Лучшая ставка в игре

[talash]

Ende
Выделено из темы «Критерии наилучшего распределения»

Doctor Boom
Мы играем в игру, но только один раз. Правила такие. Мы делаем ставку какую хотим. Далее следуют раунды. В каждом раунде победа и поражение определяются случайно, вероятность победы 60%, поражения 40%. В случае победы наша ставка удваивается и переходит в следующий раунд. В случае поражения уполовинивается и также переходит в следующий раунд. Количество раундов определяем мы сами. По окончанию игры текущая ставка возвращается нам.

Играть вроде бы выгодно, но в пределе при стремлении количества раундов к бесконечности мы получим 0. Вопрос, сколько денег поставить. Качественная оценка, побольше или поменьше? Сколько раундов играть? Меня что-то интуиция здесь подводит, не знаю что бы я делал, если бы предложили такую игру.

Можете расписать, что получится по Вашим формулам? Как выгодно действовать?

[Geen]

talash в сообщении #1625931 писал(а):

но в пределе при стремлении количества раундов к бесконечности мы получим 0.

Как Вы это получили?

[Евгений Машеров]

Матожидание после одного раунда, если поставлено a, составит $0.6\cdot 2a+0.4\cdot a/2=1.4a$ То есть играть надо долго. Поставив доллар, триллионером станешь примерно через 84 раунда. Особо повышать начальную ставку не стоит, лучше ещё несколько раундов сыграть. Единственное основание для повышения начальной ставки - чтобы не вылететь, если вдруг пойдёт неудачная серия и сумма окажется меньше минимальной ставки. Скажем, если минимальная доллар, то при начальной ставке 128 долларов вероятность семи подряд неудач составит 0.16%, а при 1024 долларах начальной ставки около 0.01%

[talash]

Извините, ошибся в условии.

В случае победы мы получаем половину ставки, в случае поражения теряем половину ставки. Поправить первое сообщение уже не могу.

-- 15.01.2024, 18:22 --

Евгений Машеров в сообщении #1625983 писал(а):

Матожидание после одного раунда, если поставлено a, составит $0.6\cdot 2a+0.4\cdot a/2=1.4a$

С учётом поправки, матожидание после одного раунда $0.6\cdot 1.5a+0.4\cdot a/2=1.1a$
То есть, играть выгодно. Но с ростом количества раундов растёт вероятность, что сумма будет меньше первоначальной ставки и уменьшается вероятность, что сумма будет больше первоначальной ставки. При очень большом количестве раундов, вероятность остаться в плюсе мизерная, но сумма, которую можно выиграть, огромная.

[Geen]

talash в сообщении #1625987 писал(а):

Но с ростом количества раундов растёт вероятность

у этой игры нет памяти.

[EUgeneUS]

talash
Критерий Келли.

[Евгений Машеров]

Критерий Келли первым приходит в голову - но там другая постановка задачи. Можно управлять ставкой.

[talash]

Geen в сообщении #1625995 писал(а):

:facepalm: у этой игры нет памяти.

Реплику не понял.

EUgeneUS в сообщении #1625996 писал(а):

talash
Критерий Келли.

Да, спасибо, это критерий на тему этой игры. В ней такие правила, что этот критерий не соблюдается, так как мы каждый раунд ставим половину нашего текущего банка.

[Евгений Машеров]

Так половину или весь? Поначалу было впечатление, что весь. Ограничения на максимальный и минимальный объём ставки имеются?

[talash]

Евгений Машеров

talash в сообщении #1625987 писал(а):

:!: Извините, ошибся в условии.

В случае победы мы получаем половину ставки, в случае поражения теряем половину ставки. Поправить первое сообщение уже не могу.

[Евгений Машеров]

talash в сообщении #1625987 писал(а):

Но с ростом количества раундов растёт вероятность, что сумма будет меньше первоначальной ставки и уменьшается вероятность, что сумма будет больше первоначальной ставки. При очень большом количестве раундов, вероятность остаться в плюсе мизерная, но сумма, которую можно выиграть, огромная.

Можно увидеть ход Ваших рассуждений, приведший к этому, представляющемуся мне ложным, выводу? И ещё раз уточнить - мы ставим весь наличный капитал (или фиксированную долю), или же фиксированную сумму, или же вправе варьировать ставкой?
Потому как в варианте "фиксированная доля" (неважно, 100% капитала, 50% капитала или иная) проиграть невозможно, поскольку при неудачной серии ставка уменьшается, и капитал не может обратиться в ноль, тем более стать отрицательным. Разумеется, в реальной игре может оказаться, что ставка ниже минимума, и играть невозможно - но это надо оговорить особо, и указать минимум. Также интересно, есть ли ограничения на максимальную ставку и можно ли пополнять свой капитал из резерва?

[talash]

Евгений Машеров в сообщении #1626028 писал(а):

И ещё раз уточнить - мы ставим весь наличный капитал (или фиксированную долю), или же фиксированную сумму, или же вправе варьировать ставкой?

Для понятности назовём нашу сумму, которой рискуем - банк. Мы обязаны каждый раунд делать ставку в половину банка. Вероятность выигрыша 60%, при нём ставка удваивается и наш банк увеличивается в 1.5 раза. Вероятность проигрыша 40%, при нём ставка теряется и банк уменьшается в 2 раза.

