Функция вида f(x)^g(x) и уравнения

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1602761 писал(а):

То есть уравнение, например,

$$x^{3/2+x}=x^{3/2+x+x^2}$$

решений не имеет?

Да

Nik_Nikols в сообщении #1602773 писал(а):

Для уравнений хотелось бы ссылку на авторитетный источник

Сканави М.И. Сборник задач по матеиатике, Алгебра, 2006 на стр. 206-207 п.2

[Nik_Nikols]

alisa-lebovski в сообщении #1602761 писал(а):

То есть уравнение, например,

$$x^{3/2+x}=x^{3/2+x+x^2}$$

решений не имеет?

Я бы начал с уравнения

$$x^1=x^2.$$

vicvolf, имеет ли оно решения?

vicvolf в сообщении #1602932 писал(а):

Сканави М.И. Сборник задач по матеиатике, Алгебра, 2006 на стр. 206-207 п.2

Спасибо. В этом издании сходу книгу найти не могу. В издании 1992 года (скачивается, напр., здесь https://vk.com/topic-49014451_27849369) единица в основании допускается (стр. 170-171): https://disk.yandex.ru/i/EYd8Mb7g__D0dg

В Вашем издании так же или к 2006 году и единицу уже запретили?

P.S. Даже если и не запретили, неудобные вопросы остаются (см., опять-таки, уравнение $x^1=x^2$). Интересно, какого мнения придерживаются непосредственные авторы/редакторы заданий ЕГЭ?

[vicvolf]

Nik_Nikols в сообщении #1602955 писал(а):

Я бы начал с уравнения

$$x^1=x^2.$$

vicvolf, имеет ли оно решения?

Это алгебраическое уравнение второй степени, имеющее два решения 0 и 1.

Цитата:

В издании 1992 года единица в основании допускается

Это противоречит определению логарифма. Чему, например, будет равен логарифм числа 2 по основанию 1?

[Twidobik]

Nik_Nikols в сообщении #1602955 писал(а):

Интересно, какого мнения придерживаются непосредственные авторы/редакторы заданий ЕГЭ?

Мне это тоже очень интересно. Но, видимо, они стараются избегать таких заданий. У самого известного составителя сборников для подготовки к ЕГЭ - Ященко - такие уравнения отсутствуют. Но, как я уже отметил, практически все составители сборников и пособий единодушны (если приводят решения подобных уравнений) - 0 из основания исключают.

Nik_Nikols в сообщении #1602773 писал(а):

Для уравнений хотелось бы ссылку на авторитетный источник.

Кроме Сканави, еще приводили примеры Софья Колесникова "Показательные и логарифмические уравнения" (2010 год, книга от МФТИ), Б.П. Гейдман "Логарифмические и показательные уравнения и неравенства" (2003 год, для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ), правда не знаю, насколько эти источники подпадают под Ваше понимание авторитетности. Есть ещё, но уже точно менее авторитетные.

vicvolf в сообщении #1602734 писал(а):

Twidobik в сообщении #1602258 писал(а):

Я сейчас буду говорить о школьниках, которые готовятся и сдают вступительные испытания в математические ВУЗы.

Школьная программа рассматривает показательные и логарифмические уравнения с основанием $a>0$. Не рассматривается даже случай $a=1$. При сдаче ЕГЕ и вступительных экзаменов так и надо подходить к решению данных уравнений.

Лично я полностью разделяю эту точку зрения. Решение А.Х Шахмейстера меня очень удивило, поэтому решил разобраться в вопросе подробнее.

Red_Herring в сообщении #1602668 писал(а):

Естественно, в этой задаче правильный ответ зависит от контекста. Но если контекст отсутствует, то я считаю правильным два варианта:
Вещественный: $x^y$ определено при $x> 0$, или $x=0, y>0$, или $x<0, y=p/q$ с нечётным $q$ и целым $p$.

