Теория графов. Задача про футбольный мяч.

[Alex Fox]

Здравствуйте, подскажите пожалуйста идею того, как можно решить следующую задачу, используя лишь комбинаторику и теорию графов.
Футбольный мяч сделан из пятиугольных и шестиугольных кусков кожи, так, что в каждой "вершине" сходятся три куска. Сколько пятиугольных кусков использовано для изготовления мяча?
Я так понял, что здесь нужно, исходя из условия, что в каждой вершине сходятся три куска, вычислить количество ребер и вершин, а затем, при помощи формулы Эйлера, посчитать число граней.

[Mihr]

Очень красивая задача. Формула Эйлера, действительно, понадобится, но потребуются и другие идеи. Попробуйте ещё выразить число рёбер графа двумя возможными способами - через число вершин и через число граней того и другого типа (пяти- и шестиугольных).

[Alex Fox]

Не совсем понимаю, как из данного условия получить информацию о количестве вершин/рёбер.

[Mihr]

Ну, подумайте:
1) Из каждой вершины графа выходят 3 ребра. Если всего $p$ вершин, сколько получается рёбер? (Учтите только, что каждое ребро будет посчитано два раза - как выходящее из двух соседних вершин).
2) Пусть имеется $r$ граней, из них $r_1$ пятиугольников и $r_2$ шестиугольников. Сколько тогда должно быть рёбер? (Здесь аналогичная оговорка).

[Alex Fox]

Спасибо, теперь стало ясно, затруднение вызывало именно то, что вы указали в оговорках.