Я задал задачу M 1008 из Задачника "Кванта" Deepseek и YandexGPT:
Условие задачи: Лестница состоит из 2n+1 ступеней. На n нижних ступенях лежит по одному камню. Двое по очереди таскают камни. Первый может переложить любой камень вверх на первую свободную ступеньку. а второй — переложить камень на одну ступеньку вниз, если она свободна. Цель первого — положить камень на верхнюю ступеньку. Может ли второй ему помешать?
Prompt: The ladder consists of 2n+1 steps. Each of the n lower steps contains one stone. Two people take turns carrying stones. The first can move any stone up to the first free step. The second can move a stone down one step if it is free. The first's goal is to put the stone on the top step. Can the second stop him?
Ответ Deepseek:Цитата:
The ladder consists of \(2n + 1\) steps, with \(n\) lower steps each containing one stone. The first player aims to move a stone to the top step, while the second player tries to prevent this.
Key observations and steps:
1. **Initial Setup**: The ladder has \(2n + 1\) steps with stones on the first \(n\) steps.
2. **First Player's Move**: The first player can move any stone up to the first free step above its current position.
3. **Second Player's Move**: The second player can move any stone down one step if the step below is free.
4. **Strategy Analysis**:
- The second player can always move the highest stone down one step if possible. This strategy ensures that every advance by the first player is countered.
- The first player needs to move a stone up \(n + 1\) steps to reach the top. However, each move up can be countered by a move down by the second player.
- The second player can focus on the highest stone each turn, preventing it from reaching the top step.
5. **Cycle Prevention**: The second player's ability to move the highest stone down creates a cycle, preventing the first player from making net progress towards the top step.
By maintaining the strategy of always moving the highest stone down, the second player can effectively stop the first player from placing a stone on the top step. This holds true for any \(n\), as the second player can consistently neutralize the threat by focusing on the highest stone each turn.
{Yes}
Ответ YandexGPT:Цитата:
**Второй игрок не может помешать первому игроку достичь цели.**
Для доказательства этого утверждения можно использовать стратегию «симметричного ответа». Суть этой стратегии заключается в том, что второй игрок всегда будет отвечать на ход первого игрока симметричным ходом относительно центральной ступени лестницы.
Рассмотрим ситуацию после каждого хода:
1. Первый игрок перекладывает камень вверх на первую свободную ступеньку.
2. Второй игрок отвечает, перекладывая камень на одну ступеньку вниз, если она свободна, соблюдая симметрию относительно центральной ступени.
Поскольку количество ступеней нечётное (2n + 1), центральная ступенька всегда будет оставаться свободной после каждого хода второго игрока. Это означает, что первый игрок всегда сможет сделать ход, поднимая камень вверх.
Таким образом, независимо от действий второго игрока, первый игрок сможет постепенно перемещать камни вверх по лестнице, пока один из них не достигнет верхней ступеньки.
Интересно, если задать эту задачу ChatGPT, то каков будет результат?