Комплексный: $x^y$ определено (хотя возможно и многозначно) при $x\ne 0$ или $x=0, \ \operatorname{Re} y >0$.

Потому что проще отбросить ненужное, чем найти нужное, но упущенное.

А у Вас иная точка зрения. Похоже, единственно верного ответа на поставленный вопрос всё же не существует.

[Nik_Nikols]

vicvolf в сообщении #1602968 писал(а):

Это алгебраическое уравнение второй степени, имеющее два решения 0 и 1.

Ну, а с другой стороны показательное уравнение вида $(u(x))^{f(x)}=(u(x))^{g(x)}$ при $u(x)=x$, $f(x)=1$ и $g(x)=2$. Как узнать, каким образом нужно относиться к данному уравнению?

vicvolf в сообщении #1602968 писал(а):

Это противоречит определению логарифма. Чему, например, будет равен логарифм числа 2 по основанию 1?

(1) Я не совсем понял, причем здесь логарифм.

(2) Спрашивал я, собственно, только о том, написано ли в Вашем источнике так же, как в книге 1992 г.: "Корнями уравнения $(u(x))^{f(x)}=(u(x))^{g(x)}$ считаются только решения смешанной системы

$$\begin{cases} u(x)>0,\\ u(x)\neq 1,\\ f(x)=g(x) \end{cases}$$

и те значения $x$, для которых $u(x)=1$, если при этих значениях определены $f(x)$ и $g(x)$." Вопрос повторяю.

-- Пт июл 28, 2023 17:45:10 --

Twidobik в сообщении #1602975 писал(а):

Но, видимо, они стараются избегать таких заданий. \...\ Похоже, единственно верного ответа на поставленный вопрос всё же не существует.

А вопрос-то серьезный, оказывается. Избегать - тактика разумная, но до поры до времени. Пока кто-нибудь не разбудит лиха.

Вот, допустим, имеет школьник на ЕГЭ уравнение $x^2=x^3$. Пишет: "решений нет" (или "единственное решение 1"). Получает ноль баллов, а на апелляции (или в суде) размахивает задачником Сканави. И что с ним сделать прикажете?
______

В общем, пришел к выводу, что с педагогической точки зрения упрощения тут от лукавого, а возведение в степень нужно понимать в максимальном смысле, включая отрицательные основания для целых (и только целых, конечно) показателей.

[zykov]

Nik_Nikols в сообщении #1602977 писал(а):

имеет школьник на ЕГЭ уравнение $x^2=x^3$.

Не надо усложнять.
Тут явно целые степени и в рамках школьной программы всё однозначно.

[Nik_Nikols]

zykov в сообщении #1602985 писал(а):

... в рамках школьной программы всё однозначно.

Что значит "...всё однозначно"? Вот Вы как бы себя повели, если бы получили такую апелляцию?

Впрочем, бог с ними, с гипотетическими апелляциями. Это просто непедагогично: в разных задачах использовать разные определения одной и той же операции и, к тому же, требовать, чтобы школьник сам додумывался, где какое определение используется. Это ж математика, а не юриспруденция. Тем паче, что в данном случае корректность больших затрат не требует.
________
Вот при исследовании функций я бы, да, честно сказал бы, что мы для простоты отождествляем функции $f$, заданные равенствами $f(x)=(g(x))^{h(x)}$ и $f(x)=e^{h(x)\ln(g(x))}$. Со всеми вытекающими.
________
Кстати, запрета на единицу в основании и тут не получается. С ним (запретом) надо все-таки как-то прояснить. Есть ли он где-то в школьной науке, или это миф.

[EUgeneUS]

zykov в сообщении #1602640 писал(а):

$a^b=e^{b\ln a}$
а логарифм нуля неопределен

А причем тут это?
Взять логарифм от обоих частей уравнения - это способ его решить, конечно. Но нужно проверять, что никакое решение при этом не потеряли.

