смещенная дельта функция в сферических координатах

[reterty]

Имею физическую задачу, упирающуюся в интеграл по объему со смещенной дельта-функцией векторного аргумента вида:

$$ \int_V f(r) \delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)\,dV.$$

Интегрирование должно проводиться сферической системе координат, поскольку задача имеет азимутальную симметрию. Вот здесь: http://www.fen.bilkent.edu.tr/~ercelebi/mp03.pdf описаны разные случаи вида дельта-функции в сферической системе координат. Моя проблема в другом. дело в том что в моем случае $\pmb{r}_0$ не постоянный вектор а такой, что его модуль является известной функцией от азимутального угла $\theta$. Я ни разу не математик а так себе физик, поэтому решил что в этом слуае для дельта-функции следует использовать представление: $\delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)=\delta(r-r_0(\theta))/(4\pi r^2)$, что сводит вышерассмотренный интеграл к виду:

$$ \dfrac{1}{4\pi}\int_{0}^{\pi} f(r_0(\theta)) \, \sin \theta d\theta.$$

Прав ли я или дело обстоит несколько сложнее?

[Red_Herring]

reterty в сообщении #1631241 писал(а):

Прав ли я или дело обстоит несколько сложнее?

Неправы и дело обстоит гораздо проще. Вы были бы правы если бы там была $\delta (r-r_0)$ , а там $\delta (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$. Кстати, не читайте всяких глупостей и не тащите их сюда.

[reterty]

Red_Herring в сообщении #1631253 писал(а):

reterty в сообщении #1631241 писал(а):

Прав ли я или дело обстоит несколько сложнее?

Неправы и дело обстоит гораздо проще. Вы были бы правы если бы там была $\delta (r-r_0)$ , а там $\delta (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$. Кстати, не читайте всяких глупостей и не тащите их сюда.

Тогда сдаюсь: не знаю как быть. Знаю лишь то, что поскольку модуль радиус-вектора зависит от азимутального угла то "что-то" и "как-то" интегрировать по $\theta$ придется, поскольку конечный результат от угла зависеть не должен.

[Red_Herring]

reterty в сообщении #1631254 писал(а):

Тогда сдаюсь: не знаю как быть.

Все очень просто, по определению

$$\int f(\mathbf{r}) \delta (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) \, dV = f(\mathbf{r}_0).$$

Заметим, кстати что это интеграл определен по всему пространству, а не по какой-то области. Поэтому то, что вы притащили сюда ––глупость. Автор даже не определяет, что такое $V$.

[reterty]

Red_Herring в сообщении #1631257 писал(а):

reterty в сообщении #1631254 писал(а):

Тогда сдаюсь: не знаю как быть.

Все очень просто, по определению

$$\int f(\mathbf{r}) \delta (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) \, dV = f(\mathbf{r}_0).$$

Заметим, кстати что это интеграл определен по всему пространству, а не по какой-то области. Поэтому то, что вы притащили сюда ––глупость. Автор даже не определяет, что такое $V$.

но у меня $\mathbf{r}_0=g(\theta)$ а не постоянный вектор. Моя область интегрирования-все пространство, поэтому должно получиться число. И главное-$f(r)$ функция не вектора а его модуля. т.е. скалярная функция скалярного аргумента.

[EUgeneUS]

во1х.

reterty в сообщении #1631258 писал(а):

И главное-$f(r)$ функция не вектора а его модуля. т.е. скалярная функция скалярного аргумента.

Можно подумать, что модуль вектора - это не скалярная функция от вектора

во2х.

reterty в сообщении #1631241 писал(а):

$$ \int_V f(r) \delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)\,dV.$$

Интегрирование должно проводиться сферической системе координат, поскольку задача имеет азимутальную симметрию.

Есть две выделенные точки: начало координат и $\mathbf{r_0}$.
Азимутальная симметрия в этом случае может быть только в одном случае - $\mathbf{r_0}$ лежит на оси $z$ системы координат.
Если же это не так, то возникают взаимоисключающие параграфы: либо интеграл записан неверно, либо азимутальная симметрия отсутствует.
UPD:

reterty в сообщении #1631258 писал(а):

но у меня $\mathbf{r}_0=g(\theta)$ а не постоянный вектор.

то таки взаимоисключающие параграфы.

[Red_Herring]

reterty в сообщении #1631258 писал(а):

но у меня

То как вы объясняете--бессмысленно. Что такое $\mathbf{r}_0$?

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1631268 писал(а):

во1х.

reterty в сообщении #1631258 писал(а):

И главное-$f(r)$ функция не вектора а его модуля. т.е. скалярная функция скалярного аргумента.

Можно подумать, что модуль вектора - это не скалярная функция от вектора

во2х.

reterty в сообщении #1631241 писал(а):

$$ \int_V f(r) \delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)\,dV.$$

Интегрирование должно проводиться сферической системе координат, поскольку задача имеет азимутальную симметрию.

