0,999...=1

[Geen]

А что эта тема в ПРР(М) делает?

[Amw]

mihaild в сообщении #1602496 писал(а):

...запрещаем нули в периоде...

Хотелось бы, иначе все числа,кроме $e,\pi$ станут периодическими дробями.

[KhAl]

Geen а Вы не поняли? ТС помогает всем понять математику.

А что в этой теме делают люди?..

[mihaild]

epros в сообщении #1602501 писал(а):

Но существование многих других бесконечных сущностей конструктивизм не принимает именно потому, что это "чистая аксиома существования", без возможности привести пример конкретного объекта.

Нужно просто переименовать конструктивистское "существует" в "конструктивно", и получится всё стандартно - рассматриваем обычные множества, просто на них вводится предикат "конструктивно", и дальше его можно исследовать. Вся математика занимается чем-то подобным, это нормальная деятельность, только непонятно зачем перегружать термин "существование".

Vladimir Pliassov в сообщении #1602569 писал(а):

Его потенциальная бесконечность это когда мы берем его элементы по одному (то есть к выбранным элементам всегда можем добавить еще один), а его актуальная бесконечность это когда все его элементы мы берем сразу. То есть бесконечность одна, но к ней два разных подхода.

Формально мы вообще не "берем" элементы. Мы рассматриваем всякие функции, подмножества и т.д.
Жаргонно мы, конечно, говорим "возьмем множество, добавим к нему элемент, потом еще один" и т.д. Но формализуется это в последовательность множеств, а не в изменение одного множества.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602569 писал(а):

Определение бесконечного множества -- сколько бы элементов мы из него ни взяли, всегда можно взять из него еще один элемент

Примерно так, только без "взяли". Множество $A$ бесконечно, если для любого конечного множества $B$ множество $A \setminus B$ непусто. Правда тут нужно сказать, что такое конечное множество, и внезапно оказывается, что для этого нам понадобится множество натуральных чисел:) (и это довольно существенный результат - не существует аксиоматики, которой удовлетворяют сколь угодно большие конечные множества, но не удовлетворяет никакое бесконечное)

Но вообще, как, видимо, намекает Geen, я очень советую Вам это всё выкинуть из головы. Если хотите поразбираться с теорией множеств - возьмите книгу по ней, посмотрите, как вообще устроена работа с бесконечными множествами. Там нет никакой "потенциальной бесконечности" в смысле до-20-века, и это не просто так: она никому не нужна.

-- 26.07.2023, 18:32 --

Amw в сообщении #1602580 писал(а):

Хотелось бы, иначе все числа,кроме $e,\pi$ станут периодическими дробями.

Ну вообще трансцедентных чисел довольно много еще:)
Но в любом случае, нужно разрешить в периоде либо нули, либо девятки (либо разрешить десятичные дроби с конечным числом знаков после запятой, но это совсем неудобно).

[Vladimir Pliassov]

Amw в сообщении #1602480 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1602463 писал(а):

...и потому цифра $0$ перед запятой не может замениться на $1$.

Так Ахиллес черепаху не догонит, получается?

Кстати, ситуация с черепахой усложняется тем, что она тоже движется, если бы она стояла на месте, было бы проще, но она ползет и тащит с собой предел. Как быть с этим?

Но даже если бы она стояла на месте, догонит ли ее Ахиллес? Пусть он движется к ней так, что его первый шаг равен половине расстояния до нее, второй шаг -- четверти расстояния и так далее. Определение предела говорит, что он при достаточном числе шагов придвинется к ней насколько угодно близко, но оно не говорит, что он ее достигнет.

[diletto]

mihaild в сообщении #1602582 писал(а):

не существует аксиоматики, которой удовлетворяют сколь угодно большие конечные множества, но не удовлетворяет никакое бесконечное

Такие вещи можно строго доказать?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1602582 писал(а):

Жаргонно мы, конечно, говорим "возьмем множество, добавим к нему элемент, потом еще один" и т.д. Но формализуется это в последовательность множеств, а не в изменение одного множества.

Но можно ведь ввести понятие переменного множества (если оно еще не введено)?

[Amw]

mihaild в сообщении #1602582 писал(а):

Но в любом случае, нужно разрешить в периоде либо нули, либо девятки...

Кому нужно и для чего? Любые значения периода кроме девяток (и нулей) нужны для ТОЧНОГО определения некоторой величины десятичной (или по другому основанию) дробью. Девятки в периоде для этого СОВСЕМ не нужны.
(В шестнадцатеричной системе - "Е" в периоде..., в двоичной - единица.)

