал(а):

Неясности все устранены.

Большие сомнения у меня в этом.

Особенно это касается волюнтаристского введения "нормировочного" множителя $1/r^2$.
Нужен ли "нормировочный множитель" и какой именно - от физической задачи зависит, из "общих соображений" не выводится.

Например. Пусть у нас есть заряженная сфера и мы хотим посчитать её заряд.
1. Центр сферы совпадает с центром координат.
Тогда можем записать плотность заряда как: $\rho(\varphi, \theta, r) = \sigma(\varphi, \theta) \delta (r - r_0)$, где $ \sigma(\varphi, \theta)$ - поверхностная плотность заряда.
И заряд сферы: $Q = \int\limits_{}^{} \sigma(\varphi, \theta) \delta (r - r_0) d V = \int\limits_{}^{} \sigma(\varphi, \theta) \delta (r - r_0) r^2 \sin \theta dr d \varphi d\theta$ = \int\limits_{}^{} \sigma(\varphi, \theta) r_0^2 \sin \theta d \varphi d\theta$

2. А вот если центр сферы не совпадает с центром координат, то чисто формально можно записать:
$\rho = \sigma(\varphi, \theta, r) \delta (f(\varphi, \theta, r))$, где $f(\varphi, \theta, r)=0$ - задаёт сферу, центр которой не совпадает с центром координат.
Но при переходе к интегралу "нормировочный множитель" нам понадобится, и будет он сильно сложнее, чем $1/r^2$

1. Вы невнимательно просмотрели мое сообщение: мною был введен нормировочный множитель не $1/r^2$ а $1/r_0^2$, то есть константа!
2.В Вашем случае дельта-функция абсолютно правомерно нормирована на $r_0^2$.
3. В моем случае, дельта-функция исходя из физики задачи и соображений размерности ОБЯЗАНА быть номирована на 1! К примеру, только в этом случае получается известное в литературе предельное выражение для коэффициента поглощения в случае прямых переходов.
4. Подобные фокусы-покусы с нормировкой дельта-функции часто встречающееся явление в задачах квантовой механики где дельта-функция является одним из случаев волновых функций, нормировка которых является важным моментом при решении той или иной квантово-механической задачи.

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1631782 писал(а):

2.В Вашем случае дельта-функция абсолютно правомерно нормирована на $r_0^2$.

В моем случае, точнее - в моем примере со сферой, у которой центр совпадает с центром координат, дельта-функция абсолютно правомерно ни на что не "нормирована".

reterty в сообщении #1631782 писал(а):

3. В моем случае, дельта-функция исходя из физики задачи и соображений размерности ОБЯЗАНА быть номирована на 1!

Тут не очень понятно, в очередной раз, что Вы подразумеваете под "нормировкой дельта-функции на 1".
Обычная дельта-функция уже нормирована на единицу. В том смысле, что интеграл от нее равет 1.
Кстати, тут. Вы ссылаетесь на "физику задачи". А выше по тому же вопроосу ссылались на некие фундаментальные свойства дельта-функции:

reterty в сообщении #1631543 писал(а):

Согласно фундаментальному свойству одномерной дельта-функции, интеграл от нее по всему дозволенному интервалу должен равняться единице.

Я голову сломал, пытаясь понять что это за "фундаментальные свойства".

[Утундрий]

Загадочные фундаментальные свойства оказались банальным основным тождеством.

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1631786 писал(а):

Загадочные фундаментальные свойства оказались банальным основным тождеством.

Не то чтобы основным тождеством...
Когда дельта-функцию от радиус-вектора раскладываем на произведение трех дельта-функций по координатам, то там тривиально получается множитель равный единица на детерминант якобиана.

Но сейчас-то ТС отказался от дельта функции от радиус вектора. Теперь у него одномерная $\delta(f(r, \theta))$.
И откуда в этом случае из "фундаментальных" или из "банальных" свойств получаются "нормирующие множители", вообще не понимаю.

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1631787 писал(а):

Утундрий в сообщении #1631786 писал(а):

Загадочные фундаментальные свойства оказались банальным основным тождеством.

Не то чтобы основным тождеством...
Когда дельта-функцию от радиус-вектора раскладываем на произведение трех дельта-функций по координатам, то там тривиально получается множитель равный единица на детерминант якобиана.

Но сейчас-то ТС отказался от дельта функции от радиус вектора. Теперь у него одномерная $\delta(f(r, \theta))$.
И откуда в этом случае из "фундаментальных" или из "банальных" свойств получаются "нормирующие множители", вообще не понимаю.

В Вашем случае:

$$ \int_{0}^{\infty} r^2 \delta(r-r_0)\,dr=r_0^2!!!!$$

В моем случае:

$$ \int_{0}^{\infty} r^2 A\delta(r-r_0)\,dr=1!!!!$$

Здесь $A=1/r_0^2$.

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1631791 писал(а):

В моем случае:

$$ \int_{0}^{\infty} r^2 A\delta(r-r_0)\,dr=1!!!!$$

Здесь $A=1/r_0^2$.

Вы выше написали, что это из какого-то фундаментального свойства д.ф.
Вот и вопрос - из какого?

-- 04.03.2024, 14:34 --

reterty в сообщении #1631791 писал(а):

В Вашем случае:

$$ \int_{0}^{\infty} r^2 \delta(r-r_0)\,dr=r_0^2!!!!$$

Кстати, $r^2$ тут никаким "нормирующим множителем" не является.
Это кусок детерминанта Якобиана, который возникает при переходе к сферическим координатам, в данном случае к сферическим. Вот из этого: $dV= |J| d \eta d \xi d \zeta $

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1631792 писал(а):

reterty в сообщении #1631791 писал(а):

В моем случае:

$$ \int_{0}^{\infty} r^2 A\delta(r-r_0)\,dr=1!!!!$$

Здесь $A=1/r_0^2$.

Вы выше написали, что это из какого-то фундаментального свойства д.ф.
Вот и вопрос - из какого?

интеграл от дельта функции по радиальной компоненте в ССК должен равняться единице.....с учетом, конечно переходного множителя $r^2$

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1631795 писал(а):

интеграл от дельта функции по радиальной компоненте в ССК должен равняться единице

1. Из какого фундаментального свойства д.ф. это следует?
2. Если уж так хочется, чтобы это выпонялось, то можно же так записать:

$$\int\limits_{}^{} \delta(r - r_0) dr$$

Вообще никаких множителей нет.

-- 04.03.2024, 14:41 --

reterty в сообщении #1631795 писал(а):

интеграл от дельта функции по радиальной компоненте в ССК должен равняться единице.....с учетом, конечно переходного множителя $r^2$

я уже запутался, что Вы учитываете и зачем.