0,999...=1

[Vladimir Pliassov]

TOTAL в сообщении #1602436 писал(а):

Просто сложил в позиции "сидя на стуле". Чтобы надолго не затягивать и управиться до обеда, за полчаса до обеда я прибавил первое слагаемое, за четверть часа до обеда я прибавил второе слагаемое, за восьмую часть часа до обеда я прибавил третье слагаемое. И так далее. Все вычисления проделал в уме.

Такой способ требует прогрессирующей быстроты соображения.

Anton_Peplov в сообщении #1602421 писал(а):

Докажите, что для любого $\varepsilon >0$ верно $|1-0,99\dots|<\varepsilon$.

Ни в одном разряде $0,999\ldots$ после запятой не может быть числа больше $9$, то есть ни один из этих разрядов не может быть переполнен (что привело бы к переполнению всех предыдущих разрядов после запятой), и потому цифра $0$ перед запятой не может замениться на $1$. Так что при любом числе $n$ разрядов после запятой частичная сумма

$$x_n=\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\ldots+ \frac {9}{10^n}$$

меньше $1$, что доказывает утверждение, поскольку

Цитата:

Критерий сходимости положительных рядов — основной признак сходимости положительных числовых рядов. Утверждает, что положительный ряд $\sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}$ сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм $S(n)=\sum _{{k=1}}^{n}a_{k}$ ограничена сверху. Википедия.

Над предложенными путями решения тоже думаю.

EUgeneUS в сообщении #1602439 писал(а):

Можно просто объявить, что $0.9(9)$ и $1$ - это разные записи одного и того же числа.

mihaild в сообщении #1602423 писал(а):

$\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots$ и $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots + \frac{9}{10^n}$ - это просто два способа записи одного и того же (по определению, первое понимается как упрощенный способ записи второго).

Я сразу не сообразил, но теперь скажу, что такой взгляд меня совершенно удовлетворяет, я и сам его высказывал года два назад: если

$$0,999 \ldots =\lim \frac {9}{10}+\frac {9}{100}+\frac {9}{1000}+\ldots,$$

то актуальная бесконечность не нужна. (Почему-то у Фихтенгольца я этого равенства не встретил, а это бы очень помогло.)

Но по-прежнему считаю, что она нужна в отношении бесконечных множеств. Для определения $0,999 \ldots$ используется понятие конечного предела, которое вполне доступно человеческому рассудку, но для определения $\mathbb N$ если и может использоваться предел, то бесконечный, так что вряд ли он поможет. Тут нужен не рассудок, а вера, что существует бесконечное множество, хотя это и непонятно.

Но, может быть, мы спорим не по существу, а о терминологии? Вы говорите:

mihaild в сообщении #1602423 писал(а):

В современной математике объекты "существуют сразу"

я тоже говорю, что бесконечное множество надо объять "сразу" и называю это актуальной бесконечностью.

Anton_Peplov в сообщении #1602437 писал(а):

если Вам так больше нравится, можете называть бесконечные множества актуально бесконечными.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602463 писал(а):

но для определения $\mathbb N$ если и может использоваться предел, то бесконечный, так что вряд ли он поможет

Для того, чтобы обойти эту проблему, используется следующий трюк: мы называем множество индуктивным, если оно содержит $0$, и вместе с элементом $x$ содержит и элемент $x + 1$. Есть аксиома бесконечности, которая утверждает, что существует индуктивное множество (без неё не получится). Ну и раз есть, то возьмем какое-нибудь индуктивное множество, и наименьшее его индуктивное подмножество (нужно доказать, что такое существует) - это и есть $\mathbb N$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602463 писал(а):

я тоже говорю, что бесконечное множество надо объять "сразу" и называю это актуальной бесконечностью.

Ну вот лучше это так не называть, потому что вас могут принять за философа (а математики философов, рассуждающих об "актуальной бесконечности", не любят). Плюс это словосочетание создает впечатление, что существует еще какая-то бесконечность, что неправда.

Но в целом упражнение по строгому рассчету значения предела гораздо полезнее всего остального.

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1602423 писал(а):

Нет никакой "потенциальной" и "актуальной" бесконечности. Их пытались ввести строго в начале 20 века, но не получилось. В современной математике объекты "существуют сразу".

Есть статьи, где оперируют понятиями актуальной и потенциальной бесконечности, хоть они и не мейнстрим

[Red_Herring]

Doctor Boom в сообщении #1602472 писал(а):

mihaild в сообщении #1602423 писал(а):

Нет никакой "потенциальной" и "актуальной" бесконечности. Их пытались ввести строго в начале 20 века, но не получилось. В современной математике объекты "существуют сразу".

Есть статьи, где оперируют понятиями актуальной и потенциальной бесконечности, хоть они и не мейнстрим

Статьи есть много о чём, чего нет.

[Doctor Boom]

Red_Herring в сообщении #1602473 писал(а):

Статьи есть много о чём, чего нет.

Что "на самом деле" есть или нет вопрос философский (и те статьи большей частью про философию математики"). Вон конструктивизм не признает актуальных бесконечностей

[EUgeneUS]

Doctor Boom в сообщении #1602476 писал(а):

Вон конструктивизм не признает актуальных бесконечностей

И пусть себе не признает.

Цитата:

Те области познания, для которых удаётся выработать ясную и работоспособную методологическую парадигму, выделяются из философии в научные дисциплины, как, например, из древней философии выделились физика, биология и психология[8][9].

Пожалуй, это всё, что нужно знать о философии

[Amw]

Приходилось несколько раз на бытовом уровне показывать, что 0.9999... "не бывает".
(Последний раз слышал на лекции Дробышевского - "...и девять в периоде...")
Любое число в периоде "бывает", а число "9" - нет.
Чтобы получить любое число в периоде, надо разделить его на соответствующее число девяток.
Например 2023 в периоде - это $2023/9999=0.202320232023... $
Т.е. любую периодическую (в т.ч. десятичную) дробь можно записать ТОЧНО в виде обыкновенной дроби.
Так с числами из одних девяток такой "фокус" не проходит...

-- 26.07.2023, 08:34 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1602463 писал(а):

...и потому цифра $0$ перед запятой не может замениться на $1$.

Так Ахиллес черепаху не догонит, получается?

[Null]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602463 писал(а):

что доказывает утверждение

Да, вы доказали что ряд сходится, но не доказали что к 1.

[EUgeneUS]

Amw в сообщении #1602480 писал(а):

Чтобы получить любое число в периоде, надо разделить его на соответствующее число девяток.
Например 2023 в периоде - это $2023/9999=0.202320232023... $
Т.е. любую периодическую (в т.ч. десятичную) дробь можно записать ТОЧНО в виде обыкновенной дроби.
Так с числами из одних девяток такой "фокус" не проходит...

Да, ладно.
$0,9(9) = 9/9 = 1$
всё "проходит". Что неудивительно, потому что $0.9(9)$ и $1$ - это две разные записи одного и того же числа. Точно так же, как $0,6(6)$ и $2/3$ - это две разные записи одного и того же числа (но другого ;))

[Amw]

EUgeneUS в сообщении #1602487 писал(а):

всё "проходит".

Я и имел ввиду, что получается не периодическая дробь, а точно единица.

[Doctor Boom]

Т.е. просто говорим, что запись с бесконечным числом девяток неадекватна, т.к. бесконечное число девяток можно просто заменить на бесконечное число нулей, увеличив на единицу предыдущий разряд

-- 26.07.2023, 11:25 --

"Неадекватна" Чисто синтаксически

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1602472 писал(а):

Есть статьи, где оперируют понятиями актуальной и потенциальной бесконечности

Есть математические статьи, где произносят слова "потенциальная бесконечность". Понимая под ней вполне нормальную последовательность конечных множеств. А для определения, что такое последовательность, нам уже нужны натуральные числа:)
Есть куча фейлософских статей, но они здесь оффтоп

EUgeneUS в сообщении #1602478 писал(а):

Пожалуй, это всё, что нужно знать о философии

Во-первых, конструктивизм это не философия а вполне себе кусок математики. Правда то, что они "не признают" актуальную бесконечность - это философское рукомашество. Реально они изучают просто некоторый хитрый класс структур, который вполне описывается классическими способами.

Amw в сообщении #1602480 писал(а):

Так с числами из одних девяток такой "фокус" не проходит

$0.(9) = 1/1$. Чтобы доказать, что

Amw в сообщении #1602480 писал(а):

Любое число в периоде "бывает", а число "9" - нет

нужно существенно опереться на определение десятичных дробей. А их есть три неэквивалентных: запрещаем нули в периоде, запрещаем девятки, и разрешаем оба, но говорим что две дроби могут обозначать одно и то же число.

