Треугольник, вписанный в многоугольник

[Gepidium]

Спасибо всем, кто мне помогал.

Null в сообщении #1608626 писал(а):

Просто двигаем 1 вершину и получаем что она в самой далекой вершине многоугольника от противоположной стороны треугольника. По-очереди задвигаем все вершины треугольника в углы многоугольника.

TOTAL в сообщении #1608678 писал(а):

вписанный треугольник наибольшей площади"... такой треугольник существует, назовем его $T$. Построим треугольник, для которого треугольник $T$ является серединным. Площадь построенного треугольника в четыре раза больше площади треугольника $T$. Построенный треугольник содержит исходный многоугольник. Задача решена.

svv в сообщении #1608746 писал(а):

Если бы многоугольник вылез за пределы черного треугольника, синий треугольник не имел бы максимальную площадь: красный имеет с синим одно основание, но большую высоту.

Null, TOTAL, svv, я честно пыталась, но в Ваше решение вьехать не смогла, наверно слишком сложно для меня.

svv в сообщении #1608746 писал(а):

Gagarin1968, но Ваше решение, на мой взгляд, понятнее — там ничего не надо дополнительно пояснять.

Точно, это решение до меня наконец дошло.

Gagarin1968 в сообщении #1608660 писал(а):

Я бы начал так.
Возьмём в многоугольнике две точки $A$ и $B$, наиболее удалённые друг от друга. Строить эти точки не надо, достаточно утверждать, что они существуют. Через эти точки проведём прямые $a$ и $b$ соответственно перпендикулярно отрезку $AB$.
Получим область, заключённую между этими параллельными прямыми. Никакая точка многоугольника не может лежать вне этой области. Действительно, если, скажем, некоторая точка $E$ находится снаружи этой области, то полагая без потери общности $AE<BE$, видим, что в треугольнике $AEB$ угол $EAB$ — тупой, и следовательно, $EB>AB$, что противоречит предположению о максимальности отрезка $AB$.
А дальше я предлагаю ТС найти точку $C$ многоугольника, максимально удалённую от прямой $AB$, и продолжить решение.

Продолжить, я думаю, можно так:
Пусть расстояние между точкой $C$ и прямой $AB$ будет $h$. Тогда проведём 2 прямые $c$ и $d$ параллельно $AB$ на расстоянии $h$ от неё по обе стороны от $AB$.
По тем же самым соображениям, которые привёл Gagarin1968, никакая точка многоугольника не может быть снаружи области, ограниченной прямыми $c$ и $d$, т.к. иначе расстояние от $AB$ до этой точки будет больше $h$.
Таким образом я получила, что данный многоугольник лежит целиком внутри прямоугольника, образованного прямыми $a$, $b$, $c$, $d$.
Площадь треугольника $ABC$ равна $\dfrac {h\cdot AB}{2}$.

Площадь прямоугольника равна $2h\cdot AB$.

А соотношение площадей равно $\dfrac {1}{4}$, что и требовалось доказать.
Так правильно?
P.S. Это соответствует рисунку, который привел wrest:

wrest в сообщении #1608751 писал(а):

[Gagarin1968]

Gepidium в сообщении #1608758 писал(а):

Так правильно?

Абсолютно. Идея и была заключить многоугольник в прямоугольник.
Только ещё раз хочу спросить, что в этой задаче от "advanced mathematics"? Ведь она и на олимпиадную не тянет.

[Gepidium]

Gagarin1968 в сообщении #1608759 писал(а):

хочу спросить, что в этой задаче от "advanced mathematics"? Ведь она и на олимпиадную не тянет

Не знаю. Вопрос не ко мне. Это задача из сборника "Collection of problems in advanced mathematics" израильского Техниона 2011года.
Только меня смущает одна вещь:

Gagarin1968 в сообщении #1608660 писал(а):

Возьмём в многоугольнике две точки $A$ и $B$, наиболее удалённые друг от друга. Строить эти точки не надо, достаточно утверждать, что они существуют

Как я могу быть уверена, что такие точки существуют, если я даже не могу их построить в каком- то конкретном многоугольнике?

[Gagarin1968]

Gepidium в сообщении #1608760 писал(а):

Как я могу быть уверена, что такие точки существуют, если я даже не могу их построить в каком- то конкретном многоугольнике?

Хм, они таки существуют (зуб даю!). Но чтобы не грузить Вас множеством попарных расстояний точек многоугольника, давайте, чтобы было совсем понятно, поступим так.
Заключим наш многоугольник в полосу, образованную произвольными параллельными прямыми. Будем сдвигать эти прямые параллельно до тех пор, пока на каждую из них не попадут некоторые вершины $A$ и $B$ многоугольника. Затем проделаем то же самое для полосы, образованной прямыми, параллельными $AB$. На эти прямые попадут некоторые вершины $C$ и $D$.
После такого сдвига наш многоугольник будет заключён в параллелограмм. А дальше следуют те же самые рассуждения, которые Вы привели в решении.
Так более понятно?

