Электротехника. Длинные линии

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Уважаемые, помогите решить задачу. Волновое сопротивление линии без потерь $z_B =500$ Ом. Определить амплитуду тока на расстоянии $1$ м от разомкнутого конца линии при частоте $f=10^8 $ Гц, если действующее значение напряжения на разомкнутом конце $U=10$ В.

В режиме ХХ распределение тока вдоль линии описывается: $\dot{I}=j \frac{\dot{U}_2}{z_B}\sin \frac{2 \pi}{\lambda} x'$ , где: $I, U_2, \lambda, x'$ - действующие ток и выходное напряжение, длина волны в линии и расстояние от конца, соответственно.

Задание в одну формулу, но не дано $\lambda$. Её забыли дать или из данных в условии как то можно найти? Если правильно понимаю, $\lambda = \frac{v_p}{f}$ , где: $v_p$ - фазовая скорость, которая не дана.

[Ascold]

так скорость света же будет фазовой скоростью

[Stensen]

Ascold в сообщении #1589027 писал(а):

так скорость света же будет фазовой скоростью

Если правильно понимаю, можно показать, что в линии без потерь $\beta = \omega \sqrt{LC}$. Также из теории поля известно, что в линии: $LC= \frac{\varepsilon \mu}{c^2}$, где: $L,C$ - погонные индуктивность и емкость и $\varepsilon,\mu,c$ - диэлектрическая, магнитная проницаемость и скорость света. Тогда $\beta = \omega \sqrt{\frac{\varepsilon\mu}{c^2}} ,\, \, v_p= \frac{\omega}{\beta}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$, но в задаче ничего не сказано про $\varepsilon,\mu$ , это не вакуум, в проводах они другие, или я не прав?

[svv]

Stensen в сообщении #1589034 писал(а):

в проводах они другие

Это $\varepsilon$ и $\mu$ не проводов, а среды, окружающей проводники (для линии Лехера) или расположенной между ними (для коаксиальной линии). Но если параметры среды не даны, считайте, что это вакуум.

[LLeonid3]

Stensen конечно по умолчанию принимать окружающую среду -- вакуум. Но в задаче не указан ещё один важный параметр: выходное сопротивление генератора. Если по умолчанию принять его согласованным с линией, т. е. $500$ Ом, то можно использовать приведённые вами формулы, а если выходное сопротивление генератора отлично от сопротивления линии, то отражённая волна будет отражаться не только от разомкнутого конца линии, но и от начала, а при линии без потерь это приведёт к нарастанию энергии заключённой в линии и задача не будет иметь установившегося решения.
Правда в условиях дано установившееся значение напряжения на разомкнутом конце линии, значит есть согласование генератора с линией и ваши формулы применимы.

[Stensen]

Спасибо, прояснилось

[EUgeneUS]

LLeonid3 в сообщении #1589085 писал(а):

если выходное сопротивление генератора отлично от сопротивления линии, то отражённая волна будет отражаться не только от разомкнутого конца линии, но и от начала, а при линии без потерь это приведёт к нарастанию энергии заключённой в линии и задача не будет иметь установившегося решения.

Нет.
Установившееся решение будет стоячей волной ровно с такой же интенсивностью, что и при согласованном генераторе.

-- 10.04.2023, 11:44 --

И ещё.

LLeonid3 в сообщении #1589085 писал(а):

Если по умолчанию принять его согласованным с линией, т. е. $500$ Ом,

Это грубая ошибка.
Входное споротивление размкнутой линии не равно её волновому сопротивлению. И может изменяться от нуля до бесконечности, в зависимости от длины.

[LLeonid3]

EUgeneUS,

Цитата:

Установившееся решение будет стоячей волной ровно с такой же интенсивностью, что и при согласованном генераторе.

Другими словами вы утверждаете, что выходной каскад генератора поглощает всю энергию обратной волны независимо от его выходного сопротивления и обратная волна не отражается от источника?

[EUgeneUS]

LLeonid3 в сообщении #1589100 писал(а):

Другими словами вы утверждаете, что выходной каскад генератора поглощает всю энергию обратной волны независимо от его выходного сопротивления и обратная волна не отражается от источника?

Нет, это какие-то совсем другие слова, и я такого не утверждаю.
А утверждаю следующее.
В случае разомкнутой длинной линии в установившемся режиме:
1. В линии будет стоячая волна некой постоянной интесивности. Что тоже самое: установившийся режим достигается.
2. В этом режиме вся мощность переданная генератором в линию в генератор же и возвращается.
3. Интенсивность стоячей волны в установившемся режиме не зависит от соотношения импеданса генератора и волнового сопротивления линии.

-- 10.04.2023, 14:40 --

поправка к пункту 3.

