Очень простое доказательство теоремы Ферма.

[K.,bntkm]

Вот придумал как очень просто доказать теорему Ферма. В принципе. всё ясно из рисунка.

На основе квадратов из теоремы Пифагора строим кубы. Один куб в одном параллелепипеде, а два других в другом параллелепипеде. Объёмы параллелепипедов равны. Вычитаем из них равные объёмы четырёх призм. Сразу видно, что объём большого куба в любом случае не может быть равен сумме двух меньших кубов. Для $n = 3$ теорема доказана. Для более высоких степеней доказывается так же очень просто.

-- 23.01.2024, 13:02 --

Ну как ещё доказать. Вот теорема Пифагора может доказываться и таким визуальным способом. Из рисунка видно, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.Посмотрел человек и ему всё сразу ясно и понятно. Ну и так же в случае с теоремой Ферма для степени 3. Объёмы параллелепипедов равны. Объёмы 4-х призм так же равны. Если большой куб занимает весь объём, оставшийся после удаления 4-х призм, то 2 куба поменьше не могут занять весь оставшийся объём. Этот объём может занять только один куб, если второй куб исчезнет. И не нужны никакие математические выкладки на десятки страниц.

[waxtep]

Но ведь $1^3+2^3=(9^{1/3})^3$

[K.,bntkm]

Ну и что. Это не ко мне. Это всё объяснили до меня.
Для четвёртой степени доказательство такое. Если каждый член этого неравенства умножить, допустим, на 2 $2a^3 + 2b^3 < 2c^3$, то неравенство останется верным. Для лучшего понимания допустим, что $a = b$ и малые кубы равны. $a\cdot a^3 + a\cdot a^3 < c\cdot c^3$. Так как $c > a$, то неравенство сохраняется. $a^4 + a^4 < c^4$. Аналогично для любой степени $a^n\cdot a^3 + a^n\cdot a^3 < c^n\cdot c^3$

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1626876 писал(а):

Это всё объяснили до меня

Процитируйте объяснение. Без него доказательство не является полным, потому что не использует натуральность чисел.

[K.,bntkm]

Я так понимаю, что этот случай был рассмотрен ранее и до меня. Извините, но я школу закончил более сорока лет назад. Я не математик. Поэтому и доказал теорему таким простейшим способом. Поэтому не понял про натуральность чисел. Как это влияет на не полноту объяснения.

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1626889 писал(а):

Я так понимаю, что этот случай был рассмотрен ранее и до меня

Какой "этот"?

K.,bntkm в сообщении #1626889 писал(а):

Поэтому не понял про натуральность чисел

Объясняю: если бы Ваше "доказательство" работало, то оно доказывало бы, что уравнение $a^3 + b^3 = c^3$ не имеет решений в положительных вещественных числах. А оно имеет. Значит, Ваше "доказательство" не работает.

Ладно, если по пунктам.
Вот у нас есть гипотетическое решение уравнения $a^3 + b^3 = c^3$. Вы хотите показать, что что-то там с одной стороны равно чему-то там, а с другой сторны меньше, так?

K.,bntkm в сообщении #1626871 писал(а):

На основе квадратов из теоремы Пифагора

Что такое "квадраты из теоремы Пифагора"?

K.,bntkm в сообщении #1626871 писал(а):

На основе квадратов [...] строим кубы

Что такое "построение кубов на основе квадратов"?

[K.,bntkm]

Может я плохо объяснил. Рисунок с двумя большим квадратами (а) ложим горизонтально на стол. Мысленно достраиваем эти квадраты до параллелепипедов высотой $c$. В одном параллепепеде мысленно выстраиваем большой куб с гранями $c$ и 4 призмы со сторонами $a, b, c$ и высотой $c$. В другом параллелепипеде 4 призмы со сторонами $a, b, c$ и высотой $c$. А так же 2 куба. Один с гранями $a$, другой с гранями $b$. Объёмы параллелепипедов равны. Объёмы 4-х призм так же равны. Более большой куб занимает весь объём параллелепипеда, оставшийся после удаления 4-х призм. 2 других куба не могут занять весь объём во втором параллелепипеде после удаления 4 призм. То есть, объём большого куба в любом случае будет больше объёма двух более меньших кубов. $c^3 > a^3 + b^3$. И это неравенство верно при любых значениях. Есть три куба. Один куб с гранями $c$, равными гипотенузе прямоугольного треугольника. Два других куба с гранями, равными катетам $a$ и $b$ этого же треугольника.

