Насколько я понимаю, в Вашем модельном паттерне вероятности априорные, а не эмпирические. То есть, грубо говоря, задаются, а не вычисляются по результатам экспериментов.
Нет, я все числа сверял программой на PARI. Не всегда получалось реализовать логику с первого раза, но в итоге все числа получаются из перебора всего диапазона и реальным подсчётом "хороших" комбинаций.
Запишу вероятности для цепочек
с ALL (без ALL призываю игнорировать!) с valids=11..14 (с пояснением комбинаций на модельном примере с одним A, в который свёрнуты все
![$p_1^{11}$ $p_1^{11}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/6/b06e7866d29a6c6ace01aa7e99754a6f82.png)
, и 4-я непроверяемыми местами B):
Для 14-ки: 5ABBBz, 5ABBzB, 5ABzBB, 5AzBBB и
![$p_{14}=4p_1^{11}p_2^3(1-p_2)$ $p_{14}=4p_1^{11}p_2^3(1-p_2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/5/6a517f515505dfaf4acfad16c96b368b82.png)
.
Для 13-ки: 5ABBzz, 5ABzBz, 5ABzzB, 5AzBBz, 5AzBzB, 5AzzBB и
![$p_{13}=6p_1^{11}p_2^2(1-p_2)^2$ $p_{13}=6p_1^{11}p_2^2(1-p_2)^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/b/94b5adc9a42132bad4b99659831f568082.png)
(и выше был снова неправ про 87шт, их вдвое меньше, 43шт, при реальных 58).
Для 12-ки: 5ABzzz, 5AzBzz, 5AzzBz, 5AzzzB и
![$p_{12}=4p_1^{11}p_2(1-p_2)^3$ $p_{12}=4p_1^{11}p_2(1-p_2)^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/5/545bb19f1f2ac953b5dcb94ef765256d82.png)
.
Для 11-ки: 5Azzzz и
![$p_{11}=p_1^{11}(1-p_2)^4$ $p_{11}=p_1^{11}(1-p_2)^4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/a/66a6161fc15e4e15f5c8396a2c13e3a582.png)
.
Чтобы получить любую из них, как у нас 233 цепочки ALL, надо это всё видимо сложить:
![$p_{all}=p_1^{11}[(1-p_2)^4 + 4p_2(1-p_2)^3 + 6p_2^2(1-p_2)^2 + 4p_2^3(1-p_2)]=p_1^{11}[1-p_2^4]$ $p_{all}=p_1^{11}[(1-p_2)^4 + 4p_2(1-p_2)^3 + 6p_2^2(1-p_2)^2 + 4p_2^3(1-p_2)]=p_1^{11}[1-p_2^4]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/0/cd04e8e22855dddab600dbb70b12487682.png)
. Хм, вычитается 15-ка ... Ну логично, чо.
![;-) ;-)](./images/smilies/icon_wink.gif)
Но разница
![$(1-p_2^4)$ $(1-p_2^4)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/b/77b31a7895efe3d2a4e4b7148eda9cf082.png)
и единицы пока достаточно мала (меньше одной штуки для 233 цепочек) и для оценки
![$p_1^{11}$ $p_1^{11}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/6/b06e7866d29a6c6ace01aa7e99754a6f82.png)
её вполне можно проигнорировать.
Выходит я вполне правильно понимаю
![$p_1$ $p_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/8/e48fedf0490f51b6457b8c979bc10c2782.png)
и все вероятности N-шек. Осталось понять правильно ли посчитал
![$p_2$ $p_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/6/0b6c661a59575c2a0dec00e00dacfe2982.png)
.
Какова вероятность обнаружить одиночное простое на непроверяемом месте?
А почему она должна отличаться от вероятности обнаружить одиночное простое на проверяемом месте? Я уже отказался от таких утверждений, Вы и модельный пример и тестовая программа на PARI меня убедили,
![$p_1, p_2$ $p_1, p_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/d/cad8e1617c79f2c4aa124a59e90bee8482.png)
уже не зависят от места, только от процента допустимых вариантов ко всем.
-- 31.03.2022, 21:01 --Осталось понять правильно ли посчитал
![$p_2$ $p_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/6/0b6c661a59575c2a0dec00e00dacfe2982.png)
.
