Разбиение сферы на многоугольники

[Paleface]

Имеется сфера, которую необходимо разбить на одинаковые* многоугольники таким образом, чтобы можно было, выбирая произвольную точку на сфере, попадать в своего рода центр одного из таких многоугольников (под «центром» тут можно понимать любую точку на многоугольнике, важно лишь, чтобы она каждый раз была одна и та же). Практический смысл в том, что это своего рода нормализация координат точки на поверхности Земли: хочется считать две точки одинаковыми, если они достаточно близко друг к другу (входят в один и тот же многоугольник).

* Многоугольники не обязаны быть одинаковыми, то есть вполне бы устроило решение, когда сфера разбивается на пента- и гексагоны как футбольный мяч. Важно лишь, чтобы размер многоугольников был регулируемым, т.е. в реальности функция выше должна ещё будет иметь параметр, отвечающий за размер многоугольника.

Вопрос в том, как должна выглядеть функция

$$ f: (\lambda_{lon}, \varphi_{lat}) \rightarrow (\lambda', \varphi') $$

, где $ \lambda' $ и $ \varphi' $ — долгота и широта «центра» многоуольника, в который попадает «ненормализованная» точка.

Буду рад услышать какие-то идеи.

P.S. Вот красивая картинка в тему:

[_Ivana]

Paleface в сообщении #626021 писал(а):

Буду рад услышать какие-то идеи.

Чем не устраивает сетка широт/долгот через равные интервалы? Полюса - целым кругом без секторов.

[Paleface]

_Ivana в сообщении #626038 писал(а):

Чем не устраивает сетка широт/долгот через равные интервалы? Полюса - целым кругом без секторов.

Равные интервалы долготы не будут равными расстояниями на разных широтах, пожалуй этим и не устраивает. Хотя можно сделать неравномерную сетку в зависимости от широты, да.

[Mysterious Light]

Странно, что ответ до сих пор не дан ЗУ. Тогда попробую я написать своё видение этой задачи. Но оно будет физическим, потому что я не знаю, как это формализовать.

Дана сфера. Разместим на ней $N$ зарядов одного знака и дадим им свободно (без внешнего воздействия) двигаться с трением. Положения равновесия в установившейся системе будут отмечать $N$ точек, в некотором смысле равномерно распределённых по сфере. Обозначим это множество буквой $F$. $F$ не однозначно.

$F$ обладает (по интуиции) таким свойством: если $x\in F$ после некоторого поворота сферы переходит в $x'\in F$, то $F$ переходит в себя. Похожим свойством обладают красталлы относительно определённых трансляций.

По аналогии с кристаллами на сфере можно ввести ячейку Вигнера около точки $x\in F$:
1. соединяем дугами эту точку со всеми соседями
2. проводим серединные перпендикуляры-дуги
3. Замкнутый участок сферы, огранниченный перпендикулярами и содержащий точку $x$, и называется ячейкой Вигнера (для сферы)

Собственно, множество всех ячеек образует разбиение сферы на абсолютно одинаковые фигуры с точностью до поворота.

Только я не знаю, как это построение формализовать и все высказанные утверждения доказать.

Пример:
$N=2$: две диаметрально противоположные точки бьют сферу на две полусферы, они в полюсах полусфер.
$N=6$: три диаметрально противоположные пары, которые между собой перпендикулярны (как три перп. оси пересекают сферу с центром в нуле). Фигура разбиения похожа на искаженный квадрат.

[Nilenbert]

Mysterious Light в сообщении #627032 писал(а):

Странно, что ответ до сих пор не дан ЗУ. Тогда попробую я написать своё видение этой задачи. Но оно будет физическим, потому что я не знаю, как это формализовать.

Дана сфера. Разместим на ней $N$ зарядов одного знака и дадим им свободно (без внешнего воздействия) двигаться с трением. Положения равновесия в установившейся системе будут отмечать $N$ точек, в некотором смысле равномерно распределённых по сфере. Обозначим это множество буквой $F$. $F$ не однозначно.

Это так называемая проблема Томсона - Thomson problem. Нахождение её точных решений - довольно сложная задача, сейчас точные решения известны для $n=1,2,3,4,5,6,12$.

Цитата:

По аналогии с кристаллами на сфере можно ввести ячейку Вигнера около точки $x\in F$:
1. соединяем дугами эту точку со всеми соседями
2. проводим серединные перпендикуляры-дуги
3. Замкнутый участок сферы, огранниченный перпендикулярами и содержащий точку $x$, и называется ячейкой Вигнера (для сферы)

В математике это называется область Вороного.

Цитата:

Собственно, множество всех ячеек образует разбиение сферы на абсолютно одинаковые фигуры с точностью до поворота.

Только я не знаю, как это построение формализовать и все высказанные утверждения доказать.

В общем случае это наверное неверно, так как в идеальной конструкции для 5 точек ячейки получатся разные.

[Solist]

Ё-моё... наконец-то хоть что-то вразумительное нашёл по этой теме.

Сам занимаюсь разделением сферы на "равные" участки..
Ничего хорошего, боюсь, не получится,
На данный момент удалось добиться только того, что
каркасом должен быть икосаэдр (вписанный, описанный или "секущий")
а вот разделить натянуьые на его грани сферические треугольники
модно только на "Примерно равные" части.

