Геометрия для не особо одарённых

[horda2501]

Я меряла линейкой, конечно, чтобы убедиться в том, что и правда по формуле находится всё правильно Находиться правильно, но не пойму почему. Чтобы не запутаться обозначу, всё же, главный непонятный момент - почему используется формула для прямоугольного треугольника, а находится в итоге точка, которая с заданными образовывает не прямоугольный треугольник?

(Не рискну пока задавать более основательный вопрос относительно того, что это вообще такое $(x-x1)^2+(y-y1)^2$. Я подставляю в эту формулу значения из задачи и получаю странное число 13. Что это за число? Расстояние между этими точками линейкой 1,8 см. Единичный отрезок 0,5 см. 13 е.о. это ведь 6,5 см должно быть? Если кто-либо сможет просто объяснить - буду рада. Если нет, то в другой раз).

Что касается расстояния между точками. Говорится, что нужно вычитать соответственно осям координаты. То есть, модуль числа разности координат искомой точки и точки 1 и 2 в зависимости от вертикальной или горизонтальной параллельной линии. Это есть катеты прямоугольного треугольника. В таком варианте понять не сложно. Но когда ставится вопрос как в задаче, мол, найдите равноудалённую точку для 2 точек, то применение этой формулы не является чем-то очевидным и обоснованным с точки зрения ученика, прочитавшего сказанное выше. Поэтому возникают естественные трудности в понимании. Особенно когда видишь на чертеже не прямоугольный треугольник.

[Dedekind]

horda2501
Вы разобрались с этой формулой? Поняли, откуда она получается, и что означает?

Dedekind в сообщении #1625675 писал(а):

На той странице учебника, которую Вы скинули, в самом верху есть правильная формула. Или вот тут, например https://ru.onlinemschool.com/math/libra ... nt_length/

[horda2501]

Вы имеете ввиду формулу $d^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2$? Ну, я поняла её как те самые 2 катета, которые находятся в системе координат через вычитание 2 координат по соответствующим осям. Я что-то упускаю существенное очевидно? Подскажите на что именно обратить внимание, к сожалению, я этого не вижу.

[Dedekind]

horda2501
Что означает $d$ в этой формуле?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1625687 писал(а):

В таком варианте понять не сложно. Но когда ставится вопрос как в задаче, мол, найдите равноудалённую точку для 2 точек, то применение этой формулы не является чем-то очевидным и обоснованным с точки зрения ученика, прочитавшего сказанное выше.

Ну тут просто надо понять что значит "равноудалённая точка". А значит это следующее. Если точка $C$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то равны отрезки $|AC|=|BC|$ (равны их длины).
Пусть эти точки имеют координаты $A=(x_a;y_a);B=(x_b;y_b);C(x_c;y_c)$
Тогда расстояния между ними равны следующему
$AC=\sqrt{(x_a-x_c)^2+(y_a-y_c)^2}$
$BC=\sqrt{(x_b-x_c)^2+(y_b-y_c)^2}$
Ну и поскольку $AC=BC$ то
$\sqrt{(x_a-x_c)^2+(y_a-y_c)^2}=\sqrt{(x_b-x_c)^2+(y_b-y_c)^2}$
Если квадратные корни двух чисел равны, то и числа равны, и значит
$(x_a-x_c)^2+(y_a-y_c)^2=(x_b-x_c)^2+(y_b-y_c)^2$
Ну вот собсно и всё. В уравнении выше шесть переменных (чисел). Пять из них вам даны условием задачи, надо найти шестое.

А, вот ещё что. Вертикальные палочки означают "длина". Т.е. $|AB|$ означает "длина отрезка $AB$" или, что тоже самое, "расстояние между точками $A$ и $B$"

[horda2501]

Dedekind, переменная d в данном уравнении это гипотенуза, то есть сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу.

Wrest, благодарю вас за подробное объяснение! В целом, то что вы написали мне вроде понятно, но я не понимаю откуда берётся в принципе $AC=\sqrt{(Xa-Xc)^2+(Ya-Yc)^2)}$, например. Почему здесь используется эта формула из теоремы Пифагора, ведь речь идёт о длине отрезка между двумя точками?

