2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Написал ликбез по нестандартному анализу
Сообщение14.09.2019, 22:23 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Оцените, покритикуйте
https://mega.nz/#!a44XgSCZ!lrG-h5tHEpx1 ... 2jMaurxYPs
Это первая версия, готов её расширять, но полнометражный учебник писать не буду, нестандартный анализ меня не настолько вдохновляет. Могут быть ляпы и ляпчики. Если что-то непонятно, не стесняйтесь говорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал ликбез по нестандартному анализу
Сообщение23.09.2019, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
george66
Вот наконец-то я долез до чтения. Пока ощущается довольно понятным для незнакомых с матлогикой.

Что бы я, если бы был автором, поменял:

(незначительное)
    Цитата:
    Итого, терм $1+2$ есть $1+(1+1)$ <…>
    <…> функции и отношения на множестве действительных чисел.
Этот кусок я бы отделил небольшими вертикальными интервалами от текста перед и после, т. к. он на время прерывает перечисление «индуктивных частей языка». Вообще я бы придал всем абзацам или левый отступ первой строки, или интервалы между.

(незначительное)
    Цитата:
    Атомарные формулы имеют вид <…>
Не уверен, что не знакомым с матлогикой так просто понять, что формулы обозначают высказывания, хотя прям сразу в этом же куске их примеры. Может потребоваться отступление на одно предложение, вот про термы выше написано «выражения».

(незначительное)
    Цитата:
    Замкнутые формулы – это такие, в которых нет свободных переменных (параметров, <1> все переменные связаны кванторами).
Запятую <1> я бы для прочности сделал точкой с запятой, а то она выглядит немного двусмысленной.

(незначительное)
    Цитата:
    Интервалы можно брать замкнутые, открытые, полуоткрытые в любую сторону и бесконечные в одну или обе стороны.
Не уверен в статистике, но может найтись достаточно людей, которые здесь проще восприняли промежутки вместо интервалов (которые они сочли бы открытыми промежутками). Хотя контекст, разумеется, достаточный чтобы понять.

(незначительное)
    Цитата:
    $Ind(A)$
А может быть $\mathrm{Ind}(A)$ или $\mathsf{Ind}(A)$.

(незначительное)
    Цитата:
    Содержательно, $p$ задаёт блок (порядок <2> блоков плотный без первого и последнего элемента)
В <2> я бы вставил «нестандартных». Стандартный блок-то первый.

(опечатка)
    Цитата:
    Если мы хотим что-то доказывать в логике второго порядка ( а не „брать все истинные формулы <…>
Лишний пробел после скобки.

(опечатка)
    Цитата:
    то $c \in {}^*(A - \{0\})$
Тут впервые (кажется) разность множеств записывается минусом, когда выше на той же странице она записывается через $\setminus$.

(незначительное)
    Цитата:
    $Fin$
(Аналогично $Ind(A)$ выше.)

(совсем незначительное)
Попадаются записи вида $\{a\ldots b\}$, где я бы поставил запятые вокруг многоточия.

Содержательно я не могу быть уверен в части про построение меры Лебега, потому что моей голове стало нехорошо, в остальном вроде никаких проблем.

-- Пн сен 23, 2019 02:21:28 --

Ах ещё да,
george66 в сообщении #1415155 писал(а):
готов её расширять
может, чуть раздуть место про плотный порядок нестандартных блоков натуральных чисел (или отослать): не сразу очевидно, почему $[c/2]$ и $2c$ не лежат в том же блоке что и $c$$[(c+c')/2]$ — в блоке $c$ или $c'$; хотя тут очевиднее из-за симметрии: если лежит в одном, должно и в другом, но эти два блока не пересекаются).

-- Пн сен 23, 2019 02:22:55 --

Надеюсь, эти комментарии вам окажутся полезными. :-) Если бы ваша книжка по категориям была бы размером в этот ликбез, я бы тоже её быстренько раскомментировал, но…

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал ликбез по нестандартному анализу
Сообщение23.09.2019, 01:47 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Я книжку по категориям первоначально уложил в сто страниц, но её так раскомментировали, что пришлось браться всерьёз.