Проблема в том, что у сферического треугольника расстояния
между сколь угодно близкими точками увеличиваются от сторон к центру.

Отдельный респект за скриншот из Civ5 - сам занялся этим вопросом, после того,
как Сид Мейер предложил делить плоско-цилиндрическую карту на гексы.


Если есть какие мысли по выходу из тупика - рад буду услышать.
Ну и поделиться своим, пока что, в целом, негативным опытом.

;)

[svv]

Solist в сообщении #825697 писал(а):

На данный момент удалось добиться только того, что каркасом должен быть икосаэдр (вписанный, описанный или "секущий") а вот разделить натянуьые на его грани сферические треугольники модно только на "Примерно равные" части.

Я делаю из стержней икосаэдр, помещаю в его центр источник света. Всё это помещаю внутрь сферы с тем же центром (и произвольным радиусом). И что, тени от стержней-ребер не будут делить сферу на 20 изумительно равных и правильных сферических треугольников?

[Solist]

Будут!!!

НО если попробовать разделить каждый из этих 20-ти треугольников
на РАВНЫЕ части, скорее всего, ничего не получится...

вот ссылка на ГЕОкупол

у Фуллера - вот такое решение, маленькие треугольнички - РАЗНЫЕ

http://geodesic.com.ua/geodesic-kupol/types.html

[svv]

А если каждый разделить на три равных части (проведя дуги из центра треугольника ко всем вершинам)? А каждую часть потом еще на 2 равных части?

[Sender]

Плоский равносторонний треугольник можно очевидным образом разделить на 4 одинаковых равносторонних треугольника. Можно попробовать аналогичное деление в сферическом случае, но тут, как мне кажется, получившиеся треугольники уже не будут равносторонними.

[ИСН]

Ну и что? Приближение неплохое; возможно, топикстартера оно устроит.
Можно перейти к двойственной фигуре, которая вся из 5- и 6-угольников. "Фуллерен".

[Yu_K]

С завидным постоянством повторяется тема
http://dxdy.ru/topic32829.html
http://dxdy.ru/topic20466.html
- по спирали идет траектория системы.

Такую технологию вроде еще тут не предлагали - начинается от куба и далее... http://rosettacode.org/wiki/Catmull%E2%80%93Clark_subdivision_surface

[Sender]

Возникла ещё такая мысль: если на некотором этапе у нас есть вписанный в сферу многогранник, мы можем построить другую сферу с тем же центром, но меньшего радиуса. Точки её пересечения с рёбрами нашего многогранника станут вершинами нового многогранника. Иными словами, новый многогранник будет получен усечением старого с помощью этой меньшей сферы, радиус которой следует подобрать таким образом, чтобы максимальная и минимальная площади сферических проекций граней нового многогранника (очевидно, он будет вписан в эту меньшую сферу) отличались возможно меньше.

[B@R5uk]

Sender в сообщении #825819 писал(а):

Возникла ещё такая мысль...

Sender, есть такое понятие, как двойственный многогранник. Для ваших целей, возможно, потребуются промежуточные фигуры.

Куб
Октаэдр
Ромбододекаэдр
Кубооктаэдр

Ещё тут много красивых картинок.

[Solist]

Sender в сообщении #825819 писал(а):

Возникла ещё такая мысль: если на некотором этапе у нас есть вписанный в сферу многогранник, мы можем построить другую сферу с тем же центром, но меньшего радиуса. Точки её пересечения с рёбрами нашего многогранника станут вершинами нового многогранника. Иными словами, новый многогранник будет получен усечением старого с помощью этой меньшей сферы, радиус которой следует подобрать таким образом, чтобы максимальная и минимальная площади сферических проекций граней нового многогранника (очевидно, он будет вписан в эту меньшую сферу) отличались возможно меньше.

Сендер, спасибо, конечно...НО в моём случае (икосаэдра), если я вас правильно понял я получу усечённый икосаэдр = фуллерен С60, или "футбольный мяч"... это увеличит число точек с 12 до 60 ..ок .. ну а дальше?
Ежли я повторю итерацию со сферой, то на следующем ходу у меня будет треугольная грань, образованная сечением тройного стыка двух гексов и пента...

изначальная же Идея в том, чтобы плоские участки были максимально приближенны к кругам, а это гексы или в крайнем случае пенты, но никак не треугольники

мне понравилось предположение с функцией от сферических координат, которая бы задавала центры участков, 12 из которых пенты - вершины икосаэдра...вот найти бы эту функцию...

-- 13.02.2014, 18:46 --

svv в сообщении #825757 писал(а):

А если каждый разделить на три равных части (проведя дуги из центра треугольника ко всем вершинам)? А каждую часть потом еще на 2 равных части?

нужны равносторонние треугольники, или максимально приближенные к ним... но они

либо будут неравными, либо в "паркете" будет не закрываемый зазор

сфера имеет кривизну отличную от нуля, а цилиндр - нулевую...
поэтому цилиндр можно разделить на абсолютно равные гексы, а сферу - нет

только приблизительно