[mihaild]

А, ну это классическая ошибка. Не доказано, что треугольник со сторонами $(a, b, c)$ - прямоугольный.

[K.,bntkm]

А что, трудно принять условие, что эти треугольники прямоугольные по определению?

[sergey zhukov]

K.,bntkm
Ну так это будет доказательство только для чисел $a, b, c$, образующих прямоугольный треугольник. А не вообще для всех чисел.

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1626896 писал(а):

А что, трудно принять условие, что эти треугольники прямоугольные по определению?

Тогда это будет другая теорема.
Поздравляю, Вы успешно доказали теорему K.,bntkm: "Если $a, b, c$ - стороны прямоугольного треугольника, то $a^3 + b^3 \neq c^3$".
Но теорема Ферма формулируется иначе. Для случая $n = 3$ вот так: "Если $a, b, c$ - натуральные числа, то $a^3 + b^3 \neq c^3$".
(на всякий случай подчеркнул различия)

[K.,bntkm]

Ну да, у прямоугольного треугольника в каждом конкретном случае будут только три конкретных числа и совсем не обязательно натуральных. Если вместо катетов и гипотенузы подставлять произвольные натуральные числа, то треугольник уже будет не прямоугольным и этот способ не подойдёт. Но ведь каждый произвольный треугольник можно преобразовать в 2 прямоугольных треугольника. И используя данный метод для каждого отдельного треугольника как-то доказать теорему Ферма и для натуральных чисел. Хотя и у прямоугольного треугольника стороны могут быть натуральными числами 3,4,5. Это как бы частный случай теоремы Ферма. Зато очень легко доказывается для для любых степеней.

[Лукомор]

K.,bntkm в сообщении #1626896 писал(а):

А что, трудно принять условие, что эти треугольники прямоугольные по определению?

Не то, чтобы трудно - невозможно.
Потому что, по определению, треугольник со сторонами
$a, b, c$ в зависимости от $n$ в выражении $a^n+b^n=c^n$ ,будет тупоугольным при $n<2$, прямоугольным при $n=2$, и остроугольным при $n>2$.
Вот для остроугольных треугольников и доказывайте...

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1626899 писал(а):

Но ведь каждый произвольный треугольник можно преобразовать в 2 прямоугольных треугольника. И используя данный метод для каждого отдельного треугольника как-то доказать теорему Ферма и для натуральных чисел

Может быть и можно. Как докажете - напишите доказательство.
То, что Ваш текущий текст доказательством теоремы Ферма не является, Вы поняли?

Phi^2 в сообщении #1626904 писал(а):

Или совершенно я не понял- о чём речь

Не поняли.
Пусть у нас треугольник со сторонами $a, b, c$, причем $c \geq a, b$. Из теоремы косинусов мы знаем, что если $a^2 + b^2 - c^2 = 0$, то треугольник прямоугольный, если $a^2 + b^2 - c^2 < 0$, то тупоугольный, если $a^2 + b^2 - c^2 > 0$, то остроугольный.
Из школьной алгебры мы знаем, что если $a^x + b^x - c^x = 0$ для какого-то $x$, то:
если $x > 2$, то $a^2 + b^2 - c^2 > 0$
если $x < 2$, то $a^2 + b^2 - c^2 < 0$
если $x = 2$, то $a^2 + b^2 - c^2 = 0$

[K.,bntkm]

Я понял. Ладно, буду думать.