Треугольник, вписанный в многоугольник

[Gepidium]

Здраствуйте.
Вызвала затруднение ещё одна задача из сборника. Вот она в оригинале:

Collection of problems in advanced mathematics, Technion, 2011 писал(а):

Problem 4.96
Prove that in any convex polygon you can inscribe a triangle whose area is at least a quarter of the area of ​​the polygon

Я начала c правильных многоугольников. B пределе - это окружность. Максимальный треугольник, вписанный в нее - равносторонний. Соотношение площадей известно co школы: $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2 \,\colon\pi R^2 \approx 0.4 > \dfrac{1}{4}$.
Начинаю превращать круг в эллипс (искажая при этом треугольник и выявляя наибольший из вписанных в зависимости от длин осей $a$ и $b$. Видно, что площадь треугольника заметно уменьшается по сравнению c площадью эллипса. Если бы это выразить математически и перейти к пределу, то по идее я получу нужный ответ.
Если я права, то задача сводится к поиску наибольшего треугольника, вписанного в эллипс. Я пыталась, задав эллипс в системе координат, выразить площадь через координаты вершин треугольника. Получила дикую систему из 3 уравнений. Идея была в том, чтобы найти площадь как функцию координат, а затем производную приравнять к нулю. Наверное, дикая идея. Ничего у меня не вышло.
Потом я подумала, что одна сторона треугольника должна лежать на диаметре описанной окружности. Интуитивно площадь такого треугольника должна быть больше четверти площади многоугольника.
Потом сообразила, что не около любого многоугольника можно описать окружность. А в условии сказано: " Докажите, что для любого многоугольника..."
Да и треугольник этот будет прямоугольным, а значит его площадь заведомо не наибольшая.
Потом вчиталась в задание и поняла, что от меня ведь не требуют найти треугольник с максимальной площадью, а только доказать существование такого треугольника, площадь которого не меньше $\dfrac{1}{4}$ площади многоугольника.
В общем, я запуталась.

[dgwuqtj]

Для эллипса не интересно как раз потому что его можно преобразовать в окружность аффинным преобразованием, а такие преобразования сохраняют отношения площадей.

Можете попробовать рассмотреть вписанный треугольник наибольшей площади и из этого найти ограничения на расположение многоугольника относительно треугольника.

[Gepidium]

dgwuqtj в сообщении #1608583 писал(а):

Можете попробовать рассмотреть вписанный треугольник наибольшей площади

dgwuqtj
Как мне выделить такой треугольник? И потом ведь такая задача не стоит.

[dgwuqtj]

А соображениями компактности можно пользоваться? В пространстве $\mathbb R^6$ всех (возможно, вырожденных) треугольников те, что содежатся в данном многоугольнике, образуют замкнутое ограниченное подмножество. Конечно, вам не требуется доказывать существование экстремального треугольника, но удобно его взять и доказывать оценку на конкретно его площадь.

Без компактности так: возьмём пространство $\mathbb R^6$ всех ориентированных треугольников, включая вырожденные. В нём те, что лежат в выпуклом многоугольнике, сами образуют выпуклый многогранник (декартов куб исходного многоугольника). Площадь задаётся линейной функцией на пространстве всех ориентированных треугольников, так что на многограннике из подходящих треугольников она достигает максимума (ясно, что положительного), причём даже в некоторой вершине многогранника. Но через компактность как-то попроще выглядит.

[Null]

Просто двигаем 1 вершину и получаем что она в самой далекой вершине многоугольника от противоположной стороны треугольника. По-очереди задвигаем все вершины треугольника в углы многоугольника.

[Gepidium]

Null в сообщении #1608626 писал(а):

двигаем 1 вершину и получаем что она в самой далекой вершине многоугольника от противоположной стороны треугольника

Null
А где эта противоположная сторона треугольника. Как ее построить?

[dgwuqtj]

Null в сообщении #1608626 писал(а):

Просто двигаем 1 вершину и получаем что она в самой далекой вершине многоугольника от противоположной стороны треугольника. По-очереди задвигаем все вершины треугольника в углы многоугольника.