Евгений Машеров в сообщении #1626028 писал(а):

Можно увидеть ход Ваших рассуждений, приведший к этому, представляющемуся мне ложным, выводу?

Рассуждения такие. При выигрыше, наш банк увеличивается в 1.5 раза, а при проигрыше, уменьшается в 2 раза. Если в среднем из 10 раз мы 6 раз выигрываем и 4 раза проигрываем, то банк изменяется в $\frac{1.5^6}{2^4} = 0.7119140625$, то есть уменьшается и довольно быстро.

Евгений Машеров в сообщении #1626028 писал(а):

Потому как в варианте "фиксированная доля" (неважно, 100% капитала, 50% капитала или иная) проиграть невозможно, поскольку при неудачной серии ставка уменьшается, и капитал не может обратиться в ноль, тем более стать отрицательным. Разумеется, в реальной игре может оказаться, что ставка ниже минимума, и играть невозможно - но это надо оговорить особо, и указать минимум. Также интересно, есть ли ограничения на максимальную ставку и можно ли пополнять свой капитал из резерва?

Ставка всегда половина текущего банка. Входить в игру можно только один раз в жизни при этом мы вносим деньги, которые называем банк. Пополнять банк нельзя. Раунд длится минуту, количество раундов - сколько угодно, пока не оголодаешь. Спрашивается, как действовать, какой ставить банк, сколько раундов играть?

[Евгений Машеров]

Чтобы был применим критерий Келли, надо управлять величиной ставки. Не обязательно в половину "банка". Но тут опять поменялась постановка. У Вас теперь при проигрыше теряется вся ставка? А не половина? Тогда играть не следует, матожидание выигрыша отрицательное. Давайте ещё раз уточним.

[talash]

Евгений Машеров в сообщении #1626065 писал(а):

Чтобы был применим критерий Келли, надо управлять величиной ставки. Не обязательно в половину "банка". Но тут опять поменялась постановка. У Вас теперь при проигрыше теряется вся ставка? А не половина? Тогда играть не следует, матожидание выигрыша отрицательное. Давайте ещё раз уточним.

Здесь точно написаны правила:

talash в сообщении #1626029 писал(а):

Для понятности назовём нашу сумму, которой рискуем - банк. Мы обязаны каждый раунд делать ставку в половину банка. Вероятность выигрыша 60%, при нём ставка удваивается и наш банк увеличивается в 1.5 раза. Вероятность проигрыша 40%, при нём ставка теряется и банк уменьшается в 2 раза.

talash в сообщении #1626029 писал(а):

Ставка всегда половина текущего банка. Входить в игру можно только один раз в жизни при этом мы вносим деньги, которые называем банк. Пополнять банк нельзя. Раунд длится минуту, количество раундов - сколько угодно, пока не оголодаешь. Спрашивается, как действовать, какой ставить банк, сколько раундов играть?

До этого я пытался обойтись без термина "банк", видимо получилось непонятно, к тому же допустил ошибку в первом сообщении.

Почему же не стоит играть? Мы входим в игру с начальной суммой, которая составляет банк. Допустим это 100р. Ставим половину этой суммы, то есть 50р. Если выигрываем, то ставка удваивается и возвращается в банк и он становится 150р. Если проигрываем, то ставка теряется и в банке остаётся 50р. Как в рулетке, когда ставишь на красное/чёрное. Только вероятность выигрыша в раунде в этой игре 60%, а проигрыша 40%. Следующий раунд начинается с банка в 150р, тогда надо делать ставку в 75р или с банка в 50р, тогда надо делать ставку в 25$р. И так далее. Предполагается, что если сумма дробная, то дробить даже копейки можно неограниченно. С такой положительной вероятностью выигрыша, как минимум один раунд сыграть нужно или может быть два, а дальше не знаю, очень трудный вопрос для меня. Надо заканчивать об этом думать.

Этот пример хорошо демонстрирует необходимость использования критерия Келли. Если делать крупные ставки, например в половину текущего банка, то скорее всего сольёшь весь банк, даже если твои предсказания в большинстве случаев верные.

[Лукомор]

talash в сообщении #1626082 писал(а):

Следующий раунд начинается с банка в 150р, тогда надо делать ставку в 75р или с банка в 50р, тогда надо делать ставку в 25$р

Это пример неправильной стратегии.
Неудивительно, что она приведет к потере части банка.
Оптимальная стратегия, она называется мартингейл, или мартингал,
как раз с точностью до наоборот, заключается в том, чтобы после выигранного раунда уменьшать ставку в два раза, а после проигранного раунда ставку в два раза увеличивать.

-- Вт янв 16, 2024 16:19:35 --

talash в сообщении #1626082 писал(а):

С такой положительной вероятностью выигрыша, как минимум один раунд сыграть нужно или может быть два

Пушкин, знаток азартных игр, в "Пиковой даме" писал, что нужно ставить три раза:

Цитата:

"Тройка, семерка и туз выиграют тебе сряду, — но с тем, чтобы ты в сутки более одной карты не ставил, и чтоб во всю жизнь уже после не играл."