3.1. Мощность падающей волны со стороны генератора, мощность обратной волны со стороны генератора, мощность падающей волны в линии, мощность обратной волны в линии - все эти четыре величины будут равны.
3.2. Если мощность генератора фиксирована (то есть если фиксирована мощность падающей волны со стороны генератора), то мощность падающей и обратных волн в линии будут равны ей, и не будут зависеть от соотношения импеданса генератора и волнового сопротивления линии.

[sergey zhukov]

LLeonid3 в сообщении #1589085 писал(а):

если выходное сопротивление генератора отлично от сопротивления линии, то отражённая волна будет отражаться не только от разомкнутого конца линии, но и от начала, а при линии без потерь это приведёт к нарастанию энергии заключённой в линии и задача не будет иметь установившегося решения

Почему же не будет? Скажем, механическая колебательная система под действием вынуждающей силы вполне себе имеет установившееся решение. При этом мощность источника будет просто чисто реактивная. Устоявшееся решение невозможно только при отсутствии потерь в системе и резонансе, когда реактивная мощность равна нулю. Если в этом случае мощность источника (чисто активная по условиям резонанса) не равна нулю, то да - энергия будет монотонно нарастать в колебательной системе.

[EUgeneUS]

sergey zhukov
Всё ещё проще.
1. Если коэффициент отражения со стороны линии не равен единице, то очевидно почему не может бесконечно расти интенсивность стоячей волны. В конце концов, интенсивность стоячей волны будет настолько велика, что в из линии в генератор будет отдаваться ровно та же мощность, что и из генератора в линюю.
2. А если коэффицент отражения со стороны линии равен единице, то он будет равен единице и со стороны генератора. И тогда не ясно - откуда возьмётся энергия в стоячей волне
3. Более того, коэффициенты отражения (по мощности) будут равны со стороны генератора и со стороны линии. Из этого простого факта и арифметических действий следует, что мощность падающих и обратных волн с той и другой стороны будут равны.

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Ну, например, линейный колебательный $LC$ контур можно "накачивать" энергией на частоте резонанса неограничено (при отсутствии рассеивания энергии). То же самое можно делать и с длинной линией. Теоретически не исключен бесконечный рост энергии волны в линии.

[LLeonid3]

EUgeneUS

Цитата:

А если коэффицент отражения со стороны линии равен единице, то он будет равен единице и со стороны генератора.

Про фазу не упомянули, особенно интересно при длине линии в четверть волны. При замкнутой на конце линии энергия в линии накапливается постепенно и гуляет по ней с реактивной мощностью гораздо большей, чем может выдать генератор, наглядно показывая, что от генератора обратная волна тоже отражается.
А если внутреннее сопротивление генератора равно волновому линии, накопления реактивной энергии не происходит -- обратная волна не отражается.

[svv]

(Оффтоп)

LLeonid3, пожалуйста, цитируйте собеседника правильно.

[EUgeneUS]

LLeonid3
sergey zhukov
ОМГ. Это же просто арифметика!

1. Сначала просто считаем баланс энергии (мощности) с учетом того, что коэффициенты отражения со стороны генератора и со стороны линии - конечны.

а) Генератор отдал какую-то мощность $P_g$.
б) Мощность $K_1 P_g$ сразу отразилась и вернулась в генератор. Где $K_1$ - коэффициент отражения со стороны генератора.
в) Мощность $(1-K_1) P_g$ ушла в линию.
г) На разомкнутом конце линии (или на замкнутом - всё равно), всё отразилось. В том числе и мощность, пришедшая от генератора ($(1-K_1) P_g$).
д) Вернувшись к точке подключения генератора часть ($K_2$) отразилась обратно, часть ($1-K_2$) вернулась в генератор.
е) Обозначим $P_\text{in}$ - мощность падающей волны в линии, $P_\text{out}$ - мощность отраженной (обратной) волны в линии.

Тогда:
$P_\text{in} = (1-K_1) P_g + K_2 P_\text{out} = P_\text{out}$
Откуда
$P_\text{in} = P_\text{out} = P_g \frac{1-K_1}{1-K_2}$

Уже сразу получили, что если $K_2 \ne 1$, то мощность падающей и обратной волны в длинной линии (разомкнутой или замкнутой) конечна.

2. Смотрим, что такое $K_1, K_2$
Коэффициент отражения по мощности равен $K_P = |K_U|^2$, где $K_U$ - коэффициент отражения по напряжению, который в свою очередь равен $K_U = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_2+Z_2}$

Коэффициент отражения со стороны генератора и со стороны линии отличаются перестановкой $Z_1 \Leftrightarrow Z_2$. А значит, с учетом вышесказанного $K_1 = K_2$
А значит $P_\text{in} = P_\text{out} = P_g$