[mihaild]

diletto в сообщении #1602586 писал(а):

Такие вещи можно строго доказать?

Да. Я не помню, есть ли у этого результата отдельное название, но из теоремы о компактности тривиально следует, что если у теории (первого порядка) есть модели сколь угодно большой конечной мощности, то у неё есть и бесконечная модель.
Например, очень легко написать в языке теории групп (точнее теории группы) набор аксиом, которому удовлетворяют только группы порядка не больше $42$. Но нельзя написать набор аксиом, которому удовлетворяют только конечные группы.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602587 писал(а):

Но можно ведь ввести понятие переменного множества (если оно еще не введено)?

Можно вводить какие угодно понятия, только нужно их строго определить. И скорее всего они окажутся либо уже известными, либо бесполезными.
То, что мы на рукомахательном уровне описываем как "возьмем множество, добавим к нему один элемент, потом другой, потом третий уберем", более формально записывается как "возьмем последовательность множеств, такую что первое это наше исходное, второе это первое плюс один элемент, третье это второе плюс другой элемент, четвертое это третье минус третий элемент". И я сильно сомневаюсь, что можно придумать какую-то полезную принципиально иную формализацию.

Amw в сообщении #1602588 писал(а):

Кому нужно и для чего?

Для того, чтобы можно было произвольное вещественное число записать десятичной дробью.

Amw в сообщении #1602588 писал(а):

Девятки в периоде для этого СОВСЕМ не нужны

Не-а, девятки нужны, а вот нули не нужны. Это равноправные подходы.

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602584 писал(а):

Но даже если бы она стояла на месте, догонит ли ее Ахиллес? Пусть он движется к ней так, что его первый шаг равен половине расстояния до нее, второй шаг -- четверти расстояния и так далее. Определение предела говорит, что он при достаточном числе шагов придвинется к ней насколько угодно близко, но оно не говорит, что он ее достигнет.

Психологический "метод вспомогательной черепахи" (сам придумал только что). Поставим на некотором расстоянии перед нашей черепахой ещё одну, и пусть ползёт в том же направлении и с той же скоростью. Применяем те же рассуждения к передней черепахе. На 7-м шаге Ахиллес всё ещё находится позади передней черепахи, зато уже обогнал заднюю!

[Amw]

mihaild в сообщении #1602591 писал(а):

Для того, чтобы можно было произвольное вещественное число записать десятичной дробью.

Какое произвольное вещественное число Вы не сможете записать десятичной дробью, не используя девять в периоде?

[mihaild]

Amw в сообщении #1602593 писал(а):

Какое произвольное вещественное число Вы не сможете записать десятичной дробью, не используя девять в периоде?

Если не сделать вот этого:

mihaild в сообщении #1602582 писал(а):

разрешить в периоде либо нули, либо девятки (либо разрешить десятичные дроби с конечным числом знаков после запятой, но это совсем неудобно)

То число $0$, например (нейтральный элемент по сложению).

[Amw]

mihaild в сообщении #1602595 писал(а):

То число $0$, например

Число ноль можно записать цифрой ноль... (наверняка многие поймут) Ещё есть что "например"?

[mihaild]

Amw в сообщении #1602598 писал(а):

Число ноль можно записать цифрой ноль

Не хочу цифрой, хочу десятичной дробью.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1602592 писал(а):

Психологический "метод вспомогательной черепахи" (сам придумал только что). Поставим на некотором расстоянии перед нашей черепахой ещё одну, и пусть ползёт в том же направлении и с той же скоростью. Применяем те же рассуждения к передней черепахе. На 7-м шаге Ахиллес всё ещё находится позади передней черепахи, зато уже обогнал заднюю!

Браво!

А можно было бы эту дополнительную черепаху поместить сзади основной, тогда бы он эту заднюю догнал (даже и без изменения субъекта применения рассуждения).

-- 26.07.2023, 20:45 --

Null в сообщении #1602481 писал(а):

Да, вы доказали что ряд сходится, но не доказали что к 1.

Правда. А можно ли доказать, идя по тому же пути, то есть используя то, что сходимость уже доказана?

Но вот другая попытка. Возьмем ряд

$$9+\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\frac {9}{10^3}+\ldots.$$

Поскольку

Цитата:

$$S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}} при n\to +\infty$$

Википедия

где $S_{n}$ это сумма всех $n$ членов убывающей прогрессии при фиксированном $n$ (частичная сумма), $b_{1}=9$, $q=\frac {1}{10}$, имеем

$$\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {9}{1-1/10}}=10.$$

Отнимем от этого результата $9$, получим $1$.