Но существование многих других бесконечных сущностей конструктивизм не принимает именно потому, что это "чистая аксиома существования", без возможности привести пример конкретного объекта.
Нужно просто переименовать конструктивистское "существует" в "конструктивно", и получится всё стандартно - рассматриваем обычные множества, просто на них вводится предикат "конструктивно", и дальше его можно исследовать. Вся математика занимается чем-то подобным, это нормальная деятельность, только непонятно зачем перегружать термин "существование".
Его потенциальная бесконечность это когда мы берем его элементы по одному (то есть к выбранным элементам всегда можем добавить еще один), а его актуальная бесконечность это когда все его элементы мы берем сразу. То есть бесконечность одна, но к ней два разных подхода.
Формально мы вообще не "берем" элементы. Мы рассматриваем всякие функции, подмножества и т.д.
Жаргонно мы, конечно, говорим "возьмем множество, добавим к нему элемент, потом еще один" и т.д. Но формализуется это в последовательность множеств, а не в изменение одного множества.
Определение бесконечного множества -- сколько бы элементов мы из него ни взяли, всегда можно взять из него еще один элемент
Примерно так, только без "взяли". Множество
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
бесконечно, если для любого конечного множества
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
множество
![$A \setminus B$ $A \setminus B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/1/0b19930c5027db836145388cb4e27c1482.png)
непусто. Правда тут нужно сказать, что такое конечное множество, и внезапно оказывается, что для этого нам понадобится множество натуральных чисел:) (и это довольно существенный результат - не существует аксиоматики, которой удовлетворяют сколь угодно большие конечные множества, но не удовлетворяет никакое бесконечное)
Но вообще, как, видимо, намекает
Geen, я очень советую Вам это всё выкинуть из головы. Если хотите поразбираться с теорией множеств - возьмите книгу по ней, посмотрите, как вообще устроена работа с бесконечными множествами. Там нет никакой "потенциальной бесконечности" в смысле до-20-века, и это не просто так: она никому не нужна.
-- 26.07.2023, 18:32 --Хотелось бы, иначе все числа,кроме
![$e,\pi$ $e,\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/f/fbf6d09fea620165c370413c75edd32a82.png)
станут периодическими дробями.
Ну вообще трансцедентных чисел довольно много еще:)
Но в любом случае, нужно разрешить в периоде либо нули, либо девятки (либо разрешить десятичные дроби с конечным числом знаков после запятой, но это совсем неудобно).