Функция вида f(x)^g(x) и уравнения

[Twidobik]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Будьте добры, пожалуйста, помогите разобраться с одним очень интересующим вопросом.

Речь о функции вида $y=f(x)^{g(x)}$ и уравнении вида $f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}$.
Я сейчас буду говорить о школьниках, которые готовятся и сдают вступительные испытания в математические ВУЗы. Я знаю, что многие из форумчан занимаются подготовкой школьников к ЕГЭ, а кто-то причастен к разработке задач на различные олимпиады и конкурсы. Возможно, вы проясните ситуацию.

Без преувеличения во всех печатных изданиях, нацеленных на подготовку школьников к вступительным испытаниям, которые мне довелось видеть, однозначно написано, что уравнения вида $f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}$ решаются следующим образом: или основание строго больше нуля и степени равны или основание равно 1 при существовании степеней. Всё. Где-то дополнительно упоминается, что на функцию вида $y=f(x)^{g(x)}$ накладывается ограничение: $f(x)>0$.
Например, так написано в классическом Сканави. Так пишет Софья Колесникова в книге от МФТИ для подготовки к ЕГЭ "Показательные и логарифмические уравнения" (2010 год), где она говорит о том, что вообще не понимает, как можно рассматривать основание в такого типа уравнениях равным или меньше нуля. Я ограничусь двумя этими книгами, но могу привести гораздо больше примеров. В каждом пособии по решению показательных уравнений, которое я видел, где разбирается решение такого типа уравнений, они решались именно так.

И вот в единственной книге, за авторством А.Х. Шахмейстера под названием "Логарифмы" представлено без дополнительных пояснений решение уравнения $(x+1)^{2-x}=(x+1)^{-2x+x^2}$, в котором автор рассматривает случай $x+1=0$ и далее пишет, что $0^3=0^3$ - истина, что даёт корень $x=-1$.

Я бы вас попросил, по возможности, прокомментировать данную ситуацию, дав ответы на такие вопросы:
1. Как же всё-таки решать правильно?
2. Как же школьнику понять, как решать правильно, если решения различны?
3. Быть может, кто-то знает или помнит уравнение такого типа на вступительных или олимпиадах и у него есть решение от автора данного задания или вы выскажете свою точку зрения: какое решение будет засчитано как верное на вступительном испытании?

Благодарю за помощь!

[EminentVictorians]

Лично я разделяю "действительное возведение" и "целочисленное возведение" - как две разные операции. В первом случае основание по определению больше нуля, во втором - не обязательно. Поэтому:

Twidobik в сообщении #1602258 писал(а):

И вот в единственной книге, за авторством А.Х. Шахмейстера под названием "Логарифмы" представлено без дополнительных пояснений решение уравнения $(x+1)^{2-x}=(x+1)^{-2x+x^2}$, в котором автор рассматривает случай $x+1=0$ и далее пишет, что $0^3=0^3$ - истина, что даёт корень $x=-1$.

если бы мне просто дали задачу "решить уравнение" и написали бы такое уравнение, я бы ответил, что это некорректно поставленная задача, т.к. не указано, какая из операций возведения в степень здесь написана (визуально-то они обе выглядят одинаково и даже на большой области совпадают). Если бы меня просто поставили тупо перед фактом - "реши или умри" - я бы по дефолту руководствовался бы тем, что здесь имеется в виду действительное возведение в степень, и я бы не считал $(-1)$ корнем этого уравнения.

[zykov]

EminentVictorians
Да, двояко.
Если левую и правую части рассматривать как функции заданные выражением, то там будут нецелые степени в общем случае и основание не может быть нулём.

Но кто сказал, что тут где-то заданы функции?
Есть просто предикат (равенство) заданный выражением. В него вместо $x$ можно подставить какое-то значение.
Если подставить $x=-1$, то будет верный предикат $0^3=0^3$, где имеет место возведение в целую степень.
(Это конечно вопрос интерпретации выражения, но вроде $(-1+1)^{2-(-1)}=(-1+1)^{-2\cdot(-1)+(-1)^2}$ интерпретируется довольно однозначно.)
Тут вполне логично для целых степеней рассматривать "возведение в целую степень", а для нецелых рассматривать "возведение в нецелую степень".

