Функция вида f(x)^g(x) и уравнения

[Nik_Nikols]

vicvolf в сообщении #1603038 писал(а):

Конечно, к алгебраическим уравнениям относятся случаи, когда в нашем уравнении $f(x)$ и $g(x)$ - целые числа.

Во-первых, пожалуйста, выразитесь яснее. Вы имеете в виду, что $f(x)$ и $g(x)$ - постоянные функции, принимающие целочисленные значения?

Или что-то иное?

Например, как быть, если они таковы ("целые числа") только в некоторой окрестности нуля основания? Напр., уравнение

$$ (x+1)^{2+x+|x|}=(x+1)^{1} $$

имеет корень $-1$?

Во-вторых, у нас обсуждение лежит, так сказать, скорее в юридической, чем в математической плоскости. В Сканави никаких оговорок я не вижу. Какие есть другие авторитетные источники, где прописано, что, если "$f(x)$ и $g(x)$ - целые числа", то уравнение надо решать так-то и так-то, а если нет, то по-другому?

vicvolf в сообщении #1603038 писал(а):

Согласен, мотивировка неудачная. Конечно решение $u(x)=1$ для данного уравнения существует, но в этом случае, строго говоря, оно не является показательным.

В каком, простите, случае? Уравнение это некая данность. Некий конкретный объект ментального математического мира. Оно не может быть то "показательным", то "не-показательным" в зависимости от того, на какой корень смотрит школьник, который его (уравнение) решает.

Да и не суть, как оно называется: "показательное" или нет. Рассматриваемая задача состоит в том, чтобы его решить, а не классифицировать.

-- Сб июл 29, 2023 00:37:32 --

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1603044 писал(а):

... вижу, что Вы это использовали просто как фигуру речи, поэтому больше претензий нету

Спасибо за деликатность, но нет, не как фигуру речи, а просто необдуманно.

[EminentVictorians]

Nik_Nikols в сообщении #1603045 писал(а):

Уравнение это некая данность. Некий конкретный объект ментального математического мира. Оно не может быть то "показательным", то "не-показательным" в зависимости от того, на какой корень смотрит школьник, который его (уравнение) решает.

Хм.. А вот с этим я уже не соглашусь. Перед глазами у нас - просто строчка символов. Уравнением ее делает интерпретация. Я, например, могу придать строчке

$$x^2 = 1$$

кучу разных интерпретаций. Может быть двойка над иксом - это возведение в квадрат, но не над $\mathbb R$, а над $\mathbb Z \slash 2\mathbb Z$. В таком случае $(-1) \in \mathbb Z$ не является корнем этого уравнения. а может быть я вообще решаю уравнение над категориями и $x^2$ - это у меня категория функторов из недискретной категории 2, единица - это у меня какая-нибудь категория - терминальный объект, а "равно" - это изоморфизм .

Короче говоря, одна и та же строчка может быть показательным или не-показательным уравнением, в зависимости от ее интерпретации.

[Nik_Nikols]

EminentVictorians в сообщении #1603046 писал(а):

Короче говоря, одна и та же строчка может быть показательным или не-показательным уравнением, в зависимости от ее интерпретации.

Точнее, от контекста. Верно. Но не от корня, как нам пытается разъяснить vicvolf.

[vicvolf]

Twidobik в сообщении #1602258 писал(а):

Я сейчас буду говорить о школьниках, которые готовятся и сдают вступительные испытания в математические ВУЗы.

Поэтому школьные учебники и учебные пособия для поступающих в ВУЗЫ, типа Сканави, являются основополагающими.
У Сканави сказано, что данное уравнение рассматривается только для случая $u(x)>0$, поэтому алгебраические уравнения, в которых допустимы $u(x) \leq 0$ не рассматриваются. Кроме того, в заголовке темы там четко сказано "Показательные уравнения".
Единственно, с чем я не согласен со Сканави, это добавление решения $u(x)=1$, при котором уравнение не является показательным. Лучше было бы, чтобы поступающие в ВУЗ при подготовке экзаменационной работы по математике исключили данный случай из решения, показав свое знание определения показательной функции https://www.yaklass.ru/p/algebra/11-kla ... 9897741667.

[alisa-lebovski]

Получается, у нас и уравнение

$$(x+1)^{x+2}=(x+1)^{x+3}$$

решений не имеет? И если школьник сократит обе части на $(x+1)^{x+2}$ и решит, то будет неправ?

[Nik_Nikols]

Уважаемые коллеги, мне кажется, ТС поднял важную тему, хотя ей место, вероятно, в вопросах преподавания.

vicvolf в сообщении #1603083 писал(а):

... учебные пособия для поступающих в ВУЗЫ, типа Сканави, являются основополагающими.
У Сканави сказано, что данное уравнение рассматривается только для случая $u(x)>0$, поэтому алгебраические уравнения, в которых допустимы $u(x) \leq 0$ не рассматриваются. Кроме того, в заголовке темы там четко сказано "Показательные уравнения".

