2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Критерии наилучшего распределения
Сообщение14.01.2024, 18:12 
Аватара пользователя


22/07/22

897
Пусть вы играете в игру - вам надо выбрать два вероятностных распределения на денежной сумме от нуля до миллиона рублей. Далее происходит реализация одной СВ и вы получаете выигрыш. Какие могут критерии лучшести стратегии? Ясное дело, если мы играем в игру много раз, то у нас один критерий - матожидание. Но в случае разового выигрыша мы не можем игнорировать дисперсию, ведь мы можем не захотеть рисковать (лучше синица в руках).
Существует масса критериев выбора, но я нашел один, при выполнении которого мы можем точно сказать, что одно вероятностное распределение объективно лучше другого. Пусть $F_1(x), F_2(x)$ - функции распределения, тогда вероятностное распределение $1$ лучше вероятностного распределения $2$, если ${F_1}^{-1}(y) \geq {F_2}^{-1}(y)$, где $-1$ обозначает обратную функцию, а $y$ это бывшая область значений от $0$ до $1$. Если всюду равенство, то вероятностные распределения эквивалентны. Примечательно, что распределение $1$ может иметь бОльшую дисперсию, а мы можем иметь нулевую толерантность к лишнему риску.
Что думаете о критерии? Можно его как то усилить, обобщить? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение14.01.2024, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4676
Doctor Boom в сообщении #1625887 писал(а):
Какие могут критерии лучшести стратегии?

Единица в миллионе, очевидно.
Doctor Boom в сообщении #1625887 писал(а):
два вероятностных распределения.... Далее происходит реализация одной СВ

Это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение14.01.2024, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Doctor Boom в сообщении #1625887 писал(а):
если ${F_1}^{-1}(y) \geq {F_2}^{-1}(y)$, где $-1$ обозначает обратную функцию, а $y$ это бывшая область значений от $0$ до $1$.

Это же просто квантили двух случайных величин с двумя разными законами распределения. Если функции распределения пересекаются, то относительно точки пересечения неравенство переворачивается, и что делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение14.01.2024, 21:08 
Аватара пользователя


22/07/22

897
Geen в сообщении #1625889 писал(а):
Единица в миллионе, очевидно.

Это частный случай моей стратегии
juna в сообщении #1625892 писал(а):
Это же просто квантили двух случайных величин с двумя разными законами распределения

Неа, это обратные функции от квантилей
juna в сообщении #1625892 писал(а):
Если функции распределения пересекаются, то относительно точки пересечения неравенство переворачивается, и что делать?

Если неравенство не выполняется, то значит критерий ничего достоверного сказать не может. В связи с этим интересно, можно ли усилить критерий, или это максимум, что можно выжать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение14.01.2024, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4676
Doctor Boom в сообщении #1625895 писал(а):
Это частный случай моей стратегии

Зачем какие-то ещё, если этот даёт гарантированно наибольший выигрыш?
И Вы не ответили про два распределения, но одну СВ....

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение14.01.2024, 21:22 
Аватара пользователя


22/07/22

897
Geen в сообщении #1625896 писал(а):
Зачем какие-то ещё, если этот даёт гарантированно наибольший выигрыш?

Мне кажется, вы не поняли условие. У вас есть две СВ на выбор, ни одна из них не является
Geen в сообщении #1625889 писал(а):
Единица в миллионе

что делать будете?
Geen в сообщении #1625896 писал(а):
И Вы не ответили про два распределения, но одну СВ....

Ой да. А что там? У меня две СВ, на два распределения
Geen в сообщении #1625889 писал(а):
Это как?