Школьнику можно посоветовать расписать эти два случая с комментарием.
Нормальный проверяющий даст за это полный бал.
Если же это тест с выбором вариантов ответа, то остаётся только полагатся на удачу.
Ну или натаскиваться на эти тесты, чтобы знать, что они имеют ввиду.

[Twidobik]

EminentVictorians, zykov, благодарю за ответы!
Из ваших ответов пока понимаю, что единого подхода, действительно, нет, а интерпретация может быть различной.
В школьной математике превалирует мнение, судя по многочисленным пособиям, что основание не может быть равно нулю, однако это, похоже, дело вкуса...

[EminentVictorians]

zykov
Если на таком уровне, то я рассуждаю так:

Есть строчка $(x+1)^{2-x}=(x+1)^{-2x+x^2}$ и есть наша ее интерпертация. Перед тем, как решать любую задачу, мы должны очень четко определиться с интерпретацией, причем она должна быть одинаковой у "экзаменатора" и решающего. Уже на этом уровне мы определяемся с тем, что

1) перед нами уравнение
2) и не над чем-нибудь, а над $\mathbb R$
3) в котором фигурирует (частичная) операция возведения в степень, которая может быть одного из трех видов: действительная, целочисленная, "максимальная" (эта та, о которой говорите Вы - берем объединение доменов для действительной и целочисленной).

На этих трех пунктах интерпретация не закончена. Мы еще не поняли, какая операция из этих трех здесь имеется в виду. Как только мы выберем что-то одно, интерпретация завершится и можно будет приступать к самому уравнению.

Вы выбрали "максимальную". Выбрать ее конечно можно, но как опреация она ведет себя крайне паршиво, поэтому о ней обычно не говорят. И по-моему, в любом случае требовать решать задачу до завершения ее интерпретации - некорректно.

А вся проблема на самом деле в обозначениях: если бы одна степень обозначалась как $a^b$, а другая - как, например, $a_b$, то проблем с интерпретацией было бы меньше. И вообще, когда у нас есть вложение $A \to B$ и какие-то манипуяции над $B$, обычно считается, что манипуляции над $A$ должны быть сужением манипуляций над $B$ (тем более, если они одинаково обозначаются). Со степенями - не так. Отсюда и идут все разночтения.

[alisa-lebovski]

Я думаю, что ноль в любой положительной действительной степени должен считаться равным нулю.

[artempalkin]

EminentVictorians в сообщении #1602261 писал(а):

Лично я разделяю "действительное возведение" и "целочисленное возведение" - как две разные операции. В первом случае основание по определению больше нуля, во втором - не обязательно.

А что мешает возводить ноль в действительную (положительную) степень? В рациональную положительную можно, получится ноль по определению, далее по непрерывности... А в отрицательную нельзя возводить и в "целом" и в "действительном" случае, поэтому тут нет принципиального "ухудшения" ситуации.

[EminentVictorians]

artempalkin в сообщении #1602620 писал(а):

В рациональную положительную можно

У меня ноль в рациональной степени (даже положительной) тоже не определен.

Просто тут вот какой момент есть. Можно стараться максимально расширить область определения ценой потери некоторых свойств, а можно работать в не очень широкой области, но зато со свойствами в кармане. Что теряется, если разрешить возводить ноль в положительную действительную степень? Ну как минимум, теперь не все показательные функции имеют вид $\mathbb R \to R_{>0}$.

Я даже больше скажу: если хотеть максимально расширить область определения, то в рациональную степень можно и отрицательные числа возводить. Сначала надо зафиксировать договоренность о том, что степенью с сократимой дробью является соответствующая степень с несократимой дробью, затем перебрать кучу вариантов с четными/нечетными/положительными/отрицательными/нулевыми числителями и знаменателями и по итогу получится, что, например, $(-\frac{1}{2})^{-\frac{3}{7}}$ корректно определена. И даже большинство свойств сохранится.

