И опять про эксперимент с двумя/тремя щелями

[realeugene]

upgrade в сообщении #1531233 писал(а):

от именно - одну точку, от которой до левой щели расстояние $l$, а до правой $l+\Delta l$, такое возможно, если импульс на левой щели чуть меньше, чем на правой для одного и того же электрона (что, кстати, объяснимо для электрона).

Кто вам сказал, что электроны летают по прямой?

[Dmitriy40]

Решил посчитать неопределённость скорости электрона на детекторе заданного размера: $\Delta x \Delta v > \frac{h}{2\cdot2\pi m_e}=\frac{6.626\cdot10^{-34}}{4\cdot3.1416\cdot9.11\cdot10^{-31}}=5.79\cdot10^{-5}$. Взяв микронный детектор с погрешностью скорости 58м/с и щели с микронным зазором с той же погрешностью скорости, получим что для электронов со средней скоростью 1200км/с погрешность скорости $10^{-4}$, т.е. отодвинув экран далее 10мм от щелей уже точно не сможем определить через какую из них пролетел (погрешность скорости перекроет разность хода). Но вот для менее 1мм расстояния до экрана Гейзенберг уже как бы не запрещает ... Вроде все параметры вполне разумны и технологически выполнимы.
Это не про интерференцию, это про принципиальную (не)возможность определения где пролетел электрон по времени пролёта. Конечно если распределение $\Delta v$ нормально с длинными "хвостами", то вероятность будет не 100%, но уж всяко выше 95%.
Интересно в чём тут на самом деле засада.

[Emergency]

upgrade в сообщении #1531227 писал(а):

В выбранную интерференционную полосу, расположенную в стороне от щелей прилетает электрон, время испускания зафиксировано в $0$ сек., время прилета $0.1$ cек.

Как вы собираетесь фиксировать время испускания и время прилета? У вас есть линейка с делениями меньше параметра кристаллической решетки на которой вы могли бы отметить точки старта и финиша?

[amon]

Dmitriy40 в сообщении #1531240 писал(а):

Интересно в чём тут на самом деле засада.

Ну, давайте попробуем. Во-первых, выясним что такое скорость в квантовой механике. Скорость это $\dot {x}.$ В квантовой механике всякой наблюдаемой (кроме времени) соответствует некий оператор. Из уравнения Гейзенберга

$$\frac{d}{dt}\hat{x}=i[\hat{x},\hat{H}],\,\text{если}\,\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x)\,\text{то}\,\hat{v}=\frac{\hat{p}}{m}.$$

То есть, измерение скорости эквивалентно измерению импульса, и вообще, в рассматриваемом случае импульс и скорость это одно и то же.

Теперь посмотрим, что же мы измерим разделив расстояние на время. Для простоты будем считать, что частица бегает по прямой и никаких щелей нет. Пусть точечный источник электронов (атом) одновременно с электроном испускает фотон. Зарегистрировав фотон секундомер включается, а когда электрон пролетит заранее отмеренный отрезок длиной $L$ и будет зарегистрирован - выключается. Что мы получим разделив $L$ на $t$? Изначально электрон находился в исходной точке. Пусть координата этой точки - $0.$ Значит его волновая функция - $\delta(x).$ Она не является собственной функцией оператора импульса и в результате измерения мы будем получать некую случайную величину. Какая это величина и как она распределена - дело сложное, и про это я пожалуй писать не буду. Среднее от этой величины $\bar{t}$ даст среднюю скорость: $\bar{v}=\frac{L}{\bar{t}}.$ Короче, так мы слона не продадим не узнаем, через какую щель электрон пролетел.

[Cos(x-pi/2)]

upgrade

(Наглядная картина движения в КМ)

Частицы подчиняются КМ-принципу неопределённости, он утверждает: у частицы нет определённой траектории. Именно поэтому приходится описывать поведение частиц волновыми функциями, нравится нам это или нет.

КМ не наглядная наука, но можно попробовать наглядно представить себе движение частицы так: движется "облако вероятности"!

