Теор. вероятностей: противоречие

[Утундрий]

Хорошо или плохо решать недопоставленную задачу, по мере фантазии оную доопределяя? Зависит от настроения, полагаю.

[realeugene]

Чем найденная функция не решение?
Она зависит только от заданных условий.

[epros]

Утундрий в сообщении #1609690 писал(а):

Хорошо или плохо решать недопоставленную задачу, по мере фантазии оную доопределяя?

Проблема в том, что на практике задачи ставит жизнь, а она допоставленность задачи обеспечивать не спешит. В частности, она никогда не определяет априорные вероятности. Начальную задачу темы можно, конечно, трактовать как недопоставленную недобросовестным преподавателем, но ведь она может быть и практической: Вдруг нам реально нужно оценить вероятность дождя, а статистику дождливых дней в данной местности нам реально никто не сообщил.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1609681 писал(а):

Предположим, что у меня есть два друга, которые говорят правду с вероятностью 90 процентов

А можете более подробно расписать, что это значит. Всё еще модель "друг смотрит в окно, потом с вероятностью 10% инвертирует результат"?
Если да, то в Вашей формулировке уже нет вообще никакой неоднозначности, и решение просто неверное.

epros в сообщении #1609688 писал(а):

Причём это не какая-то особая ситуация, а то, с чем нам приходится сталкиваться всегда: Не бывает такого, чтобы априорные вероятности были чем-то "объективно обоснованы", как и не бывает такого, чтобы вероятностную задачу можно было решить без априорных вероятностей

Да, вопрос откуда брать приоры - известный сложный момент в байесианстве. Но его нужно объявлять явно, а не заметать под ковер, и тем более не объявлять постериоры при спотолочных приорах универсальными.

epros в сообщении #1609688 писал(а):

Так что равномерное априорное распределение - неизбежно хороший вариант почти во всех случаях

Равномерное брать не получится, потому что разбиение множества исходов на группы совершенно произвольно. Если мы говорим что исходы у нас "идет сильный дождь", "идет слабый дождь" и "дождя нет", а друзья склеивают первые два в один, то равномерное распределение на этих трех исходах даст совсем другой ответ, чем равномерное на двух.

[KhAl]

мат-ламер писал(а):

Итак, у вас есть три друга в Тбилиси. С вероятностью $2\slash 3$ они говорят разное. Это не наш случай и мы его отбрасываем. С вероятностью $8\slash 27$ они говорят одинаково и они говорят правду. С вероятностью $1\slash 27$ они говорят одинаково и они лгут. Поскольку мы точно знаем, что они говорят одинаково, мы делаем вывод, что с вероятностью $8\slash 9$ они говорят правду и с вероятностью $1\slash 9$ они лгут. Отсюда вывод, что дождь идёт с вероятностью $8\slash 9$ .

В первом сообщении темы решается такая задача:

Пусть вначале Бог посылает на Тбилиси дождь с вероятностью $P(A)$ и не посылает с вероятностью $1 - P(A)$. Затем каждый друг с вероятностью $2/3$ говорит правду об этом, а с вероятностью $1/3$ говорит неправду.

Теперь с вероятностью $\frac{8}{27}P(A)$ они все говорят, что дождь идёт и дождь действительно идёт, а с вероятностью $\frac{1}{27}(1-P(A))$ все говорят, что дождь идёт, а дождя нет. Поскольку мы знаем, что реализуется один из этих случаев, то вероятность того, что дождь идёт, $\frac{8}{27}P(A) / (\frac{1}{27}(1-P(A)))$. Видите теперь, насколько Ваше "решение" похоже на то?

-- 16.09.2023, 23:03 --

Ваше решение было бы корректным, если бы нам было известно только то, что все друзья ответили одинаково (а спрашивали не про дождь, а только про правдивость ответов). Но нам известно ещё и то, что именно они ответили.

То есть надо говорить не "с вероятностью $q$ они говорят одинаково и говорят правду" (тут и правда $8/9$, но задача другая), а "с вероятностью $q$ они говорят, что дождь есть, и говорят правду" (тут $q$ уже не вытащить без знания $P(A)$).

P.S. С точки зрения вероятностей, Вы неявно приравняли $P(\text{говорят правду} | \text{говорят одинаково})$ и $P(\text{говорят правду} | \text{говорят, что дождь есть}) = P(\text{дождь есть} | \text{говорят, что дождь есть})$. Первое $8/9$, второе вычисляется по формуле Байеса.