Но по-моему, лучше чтобы определение было как можно проще. Я кстати, если между нами , даже корни из отрицательных чисел не признаю)) И ни разу не испытывал проблем по поводу этого. А когда надо, тупо задаю функцию кусочно. Кому-то может быть это покажется диким, но мне норм.

В общем, я за то, чтобы определения были простыми. А в нужных случаях я просто рисую в голове картинки с графиками и понимаю, где какая степень.

[artempalkin]

EminentVictorians в сообщении #1602634 писал(а):

У меня ноль в рациональной степени (даже положительной) тоже не определен.

А почему? Я могу ошибаться, это супербаза и тут можно уже и начать что-то терять :), но разве не $a^{\frac nm}=(\sqrt[m] a)^n$? Тогда почему рациональные степени нуля у вас не определены?

Уходить в отрицательные основания - это уже уходить в маргинализм, тут я полностью согласен, что это абсолютно не нужно и порождает ужасающие трудноопределимые вещи :) но про ноль я что-то и в самом деле не понял.

EminentVictorians в сообщении #1602634 писал(а):

теперь не все показательные функции имеют вид $\mathbb R \to R_{>0}$.

так, и что? :) Теперь они имеют вид $\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\geqslant 0}$.

[zykov]

$a^b=e^{b\ln a}$
а логарифм нуля неопределен

[EminentVictorians]

artempalkin в сообщении #1602637 писал(а):

разве не $a^{\frac nm}=(\sqrt[m] a)^n$?

Если не вводить рациональные степени отрицательных чисел, то да, так.

artempalkin в сообщении #1602637 писал(а):

так, и что? :) Теперь они имеют вид $\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\geqslant 0}$.

$0^x$ имеет вид $\mathbb{R}_{> 0}}\to\mathbb{R}_{\geqslant 0}$

Я так-то не против нуля в положительной степени. Но у меня как-то повелось, что я максимально упростил определения и просто рисую в голове графики, когда того требует ситуация. Не агитирую, но самому мне так больше нравится.

Со степенями похоже правда, кто во что горазд.

[Red_Herring]

Естественно, в этой задаче правильный ответ зависит от контекста. Но если контекст отсутствует, то я считаю правильным два варианта:
Вещественный: $x^y$ определено при $x> 0$, или $x=0, y>0$, или $x<0, y=p/q$ с нечётным $q$ и целым $p$.

Комплексный: $x^y$ определено (хотя возможно и многозначно) при $x\ne 0$ или $x=0, \ \operatorname{Re} y >0$.

Потому что проще отбросить ненужное, чем найти нужное, но упущенное.

[vicvolf]

Twidobik в сообщении #1602258 писал(а):

Я сейчас буду говорить о школьниках, которые готовятся и сдают вступительные испытания в математические ВУЗы.

Школьная программа рассматривает показательные и логарифмические уравнения с основанием $a>0$. Не рассматривается даже случай $a=1$. При сдаче ЕГЕ и вступительных экзаменов так и надо подходить к решению данных уравнений.

[alisa-lebovski]

То есть уравнение, например,

$$x^{3/2+x}=x^{3/2+x+x^2}$$

решений не имеет?

[Nik_Nikols]

vicvolf в сообщении #1602734 писал(а):

Школьная программа рассматривает показательные и логарифмические уравнения с основанием $a>0$. Не рассматривается даже случай $a=1$. При сдаче ЕГЕ и вступительных экзаменов так и надо подходить к решению данных уравнений.

Для уравнений хотелось бы ссылку на авторитетный источник.

Вот для функций $f$, заданных формулой $f(x)=(g(x))^{h(x)}$, вроде бы, все так, и некоторая логика в этом есть. Школьная наука (и Calculus), в принципе, живет в мире элементарных функций. Чтобы считать такую функцию $f$ элементарной (хоть по-школьному, хоть по Лиувиллю), надо требовать, чтобы $\mathrm{dom}\, f$ не включала нулей $g$.