Т.е. по пространству летит место, с достаточно большими размерами и без резкой границы, обладающее свойством: в любой точке (точнее, в элементе объёма) этого летящего места в данный момент времени с ненулевой вероятностью может обнаружиться частица. Тут подразумевается, что в каждую точку мы можем поместить детектор, ну хотя бы в принципе.

"Обнаружиться с ненулевой вероятностью" означает: детектор может сработать; а может и не сработать, даже если он есть, именно в данной точке в данный момент. Вне облака вероятности детектор почти наверняка не сработает (говорю почти - т.к. границы облака не резкие). Математически в КМ такое летящее место описывается волновой функцией $\psi(\vec{r},t),$ называемой волновым пакетом.

Опыты и математика (преобразование Фурье) показывают, что волновой пакет представляется суммой огромных по ширине и протяжённости волн (их называют плоскими волнами), имеющих разные волновые векторы $\vec{k}.$ Амплитуды и фазы у них тоже могут быть всякими разными. Волновые векторы различаются направлением и величиной; величина волнового вектора определяет длину волны $\lambda=2\pi/k.$

В КМ волновому вектору соответствует импульс частицы $\vec{p}=\hbar\vec{k};$ отсюда - знаменитая формула де Бройля: $\lambda = 2\pi \hbar/p.$ Вот важный математический факт, неизбежный как "2х2=4": чем меньше размеры волнового пакета, тем больше различаются в нём волновые векторы. Отсюда - знаменитые соотношения неопределённости для координат и импульса частицы.


Теперь вдумаемся в интересующую нас картину 2-щелевого опыта.

Мы хотим наблюдать интерференцию от двух узких щелей в перегородке. Из аналогии с оптикой знаем, что для этого надо послать на перегородку волну с перпендикулярным к ней $\vec{k}$ с длиной волны порядка расстояния между щелями. (Значит, в КМ источник должен посылать частицы с определённым (почти без разброса) импульсом $\vec{p}.)$ Такой волновой пакет, раз он состоит, в основном, из одной волны с заданным $\vec{k},$ будет очень широким и толстым.

Значит, если мы в момент времени $0$ откроем (а потом закроем) шторку источника, то не сможем утверждать, что частица вылетела точно в этот же момент. Ведь подходящий для нашего опыта источник породит широкое и толстое "облако вероятности" - этакую толстую "лепёшку", летящую плашмя на перегородку со щелями и накрывающую их обе. Неизвестно, в какой точке этой лепёшки находится частица (а может быть, вообще и нельзя утверждать, будто частица "находится в точке", пока она не обнаружена детектором "в точке").

Подлетает такая лепёшка к перегородке. Часть лепёшки, просунувшуюся за перегородку в щель 1, мы можем считать новым волновым пакетом $\psi_1.$ Его размер поперёк щели мал (щель ведь узкая), и, значит, в нём возник широкий веер поперечных к щели волновых векторов. Т.е. из щели 1 вылетает облако вероятности типа расширяющейся половинки толстостенного цилиндра (с осью в щели 1) без резких границ. Одновременно из щели 2 вылетает аналогичный волновой пакет $\psi_2.$

На пути к детектирующему экрану оба эти облака вероятности успевают существенно перекрыться друг с другом. Это описывается суммой $\psi_1(\vec{r},t)+\psi_2(\vec{r},t).$

Расстояния от щелей 1 и 2 до точки $\vec{r}$ (не симметричной относительно щелей) различны, и время подлёта "фронтов" пакетов вдоль них разное. Да. Однако, этой разницей расстояний вызывается всего лишь различие величин $\psi_1$ и $\psi_2$ в данной точке экрана, и разность их фаз, определяющая в итоге результат интерференции. Раз оба пакета перекрываются, составляя единое облако вероятности, то есть интерференция.

