Треугольник, вписанный в многоугольник

[Gagarin1968]

TOTAL в сообщении #1609657 писал(а):

Сравниваем два расстояния от сдвинутой туда и сюда вершины до неподвижной стороны треугольника. Если расстояния одинаковые, то от сдвига площадь не поменялась. А если расстояния разные, то сдвигаем в вершину с большим расстоянием, тем самым увеличивая площадь.

Хм... интуитивно понятно, но сойдёт ли за доказательство?
TOTAL, мне уже стало любопытно, а почему не может быть максимального треугольника, одна из вершин которого является внутренней точкой многоугольника?

[TOTAL]

Gagarin1968 в сообщении #1609662 писал(а):

, мне уже стало любопытно, а почему не может быть максимального треугольника, одна из вершин которого является внутренней точкой многоугольника?

Не может потому, что его вершину можно сместить от противоположной стороны треугольника, увеличив площадь.

[wrest]

Gagarin1968 в сообщении #1609653 писал(а):

Я нарисовал для себя, да, это вроде как очевидно. Но как это доказать?

Пусть вершина $C$ треугольника $ABC$ лежит на стороне $MN$ многоугольника.
Если $AB$ параллельна $MN$, то площадь треугольника фиксирована. Если не параллельна, то ещё несколько слов рассуждения и утверждение доказано.

P.S. Напоминаю, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, опущенную к этой стороне.

Площади синего и оранжевого треугольников равны.

[Doctor Boom]

TOTAL
Я вас понял. Просто не в том контексте прочел ваш первый ответ

wrest в сообщении #1609649 писал(а):

Т.е. для выпуклых кривых это не работает т.к. неясно существует ли максимальный треугольник

Что верно для любого выпуклого многоугольника, то верно и для любой выпуклой кривой. Я вообще кривые и имел ввиду все время. Существование максимального треугольника можно принять за очевидный факт

-- 17.09.2023, 11:04 --

TOTAL в сообщении #1609648 писал(а):

специально выбираем из треугольников с вершинами в вершинах, чтобы нас не заставили объяснять, почему среди всех треугольников (их континуум) есть треугольник с максимальной площадью.

Ну супремум уж точно есть

[TOTAL]

Doctor Boom в сообщении #1609743 писал(а):

TOTAL в сообщении #1609639 писал(а):

Согласны, что треугольник, для которого максимальный является срединным, содержит весь многоугольник?

Не понял условие. Если у нас многоугольник треугольник, то максимальный вписанный треугольник будет исходным. А если у нас просто многоугольник, то для него срединный треугольник мы построить не можем, только такой же многоугольник

Обозначим $T$ - треугольник максимальной площади из всех вписанных в многоугольник. Это понятно?

[Doctor Boom]

TOTAL в сообщении #1609745 писал(а):

Обозначим $T$ - треугольник максимальной площади из всех вписанных в многоугольник. Это понятно?

Угу

-- 17.09.2023, 11:25 --

wrest в сообщении #1609649 писал(а):

Т.е. для выпуклых кривых это не работает т.к. неясно существует ли максимальный треугольник

Это можно доказать так, любую выпуклую кривую можно заменить последовательностью сходящихся многоугольников, предельные свойства которых является свойствами нашей кривой. Для любого выпуклого многоугольника существует максимальный треугольник, а значит и для выпуклой кривой он есть

[TOTAL]

Doctor Boom в сообщении #1609749 писал(а):

TOTAL в сообщении #1609745 писал(а):

Обозначим $T$ - треугольник максимальной площади из всех вписанных в многоугольник. Это понятно?

Угу

Отлично, продолжаем!
1. Обозначим $T$ - треугольник максимальной площади из всех вписанных в многоугольник.
2. Обозначим $S$ - треугольник, для которого $T$ является срединным.
3. Исходный многоугольник не выходит за пределы $S$.

Все ступени успешно пройдены?

[Doctor Boom]

TOTAL в сообщении #1609751 писал(а):

Все ступени успешно пройдены?

Ага

[TOTAL]

1. Обозначим $T$ - треугольник максимальной площади из всех вписанных в многоугольник.
2. Обозначим $S$ - треугольник, для которого $T$ является срединным.
3. Исходный многоугольник не выходит за пределы $S$.
4. Если исходный многоугольник с запасом накрылся треугольником $S$, то желанное утверждение доказано.
5. Если исходный многоугольник совпал с треугольником $S$, то $T$ - вовсе не максимальной площади из всех вписанных, т.к. вписать можно было более крупный экземпляр $S$, с запасом доказав желанное утверждение.

[Doctor Boom]

TOTAL
Понятно, я просто не читал тему (т.к. доказал утверждение в исходном посте по другому), поэтому мне ваши рассуждения казались совершенно непонятными вне контекста

[Doctor Boom]

Моя задача настолько сложная, что никому не по зубам? Вроде как наименьшая площадь наибольшего треугольника должна быть у круга

[Утундрий]

Doctor Boom в сообщении #1610375 писал(а):

наименьшая площадь наибольшего треугольника должна быть у круга

Даже если треугольник - квадрат?

[Doctor Boom]

Утундрий
Вот

Doctor Boom в сообщении #1609622 писал(а):

найти минимум максимума площади вписанного в выпуклый многоугольник треугольника по всем многоугольникам

[ozheredov]

Doctor Boom в сообщении #1610445 писал(а):

Вот

Из многоугольника круг - как из треугольника квадрат.

[svv]

ozheredov в сообщении #1610448 писал(а):

Из многоугольника круг - как из треугольника квадрат.

Тогда по свойству пропорций из круга квадрат, как из многоугольника треугольник.
Похоже, Вы свели задачу квадратуры круга к задаче триангуляции многоугольника.