Нестандартный анализ без матлогики

[Mikhail_K]

EminentVictorians
Возможно, Вас заинтересует книга
Сперанский. Теория внутренних множеств: Аксиоматический подход к нестандартному анализу

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1630042 писал(а):

Возможно, Вас заинтересует книга
Сперанский. Теория внутренних множеств: Аксиоматический подход к нестандартному анализу

Не совсем то. Я знаю про $IST$, и это опять матлогика, формальные теории, консервативность над ZFC и все такое. Хочу, чтобы анализ над $^* \mathbb R$ строился внешним образом, без привлечения матлогики. Как обычный анализ над $\mathbb R$.

EminentVictorians в сообщении #1623312 писал(а):

Таким образом, я хочу построить нестандартный анализ, в котором не будет никакой матлогики, никаких языков, никакой теории моделей, никаких Нельсонов, Хрбачеков, Каваи, никакого принципа переноса в терминах языка первого порядка, никаких внутренних множеств, предикатов стандартности и т.д. - короче вообще ничего касающегося матлогики.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1630087 писал(а):

Хочу, чтобы анализ над $^* \mathbb R$ строился внешним образом, без привлечения матлогики. Как обычный анализ над $\mathbb R$.

А Вам не кажется, что он тогда будет совпадать с анализом над $\mathbb{R}$? Грубо говоря, все утверждения, справедливые в $\mathbb{R}$, справедливы и в $^*\mathbb{R}$ (хотя это надо уточнять, но в целом это так).

Даже аксиома Архимеда - справедлива и в $\mathbb{R}$, и в $^*\mathbb{R}$ (несмотря на неархимедовость последнего) в следующем смысле. Для $\mathbb{R}$ она равносильна тому, что не существует вещественных чисел, которые больше всех натуральных. А для $^*\mathbb{R}$ - тому, что не существует гипердействительных чисел, которые больше всех гипернатуральных.

Теория $^*\mathbb{R}$ приобретает смысл, только если её сопоставлять с $\mathbb{R}$. А иначе она просто ничем не отличается. Изнутри $^*\mathbb{R}$ нельзя отличить конечное число от бесконечно большого. И это даже интуитивно понятно. Вот у нас число триллион - почему мы думаем, что оно конечное? Потому что если мы будем вычитать из него по единице, то у нас есть уверенность, что рано или поздно получится отрицательное число - хотя практически это сделать затруднительно. Ну так и для "бесконечно больших" чисел изнутри $^*\mathbb{R}$ есть уверенность, что если из них вычитать по единице, рано или поздно получится отрицательное число (и только извне $^*\mathbb{R}$ понятно, что для этого понадобится бесконечно большое гипернатуральное количество шагов).

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1630092 писал(а):

А Вам не кажется, что он тогда будет совпадать с анализом над $\mathbb{R}$?

Не должен. Весь ведь смысл в том, чтобы появились инфинитезимали, которых в обычном анализе нету. Выкладки станут принципиально другими. Знаете вот это рассуждение, которое приводят во всех вводных курсах нестандартного анализа, где находится производная какой-нибудь функции типа $x^2$ с непосредственным оперированием бесконечно малым числом $dx$? Мне хочется, чтобы весь анализ был в таком стиле.

Еще один момент, касающийся совпадения теорий. Я знаю, что $\mathbb R$ и $^* \mathbb R$ элементарно эквивалентны. Но, имхо, это очередная разводка матлогики. На мой взгляд, смысл математической теории не только в утверждениях, но еще и в аппарате. Могут быть 2 абсолютно равносильные в смысле утверждений теории, но у одной хороший аппарат, а а другой нет. Матлогика скажет, что эти теории эквивалентны, но математикой-то занимаются люди, а не компьютеры. Аппарат важнее результатов, на мой взгляд. И основная мотивация всех моих поисков в том, что на мой взгляд аппарат стандартного анализа не очень хороший.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1630111 писал(а):

Знаете вот это рассуждение, которое приводят во всех вводных курсах нестандартного анализа, где находится производная какой-нибудь функции типа $x^2$ с непосредственным оперированием бесконечно малым числом $dx$? Мне хочется, чтобы весь анализ был в таком стиле.