-- 23.09.2019, 02:39 --

Вообще, нестандартный анализ чем хорош - безумие теории множеств он преподносит явно. Люди, привыкшие к теории множеств, уже не замечают, что её делал сумасшедший. А вот вам Хрбачек и Нельсон (а то ещё Вопенка с AST) и Есенин-Вольпин с ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал ликбез по нестандартному анализу
Сообщение03.10.2019, 00:09 


13/04/16
97
Здравствуйте, george66, вопрос по заметке. На 10 странице вы пишите :

Цитата:
А вот множество обычных (стандартных) натуральных чисел не определимо. [..] Это не так удивительно, поскольку нестандартная модель специально так строилась, чтобы никакой формулой первого порядка нельзя было различить обычные числа от бесконечно больших.


Правильно ли я понимаю, что на практике это не создает проблем, потому что множество обычных натуральных чисел выделяется из гипервещественных средствами ZFC с помощью рекурсивного определения, например (корректность рекурсивного определения проверяется с помощью аксиомы о существовании образа функции) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал ликбез по нестандартному анализу
Сообщение03.10.2019, 00:26 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Если аксиоматизировать "нестандартную теорию множеств", там добавляют предикат $St$. Он выделяет стандартные элементы ($St(0),St(1),St(2)\ldots$). Тогда сохраняются, грубо говоря, формулы, не содержащие предиката $St$. Например, возьмём такую формулу
$\forall n\,(\neg n=0\Rightarrow\exists m\,(n=m+1))$
("перед каждым натуральным числом, не равным нулю, есть предшественник"). Предполагается, что переменные $n,m$ пробегают по гипернатуральным числам. Формула не содержит предиката $St$. Теперь возьмём соответствующее утверждение для стандартных натуральных чисел
$\forall^{St} n\,(\neg n=0\Rightarrow\exists^{St} m\,(n=m+1))$
Эта формула равносильна исходной, принцип переноса.
Следите за темой, через некоторое время выложу слегка исправленный вариант (нашёл две мелких опечатки). Могу также что-нибудь добавить или разъяснить, если есть пожелания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал ликбез по нестандартному анализу
Сообщение15.10.2019, 17:12 


21/03/19
8
Скажите, пожалуйста, чем Ваш нестандартный анализ отличается от классического нестандартного анализа, изложенного в книге: В.А.Успенский. Что такое нестандартный анализ? - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, - 128 с.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал ликбез по нестандартному анализу
Сообщение15.10.2019, 17:55 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Ничем, он общий. Я ничего не придумывал. У меня больше подробностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал ликбез по нестандартному анализу
Сообщение15.10.2019, 19:09 


21/03/19
8
Спасибо за ответ. Скажите, пожалуйста на кого рассчитано Ваше пособие? Является ли оно учебным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал ликбез по нестандартному анализу
Сообщение15.10.2019, 19:28 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Это ликбез для русскоязычных математиков, невежественных и неблагодарных. Книжка Успенского для продвинутых школьников. Книжка Дэвиса по замыслу учебник, но не очень понятный. Гордон-Кусраев-Кутателадзе скорее большой обзор. Учиться и по тому и по другому трудно. Цель ликбеза - сделать возможным чтение этих книг, а также англоязычных, которых много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал ликбез по нестандартному анализу
Сообщение15.10.2019, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5914
george66 в сообщении #1420947 писал(а):
Цель ликбеза - сделать возможным чтение этих книг, а также англоязычных, которых много.


Спасибо. Я когда-то ходил на спецкурс по нестандартному анализу и сдавал экзамен (хотя это была практически ортогональная тематика, посвящённая "конкретной реализации" через ультрафильтры). Если бы был доступен этот текст тогда, было бы намного проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал ликбез по нестандартному анализу
Сообщение16.10.2019, 13:45 


21/03/19
8
george66 в сообщении #1420947 писал(а):
Это ликбез для русскоязычных математиков, невежественных и неблагодарных. Книжка Успенского для продвинутых школьников. Книжка Дэвиса по замыслу учебник, но не очень понятный. Гордон-Кусраев-Кутателадзе скорее большой обзор. Учиться и по тому и по другому трудно. Цель ликбеза - сделать возможным чтение этих книг, а также англоязычных, которых много.


Большое спасибо за Ваши благородные устремления. Искренне желаю удачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group