Ну да, так тоже можно. Треугольников, у которых вершины - это вершины исходного многоугольника, конечное число.

[Gagarin1968]

dgwuqtj в сообщении #1608594 писал(а):

В пространстве $\mathbb R^6$ всех (возможно, вырожденных) треугольников те, что содежатся в данном многоугольнике, образуют замкнутое ограниченное подмножество

dgwuqtj в сообщении #1608594 писал(а):

Возьмём пространство $\mathbb R^6$ всех ориентированных треугольников, включая вырожденные

dgwuqtj
Ну это уже чересчур! Обычная планиметрическая задача, навскидку, для 9-10 классов. Я даже не понимаю, почему на неё наклеен гриф "advanced mathematics".
Я бы начал так.
Возьмём в многоугольнике две точки $A$ и $B$, наиболее удалённые друг от друга. Строить эти точки не надо, достаточно утверждать, что они существуют. Через эти точки проведём прямые $a$ и $b$ соответственно перпендикулярно отрезку $AB$.
Получим область, заключённую между этими параллельными прямыми. Никакая точка многоугольника не может лежать вне этой области. Действительно, если, скажем, некоторая точка $E$ находится снаружи этой области, то полагая без потери общности $AE<BE$, видим, что в треугольнике $AEB$ угол $EAB$ — тупой, и следовательно, $EB>AB$, что противоречит предположению о максимальности отрезка $AB$.
А дальше я предлагаю ТС найти точку $C$ многоугольника, максимально удалённую от прямой $AB$, и продолжить решение.

[TOTAL]

Gepidium в сообщении #1608590 писал(а):

Как мне выделить такой треугольник? И потом ведь такая задача не стоит.

Задача "выделить вписанный треугольник наибольшей площади" не стоит. Его и не надо выделять. Но такой треугольник существует, назовем его $T$. Построим треугольник, для которого треугольник $T$ является серединным. Площадь построенного треугольника в четыре раза больше площади треугольника $T$. Построенный треугольник содержит исходный многоугольник. Задача решена.

[diletto]

TOTAL в сообщении #1608678 писал(а):

Построенный треугольник содержит исходный многоугольник.

Т.е. вокруг серединного треугольника невозможно описать выпуклый многоугольник, не содержащийся во внешнем треугольнике?

[TOTAL]

diletto в сообщении #1608692 писал(а):

Т.е. вокруг серединного треугольника невозможно описать выпуклый многоугольник, не содержащийся во внешнем треугольнике?

Нет, не то есть. Так как срединный треугольник не абы какой по отношению к многоугольнику.

[svv]

diletto, если бы многоугольник выходил за пределы большого треугольника, малый не был бы максимальной площади.

[diletto]

svv в сообщении #1608706 писал(а):

если бы многоугольник выходил за пределы большого треугольника, малый не был бы максимальной площади.

А, ну да. Вроде бы достаточно сдвинуть вершину вписанного треугольника в вершину многоугольника, лежащую вне "большого" треугольника. Но без карандаша я всё ещё не уверен в строгости этого :)

[svv]

Если бы многоугольник вылез за пределы черного треугольника, синий треугольник не имел бы максимальную площадь: красный имеет с синим одно основание, но большую высоту.

-- Пн сен 11, 2023 00:24:39 --

Gagarin1968, но Ваше решение, на мой взгляд, понятнее — там ничего не надо дополнительно пояснять.

[wrest]

Gepidium в сообщении #1608579 писал(а):

Потом вчиталась в задание и поняла, что от меня ведь не требуют найти треугольник с максимальной площадью, а только доказать существование такого треугольника, площадь которого не меньше $\dfrac{1}{4}$ площади многоугольника.
В общем, я запуталась.

Если у нас есть какой-то прямоугольник, то треугольник, две вершины которого лежат на концах средней линии этого прямоугольника, а третья вершина лежит на стороне, параллельной этой средней линии, то площадь такого треугольника будет аккурат четвертушка от площади прямоугольника.