Видите ли, большая часть участников обсуждения понимает, что "по гамбургскому счету" можно выстроить систему понятий и так, и эдак, причем во всех случаях добиться приемлемого уровня корректности. Вопрос в том, как это сделать понятнее (для школьников), аккуратнее и изящнее. Вы совершенно правы, что окончательный ответ на вопрос о том, что правильно, а что неправильно должен опираться на, так сказать, основной закон ("основополагающие учебные пособия"). Но ведь никто не мешает нам (математической общественности) основной закон обновлять и улучшать.

По существу, Ваш поход (если его привести в человеческий вид) со стороны выглядит унаследованным из каких-нибудь наук типа "теории принятия решений". Вот есть уравнение. Будем рассматривать его так-то, применим такие-то методы, получим такие-то решения. Теперь будем рассматривать его по-другому, применим другие методы, получим другие решения. Т.е. решения зависят от того, как мы уравнение решаем.

Я однозначно считаю, что такая философия в школьном курсе математики вредна.

Возможно, Вы думаете, что Ваш подход заключается в чем-то ином, и этого "волюнтаризма" из теории принятия решений можно избежать. Я уверен, что нет (в общем случае). Вы непременно будете попадать в ловушки, о которых Вам писал я и alisa-lebovski.

В общем, я пришел к выводу, что наименее затратным и наиболее стройным вариантом школьного определения операции возведения в степень является "максимальный": $a^b$ определено, если $a>0$ или $a=0$ и $b>0$, или, наконец, если $a<0$ и $b$ целое.
_______________

vicvolf в сообщении #1603083 писал(а):

Единственно, с чем я не согласен со Сканави, это добавление решения $u(x)=1$, при котором уравнение не является показательным.

Извините, тут я Вас категорически не понимаю. Какой смысл Вы вкладываете в знакосочетание "уравнение не является показательным (или хоть каким-то другим) при добавлении такого-то решения"? Я не встречал в математической литературе таких оборотов. Если Вы оперируете этим аргументом, расскажите, что он означает и как им пользоваться. Какие решения нужно добавлять (или, к примеру, убавлять), чтобы уравнение можно было отнести к тому или иному типу (показательному, логарифмическому, алгебраическому, тригонометрическому и т.п.)?

vicvolf в сообщении #1603083 писал(а):

Лучше было бы, чтобы поступающие в ВУЗ при подготовке экзаменационной работы по математике исключили данный случай из решения, показав свое знание определения показательной функции https://www.yaklass.ru/p/algebra/11-kla ... 9897741667.

Я бы порекомендовал Вам аккуратно прописать логическую цепочку, которая связывает определение показательной функции и уравнения вида $(u(x))^{f(x)}=(u(x))^{g(x)}$. Из ссылки можно заключить только, что функция $y=1^x$ не называется (в школе) показательной (а не то, что единицу нельзя возводить в степени).

Если Вы заворожены совпадением терминов, то, заметьте, что показательным у Сканави названо уравнение $a^{f(x)}=b^{g(x)}$ (и да, в этом случае прямо и прописано, что $a, b$ не равны единице), а уравнение $(u(x))^{f(x)}=(u(x))^{g(x)}$, строго говоря, оставлено без названия.

[EminentVictorians]

alisa-lebovski в сообщении #1603090 писал(а):

И если школьник сократит обе части на $(x+1)^{x+2}$ и решит, то будет неправ?

Ну при сокращении обеих частей на выражение с переменной он в любом случае будет неправ

[alisa-lebovski]

EminentVictorians в сообщении #1603097 писал(а):

Ну при сокращении обеих частей на выражение с переменной он в любом случае будет неправ

Если чисто сократит, да, но если он потом произведет проверку полученного решения $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение, и убедится, что оно годится?

[EminentVictorians]

alisa-lebovski в сообщении #1603098 писал(а):

но если он потом произведет проверку полученного решения $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение, и убедится, что оно годится?

Если так, то тогда ладно. Но по-моему, лучше просто перенести все в одну часть и вынести общий множитель - так как-то более прозрачно получается.

[Nik_Nikols]

alisa-lebovski в сообщении #1603098 писал(а):

Если чисто сократит, да, но если он потом произведет проверку полученного решения $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение, и убедится, что оно годится?

Ну так подставить и убедиться можно и без преобразований Но в ответ Вы, вероятно, опять получите мантру о том, что, если обозвать это уравнение показательным, то основание должно быть положительным.