-- 16.09.2023, 23:07 --

(epros)

epros писал(а):

Как я понимаю, вся эта перепалка на 10 страниц возникла именно из-за этого: Хорошо или плохо при отсутствии явно определённых априорных вероятностей полагать их равными.

разумеется, нет.

[epros]

mihaild в сообщении #1609700 писал(а):

Равномерное брать не получится, потому что разбиение множества исходов на группы совершенно произвольно. Если мы говорим что исходы у нас "идет сильный дождь", "идет слабый дождь" и "дождя нет", а друзья склеивают первые два в один, то равномерное распределение на этих трех исходах даст совсем другой ответ, чем равномерное на двух.

Да, и тут остаётся только смириться с тем, что априорное разбиение влияет на результат, так что одно какое-то разбиение априорно считается "более правильным". Особенно это чувствительно, когда случайная величина непрерывна: Можно рассмотреть ту же величину, скажем, в логарифмической шкале и тогда будет трудно понять, какая из шкал "основная".

Кстати, само понятие вероятности произошло из расчётов при игре в кости. При этом варианты выпадения кости по определению ("в силу симметрии") считались равновероятными. Хотя симметрия там довольно условная - циферки на гранях всё же разные.

[Yadryara]

KhAl в сообщении #1609701 писал(а):

Поскольку мы знаем, что реализуется один из этих случаев, то вероятность того, что дождь идёт, $\frac{8}{27}P(A) / (\frac{1}{27}(1-P(A)))$.

И подставив сюда $P(A)=\frac12$ получим $8$. Разве это не абсурд? Разве не такую формулу надо было написать?

$$\frac{\frac{8}{27}P(A)}{ \frac{8}{27}P(A)+\frac{1}{27}(1-P(A))}$$

[TOTAL]

KhAl в сообщении #1609701 писал(а):

мат-ламер писал(а):

Итак, у вас есть три друга в Тбилиси. С вероятностью $2\slash 3$ они говорят разное. Это не наш случай и мы его отбрасываем. С вероятностью $8\slash 27$ они говорят одинаково и они говорят правду. С вероятностью $1\slash 27$ они говорят одинаково и они лгут. Поскольку мы точно знаем, что они говорят одинаково, мы делаем вывод, что с вероятностью $8\slash 9$ они говорят правду и с вероятностью $1\slash 9$ они лгут. Отсюда вывод, что дождь идёт с вероятностью $8\slash 9$ .

В первом сообщении темы решается такая задача:

Пусть вначале Бог посылает на Тбилиси дождь с вероятностью $P(A)$ и не посылает с вероятностью $1 - P(A)$. Затем каждый друг с вероятностью $2/3$ говорит правду об этом, а с вероятностью $1/3$ говорит неправду.

В первом сообщении сформулирована задача, в условии не говорится, что "Бог посылает на Тбилиси дождь с вероятностью $P(A)$ и не посылает с вероятностью $1 - P(A)$".

А вот условие задачи.

Цитата:

У вас есть 3 друга в Тбилиси. Вы позвонили каждому из них и все они сказали, что сейчас в Тбилиси идёт дождь.
Вероятность сказать правду для каждого друга – $\frac{2}{3}$.
Какова вероятность, что сейчас в Тбилиси действительно идёт дождь?

Для решения сам решающий, как хочет, доопределяет поведение величины "дождь". Если дождь идёт с вероятностью такой-то, то и ответ такой-то. В частности, если дождь обычно идёт с вероятностью $1/2$, то ответ на вопрос в задаче $8/9$. Ответ для этого частного случая совпадает с ответом на другой вопрос: с какой вероятностью все сказали правду, сообщив о дожде.
Так что задачи разные (в одной как бы больше информации, т.к. она задана параметром), ответы поэтому разные (второй ответ - для частного случая первой задачи), нет тут никакого противоречия.

Величина "дождь" сбивает тем, что кому-то хочется придать этой величине "реалистичный" смысл. Но это же задача не про реальность. Можно было бы спросить: сидите вы все трое за круглым столом или за квадратным? Вас всех уже съел динозавр или не съел?

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1609700 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1609681
писал(а):
Предположим, что у меня есть два друга, которые говорят правду с вероятностью 90 процентов А

-------------------------------------------------------------------------------------------

можете более подробно расписать, что это значит. Всё еще модель "друг смотрит в окно, потом с вероятностью 10% инвертирует результат"?
Если да, то в Вашей формулировке уже нет вообще никакой неоднозначности, и решение просто неверное.

Очень правильный вопрос. Подробно расписываю, что это значит. Но сначала немного отвлекусь. Ранее я писал по поводу своего отношения к задаче из стартового поста.