Одной выбранной СВ. Вы выбираете одну из СВ, а дальше крутят рулетку. Один раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение14.01.2024, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Doctor Boom в сообщении #1625895 писал(а):
Неа, это обратные функции от квантилей

Это как? )

Если я Вас правильно понял, у нас две случайные величины $t_1, t_2$, известно также $F_{t_1}(x_1)=P(t_1<x_1), F_{t_2}(x_2)=P(t_2<x_2)$, теперь полагаем $P(t_1<x_1)=P(t_2<x_2)=\alpha=y$ и требуем чтобы было $x_1>x_2$.
Ну так $x_1, x_2$ и есть квантили случайных величин $t_1, t_2$ соответственно при заданной вероятности $\alpha=y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение14.01.2024, 23:07 
Аватара пользователя


22/07/22

897
juna в сообщении #1625900 писал(а):
Это как? )

Да, вы правы :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение14.01.2024, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4676
Doctor Boom в сообщении #1625898 писал(а):
Мне кажется, вы не поняли условие

Как написали, так и понял....

Но теперь, после Ваших дополнительных разъяснений, надо выбирать ту, у которой больше мат.ожидание. Всё остальное - от лукавого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение15.01.2024, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Geen в сообщении #1625902 писал(а):
надо выбирать ту, у которой больше мат.ожидание. Всё остальное - от лукавого.

Не факт.

Изображение

Оба графика задают нормальное распределение. Красный ($t_2$) с матожиданием 8 и стандартным отклонением 10, синий ($t_1$) с матожиданием 7 и стандартным отклонением 3.
Примерно видно
$$P(t_1<4)\approx 0.2\Rightarrow P(t_1>4)=0.8$$
$$P(t_2<0)\approx 0.2\Rightarrow P(t_2>0)=0.8$$
Наверное лучше все-таки выиграть не менее 4 у.е. с вероятностью 0.8, чем остаться при своих с этой же вероятностью.
Эта тенденция сохраняется где-то до вероятности 0.5. А дальше уже начинается просто подбрасывание монетки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение15.01.2024, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4676
juna в сообщении #1625907 писал(а):
Красный ($t_2$) с матожиданием 8 и стандартным отклонением 10, синий ($t_1$) с матожиданием 7 и стандартным отклонением 3.

Вы мат.ожидание в каких пределах считали?...
juna в сообщении #1625907 писал(а):
Примерно видно

А графики отнормированы на 0/1 в заданных пределах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение15.01.2024, 05:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Geen в сообщении #1625910 писал(а):
Вы мат.ожидание в каких пределах считали?...

Я его не считал, а задал в системе maxima, также как и стандартное отклонение (https://maths.cnam.fr/Membres/wilk/MathMax/help/Maxima/maxima_47.html#IDX1528).

Код:
load(distrib)$
plot2d([cdf_normal(x,7,3),cdf_normal(x,8,10)],[x,-10,50]);


Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение15.01.2024, 12:10 
Аватара пользователя


22/07/22

897
Geen в сообщении #1625902 писал(а):
Но теперь, после Ваших дополнительных разъяснений, надо выбирать ту, у которой больше мат.ожидание. Всё остальное - от лукавого.

А вот и нет :mrgreen: Допустим вы можете с вероятностью $0.01$ выиграть миллиард, или остаться ни с чем. В другой страте вам точно дадут миллион. Матожижание первой стратегии больше, но логично выбрать вторую

-- 15.01.2024, 12:14 --

Короче в итоге получается, если $F_1(x) \geq F_2(x)$, то вторая стратегия лучше при любом раскладе

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение15.01.2024, 12:38 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
Нужно взять весовую функцию от награды и считать матожидание уже от нее. Функция чисто субъективная, математика не знает много или мало 1000000 для человека делающего ставку. Для одного это допустимая к потере сумма, другой должен заплатить мафии 100000 и стремится выиграть не меньше. Например, можно взять логарифм награды если мы будем играть в игру много раз и ставки перемножаются(была такая задача на форуме).

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерии наилучшего распределения
Сообщение15.01.2024, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4676
Doctor Boom в сообщении #1625926 писал(а):
но логично выбрать вторую

Никаких "логических" оснований Вы не привели.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 71 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group