... Перед тем как отправить сообщение немного подумала над чертежом. Кажется начало что-то проясняться. Эти отрезки - они расстояния между точками и всегда будут образовывать прямой угол, а следовательно гипотенуза это в свою очередь общее и конкретное выражение на плоскости расстояний между эти точками в целом как суммы двух расстояний по осям в отдельности. Я правильно мыслю? Вопросы ещё есть, но мне нужно понять ход мысли в целом верный или нет?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1625720 писал(а):

но я не понимаю откуда берётся в принципе $AC=\sqrt{(Xa-Xc)^2+(Ya-Yc)^2)}$, например.

Ну вот же, по ссылке Dedekind


-- 13.01.2024, 03:01 --

horda2501 в сообщении #1625720 писал(а):

гипотенуза это в свою очередь общее и конкретное выражение на плоскости расстояний между эти точками в целом как суммы двух расстояний по осям в отдельности. Я правильно мыслю?

Да

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1625657 писал(а):

Вот чертёж к этой задаче. Расстояние CB ведь в ней гипотенуза получается

Не получается.
Потому что у Вас нет чертежа к данной задаче.
Вы его начали рисовать, не дорисовали и бросили.
И пока не дорисуете, Вам все будет непонятно.
Так и должно быть...
Не дорисовали Вы следующее:

horda2501 в сообщении #1625653 писал(а):

В нём нужно провести параллельные прямые относительно каждой оси через обе точки. Далее с точкой пересечения прямых получается прямоугольный треугольник и для нахождения расстояния применяется теорема Пифагора.

Вот и проведите параллельные прямые относительно каждой оси через обе точки.
И рассмотрите два прямоугольных треугольника, которые у Вас получатся.
Гипотенузы у них должны быть равны по условию.
По одному катету из условия известно, а два других катета нужно найти.
Но пока у Вас нет этого чертежа, задача не может быть решена...

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1625687 писал(а):

Не рискну пока задавать более основательный вопрос относительно того, что это вообще такое $(x-x{1})^2+(y-y{1})^2$. Я подставляю в эту формулу значения из задачи и получаю странное число 13. Что это за число? Расстояние между этими точками линейкой 1,8 см. Единичный отрезок 0,5 см. 13 е.о. это ведь 6,5 см должно быть? Если кто-либо сможет просто объяснить - буду рада. Если нет, то в другой раз.

Если правильно записать эту формулу, ничего не теряя:
$d^2=(x-x_1)^2+(y-y_1)^2$,
то это загадочное число - квадрат расстояния между точками $A$ и $C$ или $B$ и $C$,
иными словами это число - квадрат длины отрезка $AC$ и квадрат длины равного ему отрезка $BC$. Ну или площадь квадрата, со стороной, равной длине любого из отрезков. Поэтому должно быть не $6,5$ см, а $6,5$ квадратных сантиметров площадь этого квадрата. Соответственно, расстояние между этими точками равно $\sqrt{13} \approx 3,6$ ,
то-есть, в выбранном Вами масштабе, $1,8$ см. Тут все правильно.

[Dedekind]

horda2501 в сообщении #1625720 писал(а):

переменная d в данном уравнении это гипотенуза, то есть сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу.

Гипотенуза - и есть расстояние между точками. Насколько я понял, Вы это уже осознали. Если нет, то прочитайте еще раз внимательно начало той страницы учебника, что Вы сбросили. Начиная со слов "где $d$ - ...". И идентифицируйте это на картинке.
После этого, можете забыть про прямоугольные треугольники в принципе. Для любых двух точек, с любыми координатами - у Вас уже есть формула, по которой можно посчитать расстояние между точками. Теперь уже можно не рисовать никаких треугольников, а просто применять это формулу для любой пары точек в любой задаче. Как именно - подробно написал wrest.

[Ende]

horda2501
Настоятельно рекомендую последовать этим двум советам.

wrest в сообщении #1625683 писал(а):

Ну вот вы рисуете в тетрадке в клетку. Возьмите линейку да и померяйте расстояния
Это будет, так сказать, непосредственный опыт.

Dedekind в сообщении #1625675 писал(а):

Разберитесь еще раз, полностью, как находится расстояние между двумя точками. Потом только принимайтесь за задачу.

О результатах сообщите сюда. До появления результатов воздержитесь от иных сообщений в этой теме.

