Лучшая ставка в игре

[talash]

Geen в сообщении #1626112 писал(а):

talash в сообщении #1626082 писал(а):

Этот пример хорошо демонстрирует необходимость использования критерия Келли.

Нет.
Через 10 раундов (в последней редакции описания игры), банк в среднем увеличивается в 2.6 раза.

Это в среднем для множества игроков. А тут задача как лучше сыграть в игру одному игроку, и важное условие, что вход в игру один раз в жизни. Евгений Машеров посчитал, как наиболее вероятно будет идти игра для одного игрока:

Евгений Машеров в сообщении #1626166 писал(а):

При ставке 50% к капиталу в среднем из пяти игр в трёх капитал вырастет в полтора раза, в двух сократится вдвое. Это означает, что после пяти игр капитал уменьшится до 0.84375 от первоначального, и такая стратегия неудачна, в среднем теряем 3.34% на ход.

А ниже в цитате он и наилучшую ставку по критерию Келли посчитал. Половина капитала это очень большая и рискованная ставка и даже 60% вероятности выигрыша не спасают и такая стратегия скорее всего приведёт к потерям.

Евгений Машеров в сообщении #1626166 писал(а):

$p_{opt}=0.2$
В этом случае в трёх играх из пяти капитал будет вырастать до 1.2 исходного, в двух снижаться до 0.8, и в целом за 5 игр вырастет на 10.592%, или на 2.034% за кон.

[Geen]

talash в сообщении #1626195 писал(а):

как лучше сыграть

Что значит "лучше"? Дайте строгое определение, пожалуйста.

[talash]

Geen в сообщении #1626196 писал(а):

Что значит "лучше"? Дайте строгое определение, пожалуйста.

Нету строгого определения. Вопрос же был к Doctor Boom, у него похожая тема с формулами, я надеялся он с этим поможет.

-- 16.01.2024, 20:53 --

Лукомор в сообщении #1626097 писал(а):

Оптимальная стратегия, она называется мартингейл, или мартингал,
как раз с точностью до наоборот, заключается в том, чтобы после выигранного раунда уменьшать ставку в два раза, а после проигранного раунда ставку в два раза увеличивать.

Я эту стратегию в школьные годы изобрёл. Обидно, что её уже придумали до меня.

[Geen]

talash в сообщении #1626195 писал(а):

как наиболее вероятно будет идти игра для одного игрока

Вы не совсем поняли как будет идти игра - если описывать очень грубо, то Вы будете проигрывать по чуть-чуть, но изредка будут случаться очень крупные выигрыши. Например, если поставить себе цель увеличить стартовый капитал в миллион раз, то Вы гарантированно достигнете этой цели при достаточно долгой игре. (погорячился)

[talash]

Geen в сообщении #1626203 писал(а):

Например, если поставить себе цель увеличить стартовый капитал в миллион раз, то Вы гарантированно достигнете этой цели при достаточно долгой игре.

Мне кажется, что очевидно это не так, миллиона можно достичь, если сразу повезёт, а если нет, то мы свалимся в околонулевую яму, пики будут, но тоже около нуля и дальше яма будет всё ближе к нулю и всё меньше вероятности из неё выбраться.

-- 16.01.2024, 21:47 --

Geen в сообщении #1626203 писал(а):

(погорячился)

а я успел ответить)

[Geen]

Да, критерий Келли, как-раз, минимизирует время ожидания миллиона...

[Евгений Машеров]

Если начать с рубля, то в среднем за 686 игр при оптимальной ставке будет миллион.

[Евгений Машеров]

Обсуждения мартингэйла были в следующих темах:
topic104625.html
topic83010.html
topic81994.html
topic80175.html

[Евгений Машеров]

Написал на экселе табличку. Кто хочет, может поэкспериментировать.

[Parkhomuk]

Что-то я запутался, так кто прав?

Geen в сообщении #1626158 писал(а):

Посчитайте честно - увидите что это $1.1^N$.

или

Евгений Машеров в сообщении #1626166 писал(а):

такая стратегия неудачна, в среднем теряем 3.34% на ход

[talash]

Parkhomuk в сообщении #1626459 писал(а):

Что-то я запутался, так кто прав?

Geen в сообщении #1626158 писал(а):

Посчитайте честно - увидите что это $1.1^N$.

или

Евгений Машеров в сообщении #1626166 писал(а):

такая стратегия неудачна, в среднем теряем 3.34% на ход

Оба правы

-- 19.01.2024, 08:10 --

Цитата:

что это $1.1^N$.