мат-ламер в сообщении #1609591 писал(а):

Пока остаюсь во мнении, что условие некорректно в принципе и в данной теме обсуждается вообще непонятно что.

Дело в том, что условие задачи в стартовом посту допускает неоднозначность понимания. А именно, что считать случайностью, а что определённостью, и как описать вероятностное пространство. Достаточно давно Тутубалин выпустил брошюру с названием Границы применимости , в которой писал, что отнюдь не каждое явление, результат который мы не можем предсказать, можем назвать случайным, и применять для него теорию вероятности. Для того, чтобы какое-то явление назвать случайным, оно должно быть хотя-бы в принципе повторимым и мы можем хотя бы в принципе судить о вероятностях различных исходов этого явления. Если оно в принципе неповторимо, либо судить о вероятностях исходов мы не можем , то и теорию вероятностей мы тут применять не можем. Исходная задача относится именно к такому случаю. Там из условия ясно, что происходит сугубо один звонок именно сегодня. Нет повторяемости. А даже, если бы она и была, то вероятностное пространство однозначно мы построить не можем. По Интернету ходят куча таких задач с недостаточной чёткой формулировкой. Видимо эти задачи взяты из популярных книжек типа "парадоксы теории вероятностей". Чтобы начать решать такие задачи, прежде всего надо решить, а как именно конкретно там скрывается вероятность и как построить правильно вероятностное пространство. С этого надо было начать и при обсуждении стартовой задачи. Каждый понял условие так, как ему представлялось это естественным. Я тоже влез со своим пониманием условия. Оно совпало с пониманием из цитируемого в первом посту ролика. Total на всякий случай представил несколько вариантов понимания условия. Далее, в своём длинном посту на предыдущей странице я пытался показать, что добавляя априорную вероятность, задачу не исправишь. Проблема лежит глубже - а именно в уникальности звонка. Условие всё равно остаётся без достаточно чёткой формулировки, которая допускает различное толкование. И вот тут наконец-то последовал правильный вопрос:

mihaild в сообщении #1609700 писал(а):

А можете более подробно расписать, что это значит.

А значить оно может очень разное. Я для себя такую формулировку мыслю. Я конкретно сегодня звоню другу в Солт-Лейк-Сити. Он смотрит в окно. Он знает в точности, что происходит. Это уникальная детерминированная ситуация. Никакой случайности тут вообще нет, потому как нет никакой повторяемости в принципе. Потому как я спрашиваю другу о текущей погоде именно сегодня и всего один раз. До этого я его спрашивал совсем о других делах. После того, как друг посмотрел в окно и узнал погоду, он запускает на своей игрушечной рулетке (или на компьютере) генератор случайных чисел и даёт мне ответ. Вот только тут возникает случайность, вероятность которой нам надо оценить.

Но формулировку, если кто захочет, можно понимать и по-другому. Пусть в случайно выбранный день я звоню другу ... И тут уже формулировка "случайно выбранный день" уже ясным текстом намекает, что ситуация повторяема, и погода в случайно выбранный день случайна и есть предмет теории вероятностей.

То есть моя задача на предыдущей странице призвана показать, что гипотеза об априорной вероятности исходную задачу не исправляет. Она остаётся всё столь же неопределённой.

[sergey zhukov]

мат-ламер
Как тут уже выше было сказано, в задаче требуется найти "вероятность дождя". Из этого однозначно следует, что к дождю по условию задачи применимо понятие "вероятность".

Очевидно, что звонок происходит в случайный день, а друзъя всегда отвечают, что дождь идет. Именно так повторяется эксперимент. Других толкований нет. Мы всегда точно знаем, что отвечают друзья, но не точно знаем, что они видят за окном. Вот об этом задача, это единственное ее понимание.

И это не тот случай, когда мы несколько раз звоним друзъям в один и тот же день, и они всякий раз (согласно вероятности свое правдивости) говорят что-нибудь другое, видя каждый раз за окном одно и то же. Нам ясно сказано в условии, что сказали друзья. Их ответ - это не случайная величина.

[KhAl]

Yadryara а, ну перепутал, бывает. Такую.

TOTAL писал(а):

Ответ для этого частного случая совпадает с ответом на другой вопрос: с какой вероятностью все сказали правду, сообщив о дожде.

А почему? Я вижу, что Вы $8/27$ поделили на $9/27$, но почему и в каком смысле это и есть "вероятность того, что все сказали правду, сообщив о дожде"?