[horda2501]

В результате непрерывных размышлений пришла к ряду выводов и с радостью обнаружила, что они совпали с сообщениями, которые были мною прочитаны в теме. Моя ошибка заключалась в том, что изначально пыталась визуализировать это расстояние от 2 данных точек к третьей как некие линии, оторванные от контекста. Отсюда и шла вся путаница, мол, где тут теорема Пифагора? В действительности ответ был прост - нужно было понять что в системе координат на плоскости расстояние между точками это гипотенуза в принципе. И уже из этого положения выстраивать мысль. Благодарю участников форума за то, что навели меня-таки на нужные мысли и особенно Wrest'а, который уже не в первый раз мне подробно помогает понять алгебраическую составляющую. Для меня это очень важно, так как я в будущем хотела бы чуть глубже изучить аналитическую геометрию. Ну, насколько это позволят мои извилины, конечно

Сейчас попробую, наконец, решить следующую, более сложную задачу. Посмотрим там, поняла я что-то или нет. В целом в этом разделе ("Декартова система координат") хочу разобраться что называется "от корки до корки". В прошлом году посмотрела х/ф итальянский "Декарт" про Декарта, собственно, и даже прочла после него "Рассуждения о методе" (в сокращении, конечно, ибо там в основном для блюстителей религиозности текст, мол, извините, что мыслить нормально предлагаю). Это окончательно склонило меня к изучению математики и, особенно, геометрии. Ранее я сильно переболела идеалистическими философиями и поэтому у меня испортилось мышление. Это как у тех кто изначально болел техническим складом побочный эффект тошнота и занудство. А у идеалистов всё время вопрос "где суть и фундамент??" Одни в упор смотрят, а другие слишком издалека. Сразу умным никто не рождается. Даже Паскаль (тоже отличный фильм от этого же режиссера, кстати).

[Ende]

horda2501
И все же давайте зафиксируем результат. Возьмем на плоскости две точки: $A_1(x_1, y_1)$ и $A_2(x_2, y_2)$. Чему равно расстояние между этими точками? Запишите формулой.

[horda2501]

Если расстояние между этими точками это В, то В, будучи гипотенузой, это корень из суммы квадратов разностей координат этих точек в одной оси. То есть, расстояние между этими точками $\left\lvert x1-x2\rvert^2+\left\lvert y1-y2\rvert^2$
(Модульные скобки поставила пытаясь показать, что понимаю то, что в данном случае будет неважно что из чего вычитать, результат будет один и тот же).

-- 13.01.2024, 19:33 --

А вот следующее задание. "Найдите точку, равноудалённую от осей координат и от точки (3;6)". Я мыслила так. Очевидно, что точка равноудалённая от осей координат будет иметь одинаковые числа в своём "адресе". То есть, X=Y. Далее я просто на чертеже увидела, что эта точка, конечно, имеет координаты (3;3). Не имея никаких других "алгебраических" мыслей, я просто подставила эти координаты в $(x-3)^2+(y-6)^2$ Получается, разумеется, $\sqrt{9}$ На этом мои мысли закончились.

Вопросы:
1) Существует ли какой-либо способ решения этой задачи, кроме этого чисто интуитивного?
2) Эта $(x-3)^2+(y-6)^2=\sqrt{9}$ что-то значит? Вроде как расстояние от заданной точки и искомой

[Dedekind]

horda2501 в сообщении #1625792 писал(а):

расстояние между этими точками $\left\lvert x1-x2\rvert^2+\left\lvert y1-y2\rvert^2$

Не совсем. Корня как раз не хватает.

horda2501 в сообщении #1625792 писал(а):

корень из суммы квадратов разностей координат этих точек в одной оси

horda2501 в сообщении #1625792 писал(а):

Модульные скобки поставила пытаясь показать, что понимаю то, что в данном случае будет неважно что из чего вычитать, результат будет один и тот же

А если обычные скобки поставить, результат будет разным? Попробуйте.

-- 13.01.2024, 18:37 --

horda2501 в сообщении #1625792 писал(а):

А вот следующее задание.

Как Вам неоднократно уже говорили: не беритесь за следующее задание, не разобравшись до конца в предыдущем. В частности, ответьте на вопрос про корень и модуль, и запишите, наконец, правильную формулу для расстояния между точками. Желательно теперь самостоятельно, никуда не подглядывая.