Теор. вероятностей: противоречие

[KhAl]

(Оффтоп)

на всякий случай: я ухожу из темы. чтобы не мучать TOTAL необходимостью говорить с несколькими людьми сразу.

[мат-ламер]

KhAl в сообщении #1609733 писал(а):

мат-ламер, я опять отредактировал сообщение, к сожалению. Прошу отвечать на последнюю версию.

Я так понял, что вопрос касается, почему изменяется вероятность правдивого ответа в процессе вычислений? Я пытался ответить, используя рассуждения в духе доказательства теоремы Байеса. Вероятности меняется на урезанном вероятностном пространстве. Но мне не поверили:

sergey zhukov в сообщении #1609744 писал(а):

Друг всегда будет говорить правду в 90% случаев. И на обрезанном множестве тоже. Это дождь за окном на этом обрезанном множестве идет с некоторой другой, не априорной (а с апостериорной) вероятностью.

В следующем посту я попытаюсь развёрнуто с выкладками обосновать своё мнение.

[mihaild]

TOTAL в сообщении #1609787 писал(а):

Свойство врать с вероятностью $1/3$ задано в условии

Я спрашиваю не про условие. Забыли пока про исходную задачу, рассмотрели вот такую.

mihaild в сообщении #1609265 писал(а):

я смотрю за окно, потом кидаю кубик, и сообщаю то, что вижу, с вероятностью $2/3$, а с вероятностью $1/3$ инвертирую, то какая будет у меня вероятность вранья?

Это нужно для контроля, что у нас нет разногласия в том, что такое "вероятность соврать".

[TOTAL]

mihaild в сообщении #1609791 писал(а):

Это нужно для контроля, что у нас нет разногласия в том, что такое "вероятность соврать".

Именно это я тоже подразумеваю под враньём. В одном случае из трёх говорить противоположное тому, что есть на самом деле. И кубик здесь можно кидать "до", можно "после", разницы никакой.

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1609747 писал(а):

А что вообще Вы понимаете под "вероятностью дождя" и "вероятностью соврать"? Характеристикой чего она является?
TOTAL, ответьте всё-таки, пожалуйста.

mihaild в сообщении #1609786 писал(а):

Первый вопрос был не к Вам:)

Наверное вопросы были ко мне. Не сразу сообразил.

Я рассматривал случайно выбранный день в сухом сезоне в Солт-Лейк-Сити и в сезоне дождей в Мумбаи. Приближённо наличие дождя или нет в последовательные дни является стационарным временным рядом с бинарным исходом. Вероятность соврать - я уже объяснял. Друг, глядя в окно, запускает генератор случайных чисел. Для одной из возможных постановок задачи, которой я не придерживаюсь, это сначала будут априорные вероятности (то есть до опыта). После того как получено сообщение от друга, вычисляем апостериорные вероятности в соответствие с теоремой Байеса. Это уже будут другие вероятности. Если надо подробности, я их позже распишу.

[KhAl]

мат-ламер

мат-ламер писал(а):

Я так понял, что вопрос касается, почему изменяется вероятность правдивого ответа в процессе вычислений?

Нет, пока вопрос в том, равносильны ли две задачи (точнее, я пытаюсь Вас убедить, что равносильны). Попытаюсь снова подробнее написать.

Я для начала заменил $2/3$ в условии на $1/2$. Вроде как Вы согласны с тем, что произошедшее можно теперь понимать так: "друзья посмотрели, идёт дождь или нет, затем каждый бросил монетку и если выпал орёл, сказал правду, иначе соврал". Теперь рассмотрим друга в момент броска монетки. Если дождь идёт, то у этого друга будет ровно 50% вероятность сказать, что дождь идёт (потому что 50% вероятность сказать правду). Если не идёт, то снова 50% вероятность сказать, что дождь идёт (потому что 50% вероятность соврать). Согласны с этими рассуждениями?

Следующий шаг: поскольку в любом случае в момент броска монетки есть 50% сказать, что дождь идёт и 50%, что не идёт, то другу вовсе не обязательно смотреть на дождь — он может просто бросить монетку, и если выпал орёл, сказать, что дождь идёт, а иначе сказать, что не идёт. Согласны?

-- 17.09.2023, 14:56 --

KhAl писал(а):

Если дождь идёт, то у этого друга будет ровно 50% вероятность сказать, что дождь идёт

(имею в виду, если оценивать вероятность непосредственно перед броском. после броска результат броска известен, и вероятность либо 1 либо 0)

[sergey zhukov]

мат-ламер

sergey zhukov в сообщении #1609744 писал(а):

2. Друг всегда будет говорить правду в 90% случаев. И на обрезанном множестве тоже.

Тут я что-то не то написал. Мы, конечно, предполагаем, что вероятность правдивости друга постоянна. Но эта статистика собрана на всех без исключения звонках к нему. Если же отбросить все случаи, где он говорит "дождя нет", то частота его правдивых ответов на таком урезанном множестве, конечно, будет зависеть от априорной вероятности дождя. Если она (априорная вероятность) низкая, то почти все его ответы будут ложью. Если высокая - почти все будут истинными.

[mihaild]

TOTAL в сообщении #1609796 писал(а):

Именно это я тоже подразумеваю под враньём

С этим, значит, разобрались.
Тогда еще один вариант. Я кинул кривую монетку: на ней орел выпадает с вероятностью $1/10$, а решка с вероятностью $9/10$. Я сказал, что выпал орел. Я вру (в определении выше) с вероятностью $1/3$. Какова вероятность того, что правда выпал орел?

мат-ламер в сообщении #1609801 писал(а):

Наверное вопросы были ко мне. Не сразу сообразил.