[мат-ламер]

sergey zhukov
Смысл моего предыдущего поста в том, что мы решаем не задачу по теории вероятностей. Мы пробуем разобраться с реальной жизненной ситуацией. А этот разбор для начала требует чёткой формулировки вероятностной модели, а уж потом решение этой модели. А формулировка вероятностной модели, это не совсем теория вероятностей. Это методология применения этой науки. А это уже в некотором роде не только наука, но и искусство. И в отличие от науки здесь не так всё однозначно. И тут каждый волен под себя строить свою модель. Естественно строить так, чтобы получить разумный ответ на поставленный вопрос. Вот вы считаете, что

sergey zhukov в сообщении #1609720 писал(а):

Как тут уже выше было сказано, в задаче требуется найти "вероятность дождя". Из этого однозначно следует, что к дождю по условию задачи применимо понятие "вероятность".

Очевидно, что звонок происходит в случайный день, а друзъя всегда отвечают, что дождь идет.

Отлично. Если такое ваше понимание даст разумный ответ в задаче, то всё отлично.

Я же не поленясь сделать ссылку

melnikoff в сообщении #1609199 писал(а):

У вас есть 3 друга в Тбилиси. Вы позвонили каждому из них и все они сказали, что сейчас в Тбилиси идёт дождь.
Вероятность сказать правду для каждого друга – $\frac{2}{3}$.
Какова вероятность, что сейчас в Тбилиси действительно идёт дождь?

чисто для себя соображаю, что речь идёт не о случайном дне. Речь идёт конкретно о "сейчас". А какая конкретно "сейчас" погода, не является предметом науки о случайном. Если мы будем рассматривать погоду на протяжении многих дней, то да, погода в любой выбранный день действительно является случайной величиной. И то, тут ещё надо уточнять конкретные моменты.

И повторюсь, что это чисто моя позиция, которая относится к тому, как применять теорию вероятностей (а не к самой ТВ). И тут у каждого может быть своя позиция. И это нормально.

Хотя не совсем чисто моя позиция. Она совпадает с позицией автора цитируемого ролика. Который видимо является математиком. И знает кое-какой толк в теории вероятностей.

[TOTAL]

KhAl в сообщении #1609725 писал(а):

TOTAL писал(а):

Ответ для этого частного случая совпадает с ответом на другой вопрос: с какой вероятностью все сказали правду, сообщив о дожде.

А почему? Я вижу, что Вы $8/27$ поделили на $9/27$, но почему и в каком смысле это и есть "вероятность того, что все сказали правду, сообщив о дожде"?

В условии однозначно сказано, что каждый говорит правду с вероятностью $2/3$. Вот почему они в совокупности сказали правду с вероятностью $8/9$

[sergey zhukov]

мат-ламер
Не нужно приплетать сюда единичные события, для которых ситуацию "если повторять это многократно" вообще нельзя представить. Задача включает такие понятия, как "вероятность дождя" и "вероятность друзей сказать правду". Это задача для теорвера.

Смысл "сейчас" сводится к "вероятность дождя после того, как вы узнали, что все друзъя ответили "дождь"". Т.е. априорная вероятность - это "вообще", а апостериорная - это "сейчас, сразу после ответа друзей".

[KhAl]

мат-ламер, я тогда вернусь к старому.

мат-ламер в сообщении #1609434 писал(а):

KhAl в сообщении #1609428 писал(а):

мат-ламер, имеет! Я просто заменил $2/3$ на $1/2$,

В исходной постановке друзья говорят правду с вероятностью $2\slash 3$ . В вашей постановке друзья говорят правду отнюдь не с вероятностью $1\slash 2$ . В вашей постановке эта вероятность будет зависеть от того, с какой вероятностью в Тбилиси в произвольно выбранный день идёт дождь.

Почему зависит? Каждый друг и в случае, если идёт дождь, с вероятностью $1/2$ говорит, что дождь идёт или что не идёт, и в случае, если дождь не идёт, с вероятностью $1/2$ говорит, что он идёт или что не идёт. То есть, что бы ни происходило, они "бросают монетку" и с вероятностью $1/2$ говорят правду, а с вероятностью $1/2$ врут. Это не зависит от Тбилиси.

-- 17.09.2023, 10:23 --

TOTAL писал(а):

В условии однозначно сказано, что каждый говорит правду с вероятностью $2/3$. Вот почему они в совокупности сказали правду с вероятностью $8/9$

Я же сказал, что вижу, что Вы поделили $8/27$ на $9/27$. На "почему" и "в каком смысле" Вы не ответили.