2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Формулы для расчета параметров "сфер из шестиугольников"
Сообщение24.05.2023, 05:37 


24/05/23
2
Здравствуйте, подскажите пожалуйста встречали ли вы математическое описание и формулы расчета параметров усеченного икосаэдра и его модификациям (условно "сферы из шестиугольников", в программе 3D-моделирования блендер эти тела называют икосфера). Можно получать разные многогранники при задании степени разбиения

Изображение

Интересуют, например, формулы для расчеты количества шестиугольников на поверхности сферы при заданном радиусе сферы и значении стороны шестиугольника.

В книгах
М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.,
1963 Энциклопедия элементарной математики, Том 4,

находил только общее описание.

В англоязычной википедии приведено несколько выражений, но непонятно из какой литературы они взяты
https://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_icosahedron

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы для расчета параметров "сфер из шестиугольников"
Сообщение25.05.2023, 07:01 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Я правильно понимаю, что на двух многогранниках справа шестиугольники не являются правильными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы для расчета параметров "сфер из шестиугольников"
Сообщение25.05.2023, 08:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
werom04 в сообщении #1595035 писал(а):
Интересуют, например, формулы для расчеты количества шестиугольников

На втором и третьем рисунках я вижу помимо шестиугольников также пятиугольники. Полагаю, так и должно быть. Загляните, например, в эту тему: Теория графов. Задача про футбольный мяч

-- 25.05.2023, 08:23 --

На первом рисунке, конечно, тоже есть пятиугольные грани. Только здесь они видны сразу, а на втором и третьем рисунках - надо немного присмотреться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы для расчета параметров "сфер из шестиугольников"
Сообщение26.05.2023, 05:35 


24/05/23
2
Невозможно построить сферу из одних только шестиугольников, будут присутствовать еще всегда 12 пятиугольников.

Алгоритм построения таких многогранников состоит из последовательных операций усечения и разбиения
Изображение

Интересует литература. Может кто встречал, где приведена какая-нибудь аналитика этих фигур, формулы расчета параметров

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы для расчета параметров "сфер из шестиугольников"
Сообщение26.05.2023, 08:31 


14/01/11
2916
Похожие темы много раз поднимались(например, https://dxdy.ru/topic62800.html). Если пройтись по ссылкам, может, удастся что-то отыскать (хотя при беглом просмотре я не нашёл освещения интересующих ТС вопросов).

-- Пт май 26, 2023 08:59:00 --

Вообще, удалось найти, что рассматриваемые многогранники известны как многогранники Голдберга.
https://en.wikipedia.org/wiki/Goldberg_polyhedron

-- Пт май 26, 2023 09:11:17 --

werom04 в сообщении #1595381 писал(а):
Алгоритм построения таких многогранников состоит из последовательных операций усечения и разбиения

Перед каждым следующим усечением удобно переходить к двойственному многограннику с треугольными гранями, соответствующими вершинам исходного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы для расчета параметров "сфер из шестиугольников"
Сообщение26.05.2023, 09:40 


14/01/11
2916
При усечении количества вершин, рёбер и граней изменяются понятно как: $F_{i+1}=V_i+F_i$, $V_{i+1}=2E_i$. При переходе к двойственному многограннику вершины и грани меняются местами, отсюда можно при желании получить количество шестиугольников при таком способе генерации. Зная радиус описанной сферы и количество граней, можно оценить сверху длину ребра, например, посчитав объём многогранника как сумму объёмов пирамид.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы для расчета параметров "сфер из шестиугольников"
Сообщение26.05.2023, 10:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
werom04 в сообщении #1595035 писал(а):
значении стороны шестиугольника.

А почему Вы решили, что она одинакова у всех шестиугольников?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы для расчета параметров "сфер из шестиугольников"
Сообщение26.05.2023, 11:25 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
Geen в сообщении #1595397 писал(а):
А почему Вы решили, что она одинакова у всех шестиугольников?
Geen
Я думаю, что ТС так не решил, его просто интересует возможность такого построения (или расчёта) при фиксированной величине стороны шестиугольника.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group