По картине широкого толстого облака вероятности нет возможности выявлять траекторию прилётов частицы. Ниоткуда не следует, что моменты $t$ срабатывания детектора, которого накрыло такое облако, должны будут статистически распределяться вокруг именно двух значений, соответствующих расстояниям от щелей до точки $\vec{r}$ срабатывания детектора.

Если поместить за одной щелью некую "линию задержки", задерживающую пакет на достаточно большое время $\tau$, так что оба пакета не смогут одновременно присутствовать на детектирующем экране, то интерференция исчезнет. Потому что тогда в каждый момент времени в точках экрана может быть не равным нулю только либо одно либо другое из двух слагаемых в $\psi_1+\psi_2,$ либо ни одного. При этом по величине интервала (большой он как $\tau,$ или маленький) между моментом старта $0$ и моментом $t$ обнаружения частицы на экране удастся судить о щели, пройденной частицей.

Этот интервал времени флуктуирует - ведь пакеты толстые, поэтому каждый раз частица обнаруживается внутри пакета то там, то сям (хотя движение самих-то облаков вероятности детерминированное). Поэтому при меньшем $\tau$ надёжность суждений о щели снизится. И появится едва заметная интерференция - из-за появившегося перекрытия не имеющих чёткой границы заднего "фронта" незадержанного пакета с передним "фронтом" задержанного.

(Перекрытие хвостов пусть хотя бы и очень малой амплитуды есть и при большой задержке, так что и в этом случае может присутствовать еле-еле заметная интерференция; но тогда и неопределённость суждений о пройденной щели будет присутствовать из-за того же перекрытия.)

В качестве реального примера вспомнилась прочитанная в PRL 30 лет тому назад статья об интересном интерференционном опыте с нейтронами:

(Спектральная фильтрация в нейтронной интерферометрии)

В этом опыте - не щели, а интерферометр Маха-Цендера для нейтронов; но тоже речь о 2-лучевой интерференции. (Принцип работы интерферометра Маха-Цендера прост, его можно и по википедии понять.)

Схема опыта. Пояснения к этому рисунку:

Предполагается, что источник нейтронов - в левом верхнем углу рисунка. Волновой пакет нейтрона схематично изображён светлым кружочком. Проходя через кремниевую пластинку, исходный волновой пакет расщепляется на два пакета, т.е. нейтрон с некоторой вероятностью может идти либо по пути I, либо по пути II (говоря языком классической механики). Это аналогия двум путям из щелей в 2-щелевых экспериментах. Поворотом алюминиевого флажка можно менять разность фаз на путях I и II. Стопка пластинок висмута толщиной D играет роль "линии задержки" для волнового пакета на пути II. (По традиции, заимствованной из оптики, где похожим образом исследуют образцы разных материалов, подобное препятствие для нейтронов в одном из плеч интерферометра авторы называют "образцом").

Если задержка пакета II велика, то он нигде не сможет перекрыться с пакетом I, и тогда интерференции не будет - счётчик нейтронов C2 не обнаружит влияния фазового флажка на статистику отсчётов.

Однако перед счётчиком С3 помещён "анализирующий" кристалл. За счёт квантовой дифракции нейтрона на кристаллической решётке этот кристалл служит монохроматором, фильтром - он пропускает в С3 нейтроны только с более точно фиксированной длиной волны. А фурье-анализ учит: чем определённее задана длина волны, тем больше размыт волновой пакет в пространстве. Т.е. волновые пакеты, поступающие в С3, должны удлиниться и перекрыться (на рис. они изображены как перекрывшиеся овалы). И тогда в отсчётах С3 проявится интерференция (утраченная внутри интерферометра из-за большой разницы времён пролёта пакета по путям I и II), т.е. появится хорошо заметная интерференционная зависимость отсчётов С3 от угла поворота фазового флажка.

Результат эксперимента это подтверждает:

При D=0 (т.е. без задержки) видна отчётливая интерференция - отсчёты С2 и С3 зависят от угла поворота флажка; чем больше С2, тем меньше С3, и наоборот, как и должