0,999...=1

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602607 писал(а):

А можно было бы эту дополнительную черепаху поместить сзади основной, тогда бы он эту заднюю догнал (даже и без изменения субъекта применения рассуждения).

Ну да, но я думал, что Вам нужно, чтобы Ахиллес обогнал конкретную черепаху.
Можно сказать так: погнавшись за "вспомогательной" черепахой, Ахиллес на глазах Зенона и его учеников нечаянно обогнал "основную" (при этом Зенону стало нехорошо, вероятно, от жары, и его вынесли).

[Vladimir Pliassov]

Да! Но вспомогательную ему ни за что не догнать! Так ведь?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602569 писал(а):

Конечно, можно ее не признавать, но тогда это должно иметь последствия для занятия математикой: если не признавать бесконечных множеств, математическая система будет не такой как если признавать.

Есть слабый вариант аксиоматики теории множеств, который называется General set theory. В ней недоказуемо существование бесконечных множеств и вообще по доказательной силе эта теория эквивалентна арифметике Пеано первого порядка. Вот это - наглядный пример того, как можно "не признавать актуальную бесконечность".

mihaild в сообщении #1602582 писал(а):

Нужно просто переименовать конструктивистское "существует" в "конструктивно", и получится всё стандартно - рассматриваем обычные множества, просто на них вводится предикат "конструктивно", и дальше его можно исследовать. Вся математика занимается чем-то подобным, это нормальная деятельность, только непонятно зачем перегружать термин "существование".

Конструктивное существование - не какое-то "принципиально другое", просто у конструктивистов есть отличия в аксиоматике. То есть конструктивисты не принимают некоторые аксиомы, полагая их "неконстуктивными". В этом самом по себе нет ничего особенного, поскольку в любой теории может "не хватать" каких-то аксиом (сравнительно с другими, более сильными теориями). Классическая теория точно так же может трактовать существование по-разному в зависимости от аксиоматики. Например, можно говорить о существовании "у нас в городе", "на Земле", "в природе" или даже "в некотором воображаемом мире" - это всё разные аксиоматики существования.

Проблема только в том, что к аксиомам, не принимаемым конструктивистами, относится и такая фундаментальная вещь, безоговорочно принимаемая всеми классическими теориями, как закон исключённого третьего. Поэтому возможны непривычные для классического математика ситуации вроде того, что двойное отрицание не всегда может быть снято или не всегда можно заменить "не любой удовлетворяет" на "существует не удовлетворяющий". Кстати, поэтому двойное отрицание перед существованием ("не может не существовать") в конструктивном анализе является своего рода "ослабленной" версией существования, которая к "полноценному" существованию не всегда сводится. Но как ни непривычно это может быть для классического математика, это всего лишь различия в аксиоматиках.

[Vladimir Pliassov]

Anton_Peplov в сообщении #1602421 писал(а):

Докажите, что для любого $\varepsilon >0$ верно $|1-0,99\dots|<\varepsilon$.

Тут возникает вопрос: что такое $0,99\dots \; ?$ Если $0,99\dots$ и $\lim 0,99\dots$ это две записи одного и того же, как уже договорено:

mihaild в сообщении #1602423 писал(а):

$\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots$ и $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots + \frac{9}{10^n}$ - это просто два способа записи одного и того же (по определению, первое понимается как упрощенный способ записи второго).

то единица здесь не является пределом, то есть она равна пределу $\lim 0,99\dots \; ,$ но по своей смысловой нагрузке в этой формуле пределом не является, также и $\varepsilon$ не имеет здесь своего обычного значения:

$$|1-\lim 0,99\dots|<\varepsilon.$$

Но, наверное, здесь имеется в виду

$$|1-0,\underbrace{99\dots \; 9}_{n}|<\varepsilon \;\; n\to \infty,$$

и тогда $0,99\dots$ это упрощенная запись $0,\underbrace{99\dots \; 9}_{n}$, при которой в формуле имеется в виду $n\to \infty \; ?$

И еще: зачем вертикальные черты? Ведь $1-0,99\dots$ не может быть меньше нуля.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602624 писал(а):

Тут возникает вопрос:

Скажите, а Вы уверены что Вам топология нужна? Может быть стоит пока в обычном матанализе потренироваться?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602624 писал(а):

Если $0,99\dots$ и $\lim 0,99\dots$ это две записи одного и того же, как уже договорено

Нет, договорено другое.
Писать $\lim 0,99 \ldots $ нельзя, потому что непонятно, о какой последовательности речь.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602624 писал(а):

Тут возникает вопрос: что такое $0,99\dots \; ?$

Есть несколько определений.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602624 писал(а):

Но, наверное, здесь имеется в виду

$$|1-0,\underbrace{99\dots \; 9}_{n}|<\varepsilon \;\; n\to \infty,$$

Да, вот это содержательное утверждение, которое стоит уметь доказывать.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602624 писал(а):

И еще: зачем вертикальные черты?

Просто потому что в определении предела модуль.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602624 писал(а):

и тогда $0,99\dots$ это упрощенная запись $0,\underbrace{99\dots \; 9}_{n}$

Вообще есть несколько способов определить, что такое $0.999\ldots$. Начиная от того, что это по определению $1$, и заканчивая тем, что это вообще некорректная запись.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1602592 писал(а):

Применяем те же рассуждения к передней черепахе.

Хорошо, пусть задняя черепаха будет вспомогательной. Ахиллес бросился догонять переднюю черепаху, но споткнулся о заднюю и упал.

Ну так что, смог бы он ее догнать, если бы не упал?

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602612 писал(а):

Да! Но вспомогательную ему ни за что не догнать! Так ведь?

Так мы возьмём ещё одну вспомогательную.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602638 писал(а):

Хорошо, пусть задняя черепаха будет вспомогательной. Ахиллес бросился догонять переднюю черепаху, но споткнулся о заднюю и упал.

Ну так что, смог бы он ее догнать, если бы не упал?

[wrest]

Vladimir Pliassov
Гляньте тему «Что такое ряд?»
Мне кажется, она местами близка к тому, что обсуждается здесь.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1602639 писал(а):

Так мы возьмём ещё одну вспомогательную.

Во всяком случае, это должно быть не более, чем счетное множество вспомогательных.

Хотя ладно, пусть будет несчетное, но только, по-моему, это все равно не поможет, потому что определение предела позволяет Ахиллесу подобраться насколько угодно близко к черепахе, но коснуться ее не позволяет.

(А зачем он ее преследует?)

mihaild в сообщении #1602633 писал(а):

Нет, договорено другое.
Писать $\lim 0,99 \ldots $ нельзя, потому что непонятно, о какой последовательности речь.

В Вашей записи $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots + \frac{9}{10^n}$ в сумме $ \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots + \frac{9}{10^n}$ присутствует $n$, а в записи

$$0,99 \ldots=\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\frac {9}{10^3}+\ldots$$

$n$ отсутствует, если написать:

$$\lim_{n\to \infty}0,99 \ldots=\lim_{n\to \infty}\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\frac {9}{10^3}+\ldots\; ,$$

то это ведь тоже будет неправильно? Значит, в формуле предела должно указываться $n$:

$$\lim_{n\to \infty}0,\underbrace{99\dots \; 9}_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\ldots+\frac {9}{10^n}\; ?$$

Geen в сообщении #1602629 писал(а):

Скажите, а Вы уверены что Вам топология нужна? Может быть стоит пока в обычном матанализе потренироваться?

Ваша правда, но я ведь сейчас и тренируюсь в нем.

wrest в сообщении #1602642 писал(а):

Гляньте тему «Что такое ряд?»
Мне кажется, она местами близка к тому, что обсуждается здесь.

Спасибо! Посмотрел, и еще буду смотреть.

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

wrest
Плюсану за тему, особенно за ответ Padawan-a (тему видел и раньше, но отметить ее крутость лишним не будет).
Конечно, вряд ли этот подход прям совсем самый лучший, но как первое приближение - нормально.
И если честно, я до сих пор не знаю, как определить ряд, чтобы было совсем хорошо. Но здесь это оффтоп, поэтому развивать не буду.

[Vladimir Pliassov]

EminentVictorians в сообщении #1602644 писал(а):

как определить ряд, чтобы было совсем хорошо. Но здесь это оффтоп, поэтому развивать не буду.

Почему оффтоп? Тема ведь "$0,999\ldots=1$". $0,999\ldots$ это же и есть ряд.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602643 писал(а):

$n$ отсутствует, если написать:

$$\lim_{n\to \infty}0,99 \ldots=\lim_{n\to \infty}\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\frac {9}{10^3}+\ldots\; ,$$

то это ведь тоже будет неправильно?

Это не то чтобы неправильно, это бессмысленно. Как раз потому что выражения под пределом не зависят от $n$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602643 писал(а):

Значит, в формуле предела должно указываться $n$:

$$\lim_{n\to \infty}0,\underbrace{99\dots \; 9}_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\ldots+\frac {9}{10^n}\; ?$$

Так писать можно, утверждение правильное, хотя и простое - слева и справа под знаком предела просто одна и та же последовательность.

[KhAl]

В математике есть важное правило: если Вы пишете какие-то значки, Вы должны предварительно определить, как с ними работать. Вот Вы пишете $0,999 \ldots =1$. А что Вы при этом понимаете под значками $0,999 \ldots$, под $1$, под $=$ (последнее -- самое важное, хотя казалось бы)? Вы читали строгое определение вещественных чисел, хоть какое-нибудь? Там везде указывается (явно или неявно), когда два числа равны.

Дальше. Разумеется, нельзя в классическом смысле "сложить все слагаемые в выражении $\frac {9}{10}+\frac {9}{100}+\frac {9}{1000}+\ldots$". Сумма определяется для двух слагаемых, уже даже для трёх слагаемых есть только суммы $a+(b+c)$ и $(a+b)+c$ (скобки не пишут, потому что лень, но они важны). Есть "бесконечные суммы", как надстройка над обычными, но они определяются хитрым образом много позже обычных сумм, никак не "сложением бесконечного числа слагаемых". И при введении таких "бесконечных сумм" строго определяется, когда верно выражение "такая сумма равна такому числу".

Дальше. Есть полезный (псевдо)аргумент в пользу того, что $0,(9) = 1$. Мы знаем, что адекватные математики как-то умудрились сопоставлять (бесконечным) строчкам цифр вместе с запятой вещественные числа (не имея в виду никаких сумм, просто строчки цифр!). А ещё мы знаем, что между двумя вещественными числами $x < y$ есть число $\frac{x+y}{2}$, такое, что $x < \frac{x+y}{2} < y$. Так вот, если ввести на строчках цифр естественный порядок, то между $0,999...$ и $1,000...$ никакой строчки не будет! Значит, эти строчки соответствуют одному числу. Это -- псевдоаргумент, потому что никаких определений он не использует. Но он полезен, если мы хотим изначально определять вещественные числа как строчки цифр, и тогда ответ такой -- если мы не положим $0,999.... = 1,000...$, то потеряем важное свойство вещественных чисел, которое всюду используется.

И да. Не пишите здесь $\lim$, если не решили хотя бы пять задач на "посчитать предел, используя определение предела".

P.S. $0.999...$ это не всегда ряд (а Вы не знаете, что такое ряд, так что Вам не пытаются объяснить на языке рядов, или пытаются, но неудачно...). Прежде чем считать значения рядов, нужно знать, что такое вещественные числа. Простейшее определение вещественных чисел -- строчки цифр, как выше, с указанием, какие строчки мы считаем равными. И это понятие равенства выбирается так, чтобы получилось что-то, с чем удобно работать.

[Vladimir Pliassov]

KhAl в сообщении #1602650 писал(а):

Вы читали строгое определение вещественных чисел, хоть какое-нибудь? Там везде указывается (явно или неявно), когда два числа равны.

Читал Фихтенгольца. Равенство чисел определяется через сечения.

KhAl в сообщении #1602650 писал(а):

Есть "бесконечные суммы", как надстройка над обычными, но они определяются ... никак не "сложением бесконечного числа слагаемых"

а как пределы последовательностей частичных сумм?

KhAl в сообщении #1602650 писал(а):

И да. Не пишите здесь $\lim$, если не решили хотя бы пять задач на "посчитать предел, используя определение предела".

Я решал задачи на пределы последовательностей из Фихтенгольца, больше пяти. Правда, там, насколько я помню, были в основном задачи не на нахождение пределов, а на доказательство того, что такое-то число является пределом.

KhAl в сообщении #1602650 писал(а):

а Вы не знаете, что такое ряд

Мне кажется, что основное определение ряда очень простое, это бесконечная сумма чисел (но, может быть, это не всегда так?):

Цитата:

Ряд, называемый также бесконечная сумма ... В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:

$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad $$

Краткая запись: $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}$ (иногда нумерацию слагаемых начинают не с $1$, а с нуля). Википедия.

KhAl в сообщении #1602650 писал(а):

Простейшее определение вещественных чисел -- строчки цифр, как выше, с указанием, какие строчки мы считаем равными.

Об этом я, думаю, тоже читал, но сразу не могу вспомнить (у меня очень плохая память), не можете ли напомнить, о чем это?