Это рассуждение - пример того, как $^*\mathbb{R}$ помогает построить анализ над $\mathbb{R}$. И без $\mathbb{R}$ в этом рассуждении Вы никак не обойдётесь - например при нахождении производной Вы должны находить стандартную часть отношения приращений. А имея только $^*\mathbb{R}$, вы эту стандартную часть не определите, так как вообще не сможете отличить стандартное число от нестандартного, бесконечно малое от не бесконечно малого - изнутри $^*\mathbb{R}$ разницы между ними не видно. Если у вас нет $\mathbb{R}$, а есть только $^*\mathbb{R}$, вы не построите с этим $^*\mathbb{R}$ вообще ничего отличающегося от теории обычного $\mathbb{R}$. Потому что разница между $^*\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}$ видна лишь, когда мы работаем с этими двумя множествами одновременно, и не видна, если работаем с ними по отдельности.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1630123 писал(а):

И без $\mathbb{R}$ в этом рассуждении Вы никак не обойдётесь - например при нахождении производной Вы должны находить стандартную часть отношения приращений.

Совсем без $\mathbb R$ я не предлагаю. Да, мы выделим действительные числа среди гипердействительных. Это делается без матлогики. И стандартную часть числа определим (для этого тоже матлогика не нужна). И производную определим, как стандартную часть понятно какого числа. Я не против всего этого. Проблемы начинаются дальше.

Как мы определяли функцию, например, квадратного корня в действительном анализе? Сначала мы доказывали, что для любого неотрицательного числа $x$ существует, и при том единственное неотрицательное число $y$ такое, что $y^2 = x$. Будем называть данное число $y$ квадратным корнем из $x$ и обозначать $y = \sqrt{x}$. Благодаря этой теореме можно корректно ввести функцию $\sqrt{}$:[0, +$\infty) \to \mathbb{R}$, определенную на неотрицательных действительных числах.

А теперь посмотрим на нестандартный анализ. Да, он позволяет доказать, что для действительной функции $\sqrt{}$ существует её гипердействительный аналог $^* \sqrt{}$. Но что это за функция? Где она определена вообще? На $^* [0, +\infty)$ - гипердействительном аналоге множества неотрицательных чисел? А что это вообще за множество? Это ведь не то же самое, что неотрицательные гипердействительные числа. Это вообще какое-то странное и непонятное подмножество $^* \mathbb R$. По-моему, никакого прямого описания у него нету. А хочется обычным внешним образом определить гипердействительный корень как функцию из любого неотрицательного гипердействительного числа. Но так нельзя. По-моему, существуют неотрицательные гипердействительные числа, из которых не извлекается квадратный корень. А учитывая, что и модели гипердействительных чисел не изоморфны все друг с другом, то становится очевидно, что никакого внешнего анализа на $^* \mathbb R$ нету.

-- 18.02.2024, 21:30 --

Mikhail_K в сообщении #1630123 писал(а):

Если у вас нет $\mathbb{R}$, а есть только $^*\mathbb{R}$, вы не построите с этим $^*\mathbb{R}$ вообще ничего отличающегося от теории обычного $\mathbb{R}$.

Не факт. Никто же не обязывает меня ограничиваться только логикой первого порядка. Элементарная эквивалентность $\mathbb R$ и $^* \mathbb R$ - это ведь про первопорядковые утверждения.

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1630131 писал(а):

По-моему, существуют неотрицательные гипердействительные числа, из которых не извлекается квадратный корень.

Почему это вдруг? Поле ${}^* \mathbb R$ вещественно замкнуто, в нём неотрицательные элементы - это в точности такие $a$, для которых разрешимо уравнение $x^2 = a$, ну а неотрицательный корень такого уравнения и называется квадратным корнем.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1630131 писал(а):

Это ведь не то же самое, что неотрицательные гипердействительные числа. Это вообще какое-то странное и непонятное подмножество $^* \mathbb R$. По-моему, никакого прямого описания у него нету.

Откуда Вы это взяли?

[EminentVictorians]

dgwuqtj, Mikhail_K хмм...

А как же модель, построенная как поле рациональных функций с коэффициентами из $\mathbb R$ от переменной $\varepsilon$? Там $\varepsilon$ - положительное бесконечно малое, но корень из него извлечь нельзя. См. Успенский "Что такое нестандартный анализ", параграф 4 и начало параграфа 5.

Есть ведь много неизоморфных между собой неархимедовых расширений поля вещественных чисел.