Amw в сообщении #1602489 писал(а):

Я и имел ввиду, что получается не периодическая дробь, а точно единица

Только если Вы предварительно запретите девятки в периоде.

[epros]

В словосочетании "актуальная бесконечность" есть смысл, он заключается в принятии теоретико-множественной аксиомы бесконечности (о существовании индуктивного множества). Так что можно говорить о "потенциальной бесконечности" натуральных чисел (в том смысле, что по определению не существует максимального натурального числа), но при этом не признавать "актуальную бесконечность" (т.е. утверждение о том, что "множество всех натуральных чисел" в каком-либо смысле "существует").

Но это всё бесконечно далеко от вопроса этой темы о равенстве $0.99\ldots$ и $1$, ибо этот вопрос решается через предел, определение коего не имеет никакого отношения к актуальной бесконечности.

-- Ср июл 26, 2023 13:29:45 --

mihaild в сообщении #1602496 писал(а):

Правда то, что они "не признают" актуальную бесконечность - это философское рукомашество.

Про конструктивизм я хочу сказать следующее. Нет особых проблем с принятием конструктивистами утверждения о существовани множества всех натуральных чисел, потому что его единственность как бы "доказуема", а значит выполняется требование интерпретации BHK (Брауэра-Гейтинга-Колмогорова): Если утверждается существование объекта, то мы должны быть в состоянии предоставить его конкретный экземпляр.

Но существование многих других бесконечных сущностей конструктивизм не принимает именно потому, что это "чистая аксиома существования", без возможности привести пример конкретного объекта.

[stancheff]

Может из за жары, но не мог пройти мимо (даже зарегистрировался). Человек же несколько раз (EUgeneUS) обяснял что 0.9 в период и единица это разные записи одного и тоже. Никаких тут нет безконечностей. Давайте 1/3 разписать в десятичную дробь - 0.3333... и т.д. Теперь умножте на 3 - получится 0.99999... и т.д. Один разделили на три и умножили на три - получилась едница!

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1602467 писал(а):

Плюс это словосочетание создает впечатление, что существует еще какая-то бесконечность, что неправда.

Пусть нам дано бесконечное множество. Его потенциальная бесконечность это когда мы берем его элементы по одному (то есть к выбранным элементам всегда можем добавить еще один), а его актуальная бесконечность это когда все его элементы мы берем сразу. То есть бесконечность одна, но к ней два разных подхода.

№№№

Потенциальная бесконечность это, например, когда к выбранному конечному множеству $A$ элементов всегда можно добавить еще один, и это вполне понятно ($A$ может быть бесконечным, но возьмем конечное). Но откуда можно неограниченно черпать эти добавляющиеся элементы? Это должно быть какое-то бесконечное множество $B$, актуальная бесконечность, а это уже непонятно.

№№№

epros в сообщении #1602501 писал(а):

можно говорить о "потенциальной бесконечности" натуральных чисел (в том смысле, что по определению не существует максимального натурального числа), но при этом не признавать "актуальную бесконечность" (т.е. утверждение о том, что "множество всех натуральных чисел" в каком-либо смысле "существует").

Конечно, можно ее не признавать, но тогда это должно иметь последствия для занятия математикой: если не признавать бесконечных множеств, математическая система будет не такой как если признавать.

Тут надо еще различать: понимать и признавать это не одно и то же. Бесконечное множество непонятно, но его существование можно взять за аксиому.

При этом можно продолжать пытаться его понять, а можно перестать этим заниматься, ни то, ни другое не будет иметь значения для математики.

№№№

Избавление от актуальной бесконечности.

Когда задают множество, то его элементы либо перечисляют (это возможно только для конечных множеств), либо указывают их общий признак. Если к уже выбранным объектам с этим признаком всегда можно добавить еще один, то их множество называется бесконечным.

При этом нет необходимости пытаться представить себе какую-то страшную прорву элементов (то есть их актуальную бесконечность), необходима только потенциальная бесконечность и этот признак.

Возьмем множество всех слагаемых суммы бесконечного ряда

$$\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\frac {9}{10^3}+\ldots.$$

Можем мы представить себе такую прорву элементов? Нет, но нам это и не надо, у нас есть признак этих элементов, то есть формула произвольного слагаемого

$$\frac {9}{10^n},$$

и потенциальная бесконечность ("к выбранному конечному множеству $A$ элементов всегда можно добавить еще один").

№№№

Определение бесконечного множества -- сколько бы элементов мы из него ни взяли, всегда можно взять из него еще один элемент.