Предварительно запишем отношения
![$p_{15}/p_{14}, p_{14}/p_{13}, p_{13}/p_{12}, p_{12}/p_{11}$ $p_{15}/p_{14}, p_{14}/p_{13}, p_{13}/p_{12}, p_{12}/p_{11}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/1/6c15f243d565b32fddd79a4a562671b082.png)
:
![$\frac{p_{15}}{p_{14}} = \frac{p_1^{11}p_2^4}{4p_1^{11}p_2^3(1-p_2)} = \frac{1}{4}\frac{p_2}{1-p_2}$ $\frac{p_{15}}{p_{14}} = \frac{p_1^{11}p_2^4}{4p_1^{11}p_2^3(1-p_2)} = \frac{1}{4}\frac{p_2}{1-p_2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/b/35bc2ffd653bbea9c33438212d36c78682.png)
![$\frac{p_{14}}{p_{13}} = \frac{4p_1^{11}p_2^3(1-p_2)}{6p_1^{11}p_2^2(1-p_2)^2} = \frac{2}{3}\frac{p_2}{1-p_2}$ $\frac{p_{14}}{p_{13}} = \frac{4p_1^{11}p_2^3(1-p_2)}{6p_1^{11}p_2^2(1-p_2)^2} = \frac{2}{3}\frac{p_2}{1-p_2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/8/a98eef6d5c5a27e4594d5a785fcbe75582.png)
![$\frac{p_{13}}{p_{12}} = \frac{6p_1^{11}p_2^2(1-p_2)^2}{4p_1^{11}p_2(1-p_2)^3} = \frac{3}{2}\frac{p_2}{1-p_2}$ $\frac{p_{13}}{p_{12}} = \frac{6p_1^{11}p_2^2(1-p_2)^2}{4p_1^{11}p_2(1-p_2)^3} = \frac{3}{2}\frac{p_2}{1-p_2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/0/990045a2341d72b3136474d8d6fcd32182.png)
![$\frac{p_{12}}{p_{11}} = \frac{4p_1^{11}p_2(1-p_2)^3}{p_1^{11}(1-p_2)^4} = 4 \frac{p_2}{1-p_2}$ $\frac{p_{12}}{p_{11}} = \frac{4p_1^{11}p_2(1-p_2)^3}{p_1^{11}(1-p_2)^4} = 4 \frac{p_2}{1-p_2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/5/eb55ca973347cd1138d8343a150eff1f82.png)
Далее, по цепочкам ALL я считал сколько раз на любом непроверяемом месте появится ровно 12 делителей, т.е. в терминах 5ABBBB сколько B появится в таких числах. Количество возможных мест для B составляло
![$233\times4=932$ $233\times4=932$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/1/f31b9de4de018f2ca07c9c76a3eccd0c82.png)
, из них на 232-х были обнаружены ровно 12 делителей в 152-х цепочках,
![$p_x=232/932=0.25$ $p_x=232/932=0.25$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/e/c7ea9ba8de82fc3a0a761a6feada27e182.png)
. Вопрос
![$p_x$ $p_x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/c/8ec35ba8dc7d424198d79d73a2d5c22582.png)
равно
![$p_2$ $p_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/6/0b6c661a59575c2a0dec00e00dacfe2982.png)
или нет ... Попытаюсь из
![$p_x$ $p_x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/c/8ec35ba8dc7d424198d79d73a2d5c22582.png)
и 233 получить 152. Цифра B может появиться в цепочке в следующих вариантах: 5ABzzz, 5AzBzz, 5AzzBz, 5AzzzB, 5ABBzz, 5ABzBz, 5ABzzB, 5AzBBz, 5AzBzB, 5AzzBB, 5ABBBz, 5ABBzB, 5ABzBB, 5AzBBB, 5ABBBB. Если просуммировать вероятности этих вариантов, по группам, получим
![$p_?=4p_x(1-p_x)^3 + 6p_x^2(1-p_x)^2 + 4p_x^3(1-p_x) + p_x^4=1-(1-p_x)^4=0.6836$ $p_?=4p_x(1-p_x)^3 + 6p_x^2(1-p_x)^2 + 4p_x^3(1-p_x) + p_x^4=1-(1-p_x)^4=0.6836$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/1/001bae5924852acf668bcd267ce7e08182.png)
, при домножении на 233 даёт 159 вместо 152. Непонятно. Хотя и близко. Чтобы попасть точно в 152 надо взять
![$p_x=0.23214$ $p_x=0.23214$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/c/8bc19db6b957d236d70c07619e3f58b682.png)
, что для такой небольшой выборки буду считать вполне допустимой погрешностью.