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1630139 писал(а):

А как же модель, построенная как поле рациональных функций с коэффициентами из $\mathbb R$ от переменной $\varepsilon$? Там $\varepsilon$ - положительное бесконечно малое, но корень из него извлечь нельзя. См. Успенский "Что такое нестандартный анализ", параграф 4 и начало параграфа 5.

Ну это и не модель ${}^* \mathbb R$, в ней не выполнена формула $\forall x \colon (\exists y \colon y^2 = x) \vee (\exists y \colon y^2 = -x)$ (которая верна в $\mathbb R$, так что должна быть верна и в ${}^* \mathbb R$). Это просто некоторое упорядоченное неархимедово поле.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1630146 писал(а):

Ну это и не модель ${}^* \mathbb R$, в ней не выполнена формула $\forall x \colon (\exists y \colon y^2 = x) \vee (\exists y \colon y^2 = -x)$ (которая верна в $\mathbb R$, так что должна быть верна и в ${}^* \mathbb R$). Это просто некоторое упорядоченное неархимедово поле.

Да, Вы правы.

Но это же жесть какая-то, на каждый чих писать формулу в логике первого порядка и проверять, выполняется она в $\mathbb R$ или нет.

Ну хорошо, с корнем получилось. А с более сложными множествами как быть? Вот у канторова множества есть прямое описание, а у его гипердействительного аналога?

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1630139 писал(а):

параграф 4 и начало параграфа 5.

В этих параграфах не настоящий нестандартный анализ, а его очень упрощенная версия.

-- 18.02.2024, 22:57 --

EminentVictorians в сообщении #1630150 писал(а):

Вот у канторова множества есть прямое описание, а у его гипердействительного аналога?

Гипердействительный аналог множества, имеющего прямое описание, будет иметь ровно такое же описание.
Канторово множество имеет описание $[0,1]\backslash\bigcup\limits_{n=1}^\infty\bigcup\limits_{k=1}^{2^{n-1}}(a_n^k,b_n^k)$. Гипердействительный аналог будет иметь ровно такое же описание, только вместо отрезков и интервалов будут их гипердействительные аналоги, а $n$ будет принимать все гипернатуральные значения, в том числе бесконечно большие.

Гипердействительный аналог отрезка $[a,b]$ (или интервала) - это просто множество гипердействительных чисел, заключённых между $a$ и $b$, ровно в том же смысле что и обычные отрезок и интервал.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1630152 писал(а):

Гипердействительный аналог отрезка $[a,b]$ (или интервала) - это просто множество гипердействительных чисел, заключённых между $a$ и $b$, ровно в том же смысле что и обычные отрезок и интервал.

Блин, а ведь правда. Мог бы и сам догадаться.

Но все равно мне не нравится, что в центре внимания вещественный анализ. Когда мы строим вещественный анализ, у нас же в центре внимания именно вещественный анализ, а не анализ над $\mathbb Q$.

Когда мы доказываем существование корня из любого неотрицательного вещественного числа, мы используем свойства именно вещественных чисел (в частности полноту). А если я, допустим, вообще ничего не знаю про вещественные корни и хочу сразу доказать существование корня для неотрицательных гипервещественных?

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1630158 писал(а):

А если я, допустим, вообще ничего не знаю про вещественные корни и хочу сразу доказать существование корня для неотрицательных гипервещественных?

Подозреваю, что подойдёт ровно такое же доказательство, как и для $\mathbb{R}$.

-- 18.02.2024, 23:54 --

EminentVictorians в сообщении #1630158 писал(а):

Когда мы доказываем существование корня из любого неотрицательного вещественного числа, мы используем свойства именно вещественных чисел (в частности полноту).

Все свойства вещественных чисел имеют точные гипервещественные аналоги.
Даже аксиома Архимеда! хоть $^*\mathbb{R}$ и неархимедово.

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1623312 писал(а):

Фиксируем модель $^*\mathbb R$, построенную на (существующем по аксиоме выбора) свободном ультрафильтре $F \subset 2^\mathbb N$.

EminentVictorians в сообщении #1623354 писал(а):

Существует свободный ультрафильтр $F \subset 2^\mathbb N$ на множестве натуральных чисел. Зафиксируем его.

А как из существования следует возможность "фиксации"?