Критерии наилучшего распределения

[Doctor Boom]

Пусть вы играете в игру - вам надо выбрать два вероятностных распределения на денежной сумме от нуля до миллиона рублей. Далее происходит реализация одной СВ и вы получаете выигрыш. Какие могут критерии лучшести стратегии? Ясное дело, если мы играем в игру много раз, то у нас один критерий - матожидание. Но в случае разового выигрыша мы не можем игнорировать дисперсию, ведь мы можем не захотеть рисковать (лучше синица в руках).
Существует масса критериев выбора, но я нашел один, при выполнении которого мы можем точно сказать, что одно вероятностное распределение объективно лучше другого. Пусть $F_1(x), F_2(x)$ - функции распределения, тогда вероятностное распределение $1$ лучше вероятностного распределения $2$, если ${F_1}^{-1}(y) \geq {F_2}^{-1}(y)$, где $-1$ обозначает обратную функцию, а $y$ это бывшая область значений от $0$ до $1$. Если всюду равенство, то вероятностные распределения эквивалентны. Примечательно, что распределение $1$ может иметь бОльшую дисперсию, а мы можем иметь нулевую толерантность к лишнему риску.
Что думаете о критерии? Можно его как то усилить, обобщить?

[Geen]

Doctor Boom в сообщении #1625887 писал(а):

Какие могут критерии лучшести стратегии?

Единица в миллионе, очевидно.

Doctor Boom в сообщении #1625887 писал(а):

два вероятностных распределения.... Далее происходит реализация одной СВ

Это как?

[juna]

Doctor Boom в сообщении #1625887 писал(а):

если ${F_1}^{-1}(y) \geq {F_2}^{-1}(y)$, где $-1$ обозначает обратную функцию, а $y$ это бывшая область значений от $0$ до $1$.

Это же просто квантили двух случайных величин с двумя разными законами распределения. Если функции распределения пересекаются, то относительно точки пересечения неравенство переворачивается, и что делать?

[Doctor Boom]

Geen в сообщении #1625889 писал(а):

Единица в миллионе, очевидно.

Это частный случай моей стратегии

juna в сообщении #1625892 писал(а):

Это же просто квантили двух случайных величин с двумя разными законами распределения

Неа, это обратные функции от квантилей

juna в сообщении #1625892 писал(а):

Если функции распределения пересекаются, то относительно точки пересечения неравенство переворачивается, и что делать?

Если неравенство не выполняется, то значит критерий ничего достоверного сказать не может. В связи с этим интересно, можно ли усилить критерий, или это максимум, что можно выжать?

[Geen]

Doctor Boom в сообщении #1625895 писал(а):

Это частный случай моей стратегии

Зачем какие-то ещё, если этот даёт гарантированно наибольший выигрыш?
И Вы не ответили про два распределения, но одну СВ....

[Doctor Boom]

Geen в сообщении #1625896 писал(а):

Зачем какие-то ещё, если этот даёт гарантированно наибольший выигрыш?

Мне кажется, вы не поняли условие. У вас есть две СВ на выбор, ни одна из них не является

Geen в сообщении #1625889 писал(а):

Единица в миллионе

что делать будете?

Geen в сообщении #1625896 писал(а):

И Вы не ответили про два распределения, но одну СВ....

Ой да. А что там? У меня две СВ, на два распределения

Geen в сообщении #1625889 писал(а):

Это как?

Одной выбранной СВ. Вы выбираете одну из СВ, а дальше крутят рулетку. Один раз.

[juna]

Doctor Boom в сообщении #1625895 писал(а):

Неа, это обратные функции от квантилей

Это как? )

Если я Вас правильно понял, у нас две случайные величины $t_1, t_2$, известно также $F_{t_1}(x_1)=P(t_1<x_1), F_{t_2}(x_2)=P(t_2<x_2)$, теперь полагаем $P(t_1<x_1)=P(t_2<x_2)=\alpha=y$ и требуем чтобы было $x_1>x_2$.
Ну так $x_1, x_2$ и есть квантили случайных величин $t_1, t_2$ соответственно при заданной вероятности $\alpha=y$.

[Doctor Boom]

juna в сообщении #1625900 писал(а):

Это как? )

Да, вы правы

[Geen]

Doctor Boom в сообщении #1625898 писал(а):

Мне кажется, вы не поняли условие

Как написали, так и понял....

Но теперь, после Ваших дополнительных разъяснений, надо выбирать ту, у которой больше мат.ожидание. Всё остальное - от лукавого.

[juna]

Geen в сообщении #1625902 писал(а):

надо выбирать ту, у которой больше мат.ожидание. Всё остальное - от лукавого.

Не факт.



Оба графика задают нормальное распределение. Красный ($t_2$) с матожиданием 8 и стандартным отклонением 10, синий ($t_1$) с матожиданием 7 и стандартным отклонением 3.
Примерно видно

$$P(t_1<4)\approx 0.2\Rightarrow P(t_1>4)=0.8$$

$$P(t_2<0)\approx 0.2\Rightarrow P(t_2>0)=0.8$$

Наверное лучше все-таки выиграть не менее 4 у.е. с вероятностью 0.8, чем остаться при своих с этой же вероятностью.
Эта тенденция сохраняется где-то до вероятности 0.5. А дальше уже начинается просто подбрасывание монетки.

[Geen]

juna в сообщении #1625907 писал(а):

Красный ($t_2$) с матожиданием 8 и стандартным отклонением 10, синий ($t_1$) с матожиданием 7 и стандартным отклонением 3.

Вы мат.ожидание в каких пределах считали?...

juna в сообщении #1625907 писал(а):

Примерно видно

А графики отнормированы на 0/1 в заданных пределах?

[juna]

Geen в сообщении #1625910 писал(а):

Вы мат.ожидание в каких пределах считали?...

Я его не считал, а задал в системе maxima, также как и стандартное отклонение (https://maths.cnam.fr/Membres/wilk/MathMax/help/Maxima/maxima_47.html#IDX1528).

load(distrib)$
plot2d([cdf_normal(x,7,3),cdf_normal(x,8,10)],[x,-10,50]);

[Doctor Boom]

Geen в сообщении #1625902 писал(а):

Но теперь, после Ваших дополнительных разъяснений, надо выбирать ту, у которой больше мат.ожидание. Всё остальное - от лукавого.

А вот и нет Допустим вы можете с вероятностью $0.01$ выиграть миллиард, или остаться ни с чем. В другой страте вам точно дадут миллион. Матожижание первой стратегии больше, но логично выбрать вторую

-- 15.01.2024, 12:14 --

Короче в итоге получается, если $F_1(x) \geq F_2(x)$, то вторая стратегия лучше при любом раскладе

[Null]

Нужно взять весовую функцию от награды и считать матожидание уже от нее. Функция чисто субъективная, математика не знает много или мало 1000000 для человека делающего ставку. Для одного это допустимая к потере сумма, другой должен заплатить мафии 100000 и стремится выиграть не меньше. Например, можно взять логарифм награды если мы будем играть в игру много раз и ставки перемножаются(была такая задача на форуме).

[Geen]

Doctor Boom в сообщении #1625926 писал(а):

но логично выбрать вторую

Никаких "логических" оснований Вы не привели.