$x^y$ определено, в том числе при $x=0$ и $y>0$ (впрочем, уважаемый Red_Herring написал об этом выше). Применяя логарифм к уравнению вида $x^y = w^v$ мы теряем решение $x=w=0; y,v >0$.

Точно также мы теряем решение уравнения $ax=by$, применяя к обоим частям функцию $1/x$:
$\frac{1}{ax} = \frac{1}{by}$
решение $x=y=0$ было, да сплыло.

-- 28.07.2023, 20:08 --

Nik_Nikols в сообщении #1602977 писал(а):

включая отрицательные основания для целых (и только целых, конечно) показателей.

И для рациональных с нечетным знаменателем.

[vicvolf]

Nik_Nikols в сообщении #1602977 писал(а):

vicvolf в сообщении #1602968 писал(а):

Это алгебраическое уравнение второй степени, имеющее два решения 0 и 1.

Ну, а с другой стороны показательное уравнение вида $(u(x))^{f(x)}=(u(x))^{g(x)}$ при $u(x)=x$, $f(x)=1$ и $g(x)=2$. Как узнать, каким образом нужно относиться к данному уравнению?

Этот случай не относится к показательному уравнению. Сканави тоже не относит его к показательному. Это алгебраическое уравнение. У него другие методы решения.

Nik_Nikols в сообщении #1602977 писал(а):

(2) Спрашивал я, собственно, только о том, написано ли в Вашем источнике так же, как в книге 1992 г.: "Корнями уравнения $(u(x))^{f(x)}=(u(x))^{g(x)}$ считаются только решения смешанной системы

$$\begin{cases} u(x)>0,\\ u(x)\neq 1,\\ f(x)=g(x) \end{cases}$$

и те значения $x$, для которых $u(x)=1$, если при этих значениях определены $f(x)$ и $g(x)$." Вопрос повторяю.

В отношении показательного уравнения у Сканави выпуска 2006 года также. Но с последним решением $u(x)=1$ я не согласен. Так как выражение $1^{f(x)}=1^{g(x)}$ тождественно равно 1 и уравнением не является.

[EUgeneUS]

vicvolf в сообщении #1603017 писал(а):

Это алгебраическое уравнение. У него другие методы решения.

Скажите, пожалуйста, имеют ли решения следующие уравнения?

$\sqrt[3]{x} = -1$
$x^{\frac{1}{3}} = -1$
$x^{-\frac{x}{3}} = -1$
$(x^{-x})^{\frac{1}{3}} = -1$

[Nik_Nikols]

vicvolf в сообщении #1603017 писал(а):

Этот случай не относится к показательному уравнению. Сканави тоже не относит его к показательному. Это алгебраическое уравнение. У него другие методы решения.

Стесняюсь спросить, а есть у уравнений какие-то наблюдаемые характеристики, по которым их можно отнести к тому или иному типу? Прописаны ли такие характеристики у Сканави или в каком-то другом авторитетном источнике?

vicvolf в сообщении #1603017 писал(а):

Но с последним решением $u(x)=1$ я не согласен. Так как выражение $1^{f(x)}=1^{g(x)}$ тождественно равно 1 и уравнением не является.

Угу. Возьмем уравнение

$$(x-1)(x-2)=0.$$

Подставим $x=1$. Получим выражение

$$ 0\cdot(x-2)=0. $$

Это тождество. Оно "уравнением не является". Значит, $2$ это не корень уравнения $(x-1)(x-2)=0.$ Так?

-- Пт июл 28, 2023 22:18:39 --

EUgeneUS в сообщении #1603006 писал(а):

И для рациональных с нечетным знаменателем.

Вот это, я бы сказал, лишнее. Незачем на школьника обрушивать коаны типа $(-1)^{1/3}\neq (-1)^{2/6}$. Когда до дифференцирования дело дойдет, ему, конечно, придется корни на степени заменять, но это лучше позиционировать как специальный прием. В науке о решении уравнений всё это выглядит малокорректным и маломотивированным.