[vicvolf]

Twidobik в сообщении #1602258 писал(а):

какое решение будет засчитано как верное на вступительном испытании?

Вот Вы преподавателю, который будет проверять работу и обьясните:

Nik_Nikols в сообщении #1603092 писал(а):

Видите ли, большая часть участников обсуждения понимает, что "по гамбургскому счету" можно выстроить систему понятий и так, и эдак, причем во всех случаях добиться приемлемого уровня корректности. Вопрос в том, как это сделать понятнее (для школьников), аккуратнее и изящнее. Вы совершенно правы, что окончательный ответ на вопрос о том, что правильно, а что неправильно должен опираться на, так сказать, основной закон ("основополагающие учебные пособия"). Но ведь никто не мешает нам (математической общественности) основной закон обновлять и улучшать.

Пожалуйста, пишите пособия для поступающих в ВУЗЫ и если их будут рекомендовать школьникам, поступающим в ВУЗ, то будем руководствоваться Вашими пособиями. Но пока для поступающих в ВУЗ рекомендуют пособие Сканави и школьные учебники по математике. Поэтому при поступлении в ВУЗ надо руководствоваться ими.

[Nik_Nikols]

vicvolf в сообщении #1603116 писал(а):

... для поступающих в ВУЗ рекомендуют пособие Сканави и школьные учебники по математике. Поэтому при поступлении в ВУЗ надо руководствоваться ими.

Тогда единичку в основании назад верните:-)
__________

vicvolf в сообщении #1603116 писал(а):

Пожалуйста, пишите пособия для поступающих в ВУЗЫ и если их будут рекомендовать школьникам, поступающим в ВУЗ, то будем руководствоваться Вашими пособиями.

Увы, все-таки нет. Не совсем моя специализация. Но, если встречу коллег, которые к этому причастны, непременно подниму вопрос.

Вообще, мое понимание таково. Условие $u(x)>0$ введено для того, чтобы уравнение $(u(x))^{f(x)}=(u(x))^{g(x)}$ сводилось к показательному уравнению $c^{f(x)\log_c(u(x))}=c^{g(x)\log_c(u(x))}$ автоматически.

С одной стороны, в этом есть некоторые вычислительные удобства, да. К тому же, это находится в некоторой симфонии с идеологией "все функции элементарные".

Но с другой стороны, это наносит удар по общей математической культуре. Во-первых, это вредит пониманию того, что такое уравнение вообще; во-вторых, на ровном месте создает проблему с классификацией уравнений; в-третьих, привносит в классическую математику философию "принятия решений" (о чем я писал выше).

Так что, взвесив все за и против, я бы это ограничение из основополагающих документов убрал.

Что до условия $u(x)\neq 1$, то я вижу в этом чистое недоразумение. Оно вызвано, действительно, тем, что школьная математика не хочет видеть тождественную единицу как одну из экспонент. Ну, не хочет и не хочет. Наверное, это навеяно какими-нибудь традициями. Для сравнения (сам недавно узнал): параллелограмм нельзя рассматривать как частный случай трапеции, и это прописано в Оксфордской мат. энциклопедии и иных авторитетных источниках. В трапеции, оказывается, две стороны должны быть параллельны, а две другие обязательно нет. Ну, это к слову. По существу: да, есть соглашение о том, какие функции можно называть показательными, а какие нет. При этом, с уравнениями $(u(x))^{f(x)}=(u(x))^{g(x)}$
указанное соглашение не связано никак. Т.е., $u(x)\neq 1$ это миф. Он разрушен

[vicvolf]

Nik_Nikols в сообщении #1603118 писал(а):

vicvolf в сообщении #1603116 писал(а):

Пожалуйста, пишите пособия для поступающих в ВУЗЫ и если их будут рекомендовать школьникам, поступающим в ВУЗ, то будем руководствоваться Вашими пособиями. Но пока для поступающих в ВУЗ рекомендуют пособие Сканави и школьные учебники по математике. Поэтому при поступлении в ВУЗ надо руководствоваться ими.

Тогда единичку в основании назад верните:-)

Если школьник сможет ее обосновать на экзамене, то пусть возвращает)

[Red_Herring]

Nik_Nikols в сообщении #1603106 писал(а):

Но в ответ Вы, вероятно, опять получите мантру о том, что, если обозвать это уравнение показательным, то основание должно быть положительным.

Т.е. получается, что правильные ответы на ЕГЭ

• Решить уравнение ...
• Решить показательное уравнение ...
• Решить алгебраическое уравнение ...

могут быть разными? А авторы пособий и учебников об этом пишут очень чётко?

[Nik_Nikols]

Red_Herring в сообщении #1603124 писал(а):

А авторы пособий и учебников об этом пишут очень чётко?

Вероятно, всё-таки, стесняются