Формулы для расчета параметров "сфер из шестиугольников"

[werom04]

Здравствуйте, подскажите пожалуйста встречали ли вы математическое описание и формулы расчета параметров усеченного икосаэдра и его модификациям (условно "сферы из шестиугольников", в программе 3D-моделирования блендер эти тела называют икосфера). Можно получать разные многогранники при задании степени разбиения



Интересуют, например, формулы для расчеты количества шестиугольников на поверхности сферы при заданном радиусе сферы и значении стороны шестиугольника.

В книгах
М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.,
1963 Энциклопедия элементарной математики, Том 4,

находил только общее описание.

В англоязычной википедии приведено несколько выражений, но непонятно из какой литературы они взяты
https://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_icosahedron

[Padawan]

Я правильно понимаю, что на двух многогранниках справа шестиугольники не являются правильными?

[Mihr]

werom04 в сообщении #1595035 писал(а):

Интересуют, например, формулы для расчеты количества шестиугольников

На втором и третьем рисунках я вижу помимо шестиугольников также пятиугольники. Полагаю, так и должно быть. Загляните, например, в эту тему: Теория графов. Задача про футбольный мяч

-- 25.05.2023, 08:23 --

На первом рисунке, конечно, тоже есть пятиугольные грани. Только здесь они видны сразу, а на втором и третьем рисунках - надо немного присмотреться.

[werom04]

Невозможно построить сферу из одних только шестиугольников, будут присутствовать еще всегда 12 пятиугольников.

Алгоритм построения таких многогранников состоит из последовательных операций усечения и разбиения


Интересует литература. Может кто встречал, где приведена какая-нибудь аналитика этих фигур, формулы расчета параметров

[Sender]

Похожие темы много раз поднимались(например, https://dxdy.ru/topic62800.html). Если пройтись по ссылкам, может, удастся что-то отыскать (хотя при беглом просмотре я не нашёл освещения интересующих ТС вопросов).

-- Пт май 26, 2023 08:59:00 --

Вообще, удалось найти, что рассматриваемые многогранники известны как многогранники Голдберга.
https://en.wikipedia.org/wiki/Goldberg_polyhedron

-- Пт май 26, 2023 09:11:17 --

werom04 в сообщении #1595381 писал(а):

Алгоритм построения таких многогранников состоит из последовательных операций усечения и разбиения

Перед каждым следующим усечением удобно переходить к двойственному многограннику с треугольными гранями, соответствующими вершинам исходного.

[Sender]

При усечении количества вершин, рёбер и граней изменяются понятно как: $F_{i+1}=V_i+F_i$, $V_{i+1}=2E_i$. При переходе к двойственному многограннику вершины и грани меняются местами, отсюда можно при желании получить количество шестиугольников при таком способе генерации. Зная радиус описанной сферы и количество граней, можно оценить сверху длину ребра, например, посчитав объём многогранника как сумму объёмов пирамид.

[Geen]

werom04 в сообщении #1595035 писал(а):

значении стороны шестиугольника.

А почему Вы решили, что она одинакова у всех шестиугольников?

[Gagarin1968]

Geen в сообщении #1595397 писал(а):

А почему Вы решили, что она одинакова у всех шестиугольников?

Geen
Я думаю, что ТС так не решил, его просто интересует возможность такого построения (или расчёта) при фиксированной величине стороны шестиугольника.