Хотя, не уверен можно ли возводить в степень, так как ставка изменяется из раунда в раунд, но в каждом раунде матожидание капитала 1.1. Если бы всё время ставили 1р., то в среднем за каждый раунд был бы прирост в 10коп. Но поскольку ставка меняется и она большая, то получается перекос вниз, большой риск много проиграть.

Тут хотелось придумать какой-то математический критерий, как играть в такую игру, чтобы это было выгодно с точки зрения людей. Заработать все деньги мира с околонулевой вероятностью, эта стратегия кажется плохой, лучше попробовать выиграть миллион с вероятностью заметно отличной от нуля и ещё непонятно какой лучше внести начальный капитал.

[Евгений Машеров]

Geen в сообщении #1626158 писал(а):

Doctor Boom в сообщении #1626155 писал(а):

наш выигрыш $1.5^{0.6N}\cdot 0.5^{0.4N}a$

Неверно.
Посчитайте честно - увидите что это $1.1^N$.

$1.5^{0.6}=1.275424500625790832866547850193$


$0.5^{0.4}=0.75785828325519904117362990065322$


$1.5^{0.6}0.5^{0.4}=1.275424500625790832866547850193\cdot0.75785828325519904117362990065322=0.96659102246588137576243947163308$


$1-0.96659102246588137576243947163308=0.03340897753411862423756052836692\approx 3.34\%$
убытка на кон.

[Null]

Geen в сообщении #1626158 писал(а):

$1.1^N$.

Это неправильно. $1.1$ будет если каждый раунд ставка одинаковая. Если мы каждый раз ставим все(ставка меняется) - то будет $1.5^{0.6}\cdot 0.5^{0.4}$

[Евгений Машеров]

Это довольно любопытный парадокс (не софизм). При любой доле ставки матожидание положительно, причём чем больше ставим, тем выше, но при некоторых размерах ставки исход игры - проигрыш. Поскольку одинаковые в абсолютном выражении выигрыши и проигрыши (всегда в размере суммы ставки) в относительном выражении различны. Для 50% ставки при выигрыше капитал растёт в полтора раза, а при проигрыше падает вдвое. Поэтому при длительной серии будет проигрыш, даже если выигрышей больше. При другом проценте ставки разница в относительном выигрыше и проигрыше уменьшается, но не исчезает, даже при очень малой ставке.
$\frac 1 {1-p}=1+p+p^2+p^3+\cdots+p^n+\cdots>1+p$
Но, уменьшая p, можем попасть в область, где выгода от положительного матожидания перекрывает потери от "относительности". И выбрать оптимум ставки, тут 20% от капитала (собственно, по критерию Келли).

[talash]

Null в сообщении #1626467 писал(а):

Geen в сообщении #1626158 писал(а):

$1.1^N$.

Это неправильно. $1.1$ будет если каждый раунд ставка одинаковая. Если мы каждый раз ставим все(ставка меняется) - то будет $1.5^{0.6}\cdot 0.5^{0.4}$

И всё-таки правильно, как Geen написал. Если 10000 человек придёт в игру и каждый поставит 100р. и каждый сыграет 10 раундов, то отношение итогового суммарного капитала всех людей к первоначальному составит $1.1^{10}\approx2.6$

Проверил численным методом, код прилагаю. Сайт для проверки.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

int main() {
    srand(time(0)); // Инициализация генератора случайных чисел

    int num_players = 10000;
    int num_rounds = 10;
    double initial_capital = 100.0;

    std::vector<double> capitals(num_players, initial_capital);
    double total_initial_capital = num_players * initial_capital;

    for (int i = 0; i < num_rounds; ++i) {
        for (int j = 0; j < num_players; ++j) {
            double bet = capitals[j] / 2;
            capitals[j] -= bet;
            if (rand() % 100 < 60) { // 60% шанс выиграть
                capitals[j] += 2 * bet;
            }
        }
    }

    double total_final_capital = 0.0;
    for (int j = 0; j < num_players; ++j) {
        total_final_capital += capitals[j];
    }

    double ratio = total_final_capital / total_initial_capital;
    std::cout << "Capital expected value: " << ratio << std::endl;

    return 0;
}

PS Код сгенерировал BingAI без ошибок, только русский текст пришлось на английский заменить, иначе при выводе в консоль абракадабра. Запрос такой:
напиши программу на си++.
Нужно вычислить численным методом отношение суммарного капитала всех игроков после игры и до игры. 10000 игроков вносят капитал 100 рублей и играют 10 раундов, в каждом раунде ставят половину текущего капитала, при проигрыше ставка теряется, при выигрыше удваивается и прибавляется к капиталу. Вероятность выигрыша 60%, проигрыша 40%.