Да, мой косяк, надо было более четко разделить.

[TOTAL]

mihaild в сообщении #1609811 писал(а):

TOTAL в сообщении #1609796 писал(а):

Именно это я тоже подразумеваю под враньём

С этим, значит, разобрались.
Тогда еще один вариант. Я кинул кривую монетку: на ней орел выпадает с вероятностью $1/10$, а решка с вероятностью $9/10$. Я сказал, что выпал орел. Я вру (в определении выше) с вероятностью $1/3$. Какова вероятность того, что правда выпал орел?

Вероятность, что выпал орёл, равна $2/11$ (этот ответ я даю при условии, что мне известна частота выпадения орла)

[мат-ламер]

KhAl в сообщении #1609806 писал(а):

Нет, пока вопрос в том, равносильны ли две задачи (точнее, я пытаюсь Вас убедить, что равносильны). Попытаюсь снова подробнее написать.

Я для начала заменил $2/3$ в условии на $1/2$.

Я придрался к вашему сообщению не поэтому. Вот ваш текст:

KhAl в сообщении #1609422 писал(а):

Я хотел заговорить о том, что будет, если Вы сделаете себе механических друзей, которые ничего не знают о Тбилиси и отвечают "есть дождь/нет дождя" с вероятностью $1/2$ (как видно, их поведение ничем не отличается от друзей из пункта 1).

В вашей постановке друзья ничего не знают от Тбилиси. Поэтому я и написал:

мат-ламер в сообщении #1609423 писал(а):

Это конечно всё интересно. Но тут получается задача, которая ничего общего с исходной не имеет, если что.

KhAl в сообщении #1609806 писал(а):

Я для начала заменил $2/3$ в условии на $1/2$. Вроде как Вы согласны с тем, что произошедшее можно теперь понимать так: "друзья посмотрели, идёт дождь или нет, затем каждый бросил монетку и если выпал орёл, сказал правду, иначе соврал". Теперь рассмотрим друга в момент броска монетки. Если дождь идёт, то у этого друга будет ровно 50% вероятность сказать, что дождь идёт (потому что 50% вероятность сказать правду). Если не идёт, то снова 50% вероятность сказать, что дождь идёт (потому что 50% вероятность соврать). Согласны с этими рассуждениями?

Тут постановка уже приближена к исходной. Причём ответ в задаче будет такой же, как будто они ничего не знают о Тбилиси.
Тут я с вашими рассуждениями полностью согласен. И тот метод рассуждения, который даёт в исходной задаче ответ $8\slash 9$ при данной постановке даёт ответ $1\slash 2$ . То есть никакого толка от друзей мы тут не получаем.

[KhAl]

мат-ламер писал(а):

То есть никакого толка от друзей мы тут не получаем.

В этом и проблема. Друзья не имеют никакого значения, то есть Вы "из воздуха" оцениваете вероятность дождя как $1/2$, хотя совершенно ничего о нём не знаете. В условии задачи не сказано, что дождь, как монетка, симметричен, а Вы получаете это из ниоткуда.

[TOTAL]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1610131 писал(а):

То есть никакого толка от друзей мы тут не получаем.

Я бы так не говорил. На самом деле здесь две разные задачи дали одинаковый ответ. И больше ничего, не эквивалентность это, не получение из воздуха. Это всё равно, что говорить про функции $\sin(x)$ и $x/2$, что они эквивалентны (даже мультиэквивалентны!) из-за того, что в некоторых точках они принимаю одинаковые значения.

[KhAl]

KhAl в сообщении #1610135 писал(а):

мат-ламер писал(а):

То есть никакого толка от друзей мы тут не получаем.

В этом и проблема. Друзья не имеют никакого значения, то есть Вы "из воздуха" оцениваете вероятность дождя как $1/2$, хотя совершенно ничего о нём не знаете. В условии задачи не сказано, что дождь, как монетка, симметричен, а Вы получаете это из ниоткуда.

Добавлю ещё слов: то есть Вам как-бы сказали "в Тбилиси либо идёт дождь, либо не идёт дождя", а Вы сразу реагируете "значит, вероятность дождя в Тбилиси равна $1/2$". Вам не странно? Даже если бы был не дождь, а нечто совершенно абстрактное.

[Geen]

EUgeneUS в сообщении #1609750 писал(а):

Если знаем дату, и погоду на вчера - то обращаемся к метеорологам.

А если вопрос про погоду на Титане?...
С другой стороны - вдруг эти три "друга" и есть метеорологи?...

-- 17.09.2023, 18:52 --

KhAl в сообщении #1610135 писал(а):

Друзья не имеют никакого значения, то есть Вы "из воздуха" оцениваете вероятность дождя как $1/2$, хотя совершенно ничего о нём не знаете.

Всё наоборот.
Представьте, что речь идёт про игру в миллионера, но вместо одного друга Вам дали возможность позвонить троим....

[mihaild]

TOTAL в сообщении #1609823 писал(а):

Вероятность, что выпал орёл, равна $2/11$ (этот ответ я даю при условии, что мне известна частота выпадения орла)

Пока что согласен.
Теперь еще два варианта.
1. Я кидаю кривую монетку, на которой орел выпадает с вероятностью $p$. Я вру с вероятностью $1/3$. Я говорю, что выпал орел. С какой вероятностью правда выпал орел? Видимо $\frac{2p}{1 + p}$, так?
2. Я кидаю кривую монетку. Я вру с вероятностью $1/3$. Я говорю, что выпал орел. С какой вероятностью правда выпал орел?
Чем второй вариант отличается от исходной задачи?