[EminentVictorians]

Nik_Nikols в сообщении #1603026 писал(а):

Незачем на школьника обрушивать коаны типа $(-1)^{1/3}\neq (-1)^{2/6}$.

Так они же равны. (или я неправильно понял смысл процитированного текста)

[vicvolf]

Nik_Nikols в сообщении #1603026 писал(а):

Стесняюсь спросить, а есть у уравнений какие-то наблюдаемые характеристики, по которым их можно отнести к тому или иному типу?

Конечно, к алгебраическим уравнениям относятся случаи, когда в нашем уравнении $f(x)$ и $g(x)$ - целые числа.

Цитата:

Угу. Возьмем уравнение

$$(x-1)(x-2)=0.$$

Подставим $x=1$. Получим выражение

$$ 0\cdot(x-2)=0. $$

Это тождество. Оно "уравнением не является". Значит, $2$ это не корень уравнения $(x-1)(x-2)=0.$ Так?

Согласен, мотивировка неудачная. Конечно решение $u(x)=1$ для данного уравнения существует, но в этом случае, строго говоря, оно не является показательным.

[Nik_Nikols]

EminentVictorians в сообщении #1603034 писал(а):

Так они же равны. (или я неправильно понял смысл процитированного текста)

Ну, Вы выражаетесь довольно туманно Что такое в точности "рациональное с нечетным знаменателем"?

Я, впрочем, тоже плохо написал.

Как я понял, Вы хотите иметь такое определение. Если $x\in\mathbb R$, а $s\in \mathbb Q$, то определим $x^s$ как $(\sqrt[q]{x})^p$, где $\dfrac{p}{q}$ есть представление $s$ в виде несократимой дроби. При этом $\sqrt[q]{x}$ должно быть действительным, т.е., если $x<0$, то $q$ нечетно. Иначе $x^s$ не определено. Верно?

Если всё так, то, да, я написал неправильно, и, на самом деле, $(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}=-1$.

Мы люди взрослые, понимаем, что можно и так (все будет корректно). Но зачем? Основные тождества (а с ними и интуиция) уходят. Например, $(-1)^{2/6}=(-1)^{2\cdot 1/6}$ не равно ни $\left((-1)^2\right)^{1/6}$, ни $\left((-1)^{1/6}\right)^{2}$. И между собой эти выражения не равны (ибо одно определено, а другое нет).

При этом никакой дальнейшей математикой Ваше (предполагаемое) определение не мотивировано. Поэтому оно выглядит искусственным и для школьной науки уж точно излишним.

[EminentVictorians]

Nik_Nikols в сообщении #1603043 писал(а):

Как я понял, Вы хотите иметь такое определение. Если $x\in\mathbb R$, а $s\in \mathbb Q$, то определим $x^s$ как $(\sqrt[q]{x})^p$, где $\dfrac{p}{q}$ есть представление $s$ в виде несократимой дроби. При этом $\sqrt[q]{x}$ должно быть действительным, т.е., если $x<0$, то $q$ нечетно. Иначе $x^s$ не определено. Верно?

Да.

Nik_Nikols в сообщении #1603043 писал(а):

Основные тождества (а с ними и интуиция) уходят. Например, $(-1)^{2/6}=(-1)^{2\cdot 1/6}$ не равно ни $\left((-1)^2\right)^{1/6}$, ни $\left((-1)^{1/6}\right)^{2}$. И между собой эти выражения не равны (ибо одно определено, а другое нет).

Я, если что, тоже против отрицательных оснований для нецелых показателей и именно по этим же причинам. Но я это уже и так 10 раз в этой теме говорил. В общем, у меня просто было небольшое возражение по поводу равенства, но сейчас я вижу, что Вы это использовали просто как фигуру речи, поэтому больше претензий нету