[Gepidium]

Gagarin1968 в сообщении #1608762 писал(а):

Так более понятно?

Да, все поняла.
Огромное спасибо всем за помощь.

[wrest]

Gepidium в сообщении #1608760 писал(а):

Как я могу быть уверена, что такие точки существуют, если я даже не могу их построить в каком- то конкретном многоугольнике?

Это называется "диаметр" (выпуклого многоугольника, в нашем случае). Потом погуглите, на досуге :)

[Gepidium]

wrest в сообщении #1608774 писал(а):

Это называется "диаметр" (выпуклого многоугольника, в нашем случае). Потом погуглите

wrest
Погуглила.

Цитата:

Диаметром многоугольника называется наибольшее расстояние между его вершинами

А почему 2 максимально удалённые друг от друга точки многоугольника не могут находиться на его сторонах? Или, по крайней мере одна из них?
Этим и был вызван мой вопрос.

[Gagarin1968]

Gepidium в сообщении #1608785 писал(а):

почему 2 максимально удалённые друг от друга точки многоугольника не могут находиться на его сторонах?

Gepidium
Поскольку Вы уже знаете определение диаметра многоугольника, предлагаю Вам самостоятельно доказать, что наибольшее расстояние между точками произвольного выпуклого многоугольника равно его диаметру.

[TOTAL]

Gepidium в сообщении #1608785 писал(а):

А почему 2 максимально удалённые друг от друга точки многоугольника не могут находиться на его сторонах? Или, по крайней мере одна из них?

Тогда не связывайтесь с диаметром. Берите 2 максимально удалённые друг от друга точки многоугольника.

[Leeb]

Gepidium в сообщении #1608785 писал(а):

wrest в сообщении #1608774 писал(а):

Это называется "диаметр" (выпуклого многоугольника, в нашем случае). Потом погуглите

wrest
Погуглила.

Цитата:

Диаметром многоугольника называется наибольшее расстояние между его вершинами

А почему 2 максимально удалённые друг от друга точки многоугольника не могут находиться на его сторонах? Или, по крайней мере одна из них?
Этим и был вызван мой вопрос.

Потому что в треугольнике любая чевиана короче одной из сторон треугольника с той же вершиной. Дальше рассмотрите ваш предполагаемый наибольший отрезок $AB$, где один из концов (скажем, $B$, а может и оба, неважно) не совпадает с вершиной многоугольника и лежит на его стороне $P_{k-1}P_k$, и треугольник $AP_{k-1}P_k$.

[wrest]

Gepidium в сообщении #1608785 писал(а):

А почему 2 максимально удалённые друг от друга точки многоугольника не могут находиться на его сторонах?

Допустим, что это так, и мы нашли диаметр $AB$ и точка $B$ лежит на стороне $CD$... Мне кажется дальнейшее рассуждение супер простое. Можем ли мы отступить от точки $B$ в разные стороны до соответствующих вершин так, чтобы в обоих случаях расстояние $AB$ уменьшилось или осталось неизменным?



Раз $AB$ - диаметр (максимальное расстояние из всех пар точек многоугольника), то должно быть, что $AB \ge AD$ и одновременно $AB \ge AC$. Возможно ли это?

P.S. Вообще диаметром называется не максимальное расстояние между вершинами, а просто максимальное расстояние из всех возможных пар точек. Но в случае выпуклого многоугольника концы диаметра попадают на вершины в силу очевидных обстоятельств. А в случае, например, круга (или окружности, эллипса и т.п.), у которого нет вершин и сторон, не попадает.

[svv]

Gepidium, я отправил Вам личное сообщение, посмотрите, пожалуйста.

[Gagarin1968]

wrest в сообщении #1608806 писал(а):

в случае выпуклого многоугольника концы диаметра попадают на вершины в силу очевидных обстоятельств.

Вообще-то это доказывается.
Вот в этой теме ewert даёт простое школьное доказательство.

[wrest]

Gagarin1968 в сообщении #1608859 писал(а):

ewert даёт простое школьное доказательство.

Будто бы у меня оно сложнее, или вообще какое-то другое, двумя абзацами выше того, что вы процитировали Ну разве что слова "пошевелим" нет, а предлагается сразу, без прелюдий, пройти до ближайшей вершины.
Просто хочу напомнить, что мы в ПРР, где писать совсем уж прямое доказательство в ответ на просьбу ТС не вполне принято, а надо оставить немного места для самостоятельного шага. Озарения, так сказать.

[Doctor Boom]

Задачу можно обобщить - найти минимум максимума площади вписанного в выпуклый многоугольник треугольника по всем многоугольникам. Он вроде как больше 1/4