Итого
![$p_x=p_2$ $p_x=p_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/9/0e9db85d8e2066ec3304028483ecec8d82.png)
и посчитано практически правильно.
-- 31.03.2022, 21:10 --Теперь подставлю
![$p_2=0.23$ $p_2=0.23$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/d/52deda06f993b8d08c50ecd5d0bc924282.png)
(как более надёжное и полученное на существенно бОльшей выборке) в отношения вероятностей разных valids цепочек с ALL:
![$p_{15}/p_{14}=(0.23)/(4(1-0.23))=0.075$ $p_{15}/p_{14}=(0.23)/(4(1-0.23))=0.075$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/9/3d9868f57050aadba65d76a4ff93ddcd82.png)
![$p_{14}/p_{13}=(2\cdot0.23)/(3(1-0.23))=0.2$ $p_{14}/p_{13}=(2\cdot0.23)/(3(1-0.23))=0.2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/6/b968faad45ab2ad02723abb2437ad49982.png)
![$p_{13}/p_{12}=(3\cdot0.23)/(2(1-0.23))=0.45$ $p_{13}/p_{12}=(3\cdot0.23)/(2(1-0.23))=0.45$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/2/2a246bfe1a692da281ef37a597890d2082.png)
![$p_{12}/p_{11}=(4\cdot0.23)/(1-0.23)=1.2$ $p_{12}/p_{11}=(4\cdot0.23)/(1-0.23)=1.2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/8/0883f2bd68c0219c2cd950cb07718f9d82.png)
Реально же найдено
![$0/11=0.0$ $0/11=0.0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/3/003d82c8be5b079fcf39b9b3fc6e4a3382.png)
,
![$11/58=0.2$ $11/58=0.2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/b/2cb8e67b35c93d2ca324f698a8ba458f82.png)
,
![$58/83=0.7$ $58/83=0.7$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/0/b20f54e6eb1a25425634f0cca0f24a4a82.png)
,
![$83/81=1.0$ $83/81=1.0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/3/aa3ee5cae8e25beca5f3a28b4bb3439582.png)
. Совпадение хорошее, но не идеальное.
-- 31.03.2022, 21:19 --Желающие могут по МНК подобрать лучшее значение
![$p_2$ $p_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/6/0b6c661a59575c2a0dec00e00dacfe2982.png)
исходя из отношений разных valids. Мне нравится и
![$p_2=0.23$ $p_2=0.23$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/d/52deda06f993b8d08c50ecd5d0bc924282.png)
.
-- 31.03.2022, 21:20 --Соответственно оценка пятнашки остаётся адекватной:
Да, ну и оценка по пятнашке:
![$p_1^{11}p_2^4$ $p_1^{11}p_2^4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/3/493e158066599743c5ab6781e19227b582.png)
, при этом
![$p_1^{11}$ $p_1^{11}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/6/b06e7866d29a6c6ace01aa7e99754a6f82.png)
мы знаем, это 233/27.3e9,
![$p_2$ $p_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/6/0b6c661a59575c2a0dec00e00dacfe2982.png)
я оценил выше в
![$0.23$ $0.23$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/2/8a2ccae180da46a3afc4e89998297b3f82.png)
(или в
![$0.25$ $0.25$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/2/512128b1ead18bed472a510dafa27a2482.png)
другим способом), значит вероятность пятнашки
![$p_{15}=\frac{233}{27.3\cdot10^9}0.23^4=2.4\cdot10^{-11}$ $p_{15}=\frac{233}{27.3\cdot10^9}0.23^4=2.4\cdot10^{-11}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/7/317cac8751e48efbd3394355f03dd89782.png)
или одна на 42млрд попыток или одна на 4.6e37. В среднем.
Уф.
На этом вопрос оценок вероятностей для себя считаю закрытым. Формулы получены, коэффициенты посчитаны, с реальностью неплохо совпадают, будем ждать или 15-ку
![;-) ;-)](./images/smilies/icon_wink.gif)
, или увеличения объёма исходных данных для статистики.