Есть две выделенные точки: начало координат и $\mathbf{r_0}$.
Азимутальная симметрия в этом случае может быть только в одном случае - $\mathbf{r_0}$ лежит на оси $z$ системы координат.
Если же это не так, то возникают взаимоисключающие параграфы: либо интеграл записан неверно, либо азимутальная симметрия отсутствует.
UPD:

reterty в сообщении #1631258 писал(а):

но у меня $\mathbf{r}_0=g(\theta)$ а не постоянный вектор.

то таки взаимоисключающие параграфы.

В моем случае под азимутальной симметрией понимается то что модуль $r_0$ не зависит от полярного угла $\varphi$ вовсе, а является лишь функцией $\theta$ -азимутального угла.

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1631277 писал(а):

В моем случае под азимутальной симметрией понимается то что модуль $r_0$ не зависит от полярного угла $\varphi$ вовсе, а является лишь функцией $\theta$ -азимутального угла.

Вот и я говорю - взаимоисключающие параграфы.

-- 28.02.2024, 22:32 --

Кстати, в сферической системе координат принято называть $\theta$ - полярный угол, $\varphi$ - азимутальный угол.

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1631281 писал(а):

reterty в сообщении #1631277 писал(а):

В моем случае под азимутальной симметрией понимается то что модуль $r_0$ не зависит от полярного угла $\varphi$ вовсе, а является лишь функцией $\theta$ -азимутального угла.

Вот и я говорю - взаимоисключающие параграфы.

-- 28.02.2024, 22:32 --

Кстати, в сферической системе координат принято называть $\theta$ - полярный угол, $\varphi$ - азимутальный угол.

Да, Вы правы. Корректно будет: осевая симметрия или аксиальная симметрия.

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1631282 писал(а):

Да, Вы правы. Корректно будет: осевая симметрия или аксиальная симметрия.

Вы сами запутались, и меня путаете. Осевая симметрия - относительно поворотов вокруг какой оси?

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1631285 писал(а):

reterty в сообщении #1631282 писал(а):

Да, Вы правы. Корректно будет: осевая симметрия или аксиальная симметрия.

Вы сами запутались, и меня путаете. Осевая симметрия - относительно поворотов вокруг какой оси?

оси $z$. Повороты на произвольный азимутальный угол $\varphi$

[reterty]

Ок, давайте я тут попишу, и тогда станет понятно где корни моего непонимания. Пусть имеется интеграл вида

$$ I=\int_V f(r) \delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)\,dV,$$

где $f(r)=r$ (для простоты). Область интегрирования - все пространство. Положим, что вектор $\pmb{r}_0$ в сферической системе координат имеет компоненты: $r_0=A \cos \theta$ (опять же взято для простоты; здесь $A$ - некоторая константа); $\theta_0=\theta$; $\varphi_0=\varphi$. Общее выражение для Дельта-функции в сферических координатах:

$$ \delta (\pmb{r}-\pmb{r}_0)=\dfrac{1}{r^2 \sin \theta} \delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)\delta(\varphi-\varphi_0).$$

Учтем, что $dV=r^2 \sin \theta dr d\theta d\varphi$.Тогда интегрирование по $\varphi$ немедленно дает единицу. Интегрирование по $r$ дает $A \cos \theta$. И, наконец, интегрирование по $\theta$ дает просто $A$, т.е. $I=A$. Прошу проверить правильность вычислений.

[Null]

Ваши записи некорректны, особая точка дельта функции не может зависеть от переменных интегрирования, это уже другая функция получается. У вас она еще не в точке особенная, а на кривой или поверхности.

[EUgeneUS]

reterty
Н-да. "Нет таких сложностей, которые мы не могли бы себе создать"

1.

reterty в сообщении #1631286 писал(а):

оси $z$. Повороты на произвольный азимутальный угол $\varphi$

Нету в Вашей задаче такой симметрии (если $\mathbf{r}_0$ произвольное).
Значение интеграла - да, будет аксиально симметичным относительно оси $z$, и даже сферически симметричным. Но исключительно благодаря свойствам $f(r)$.

2. Да. Дельта-функцию от радиус-вектора можно записать, как произведение трех дельта-функций от трех координат. Коэффициенты при них будут обратными коэффициентами при записи $dV$ в соответствующих криволинйных координатах.
Но зачем это всё в данном случае? Совершенно не понимаю!

Вам же написали:

Red_Herring в сообщении #1631257 писал(а):

Все очень просто, по определению

$$\int f(\mathbf{r}) \delta (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) \, dV = f(\mathbf{r}_0).$$

Запишите так: $f(r) = f(|\mathbf{r}|)$. Откуда сразу значение интеграла: $f(|\mathbf{r}_0|)=f(r_0)$. И всех делов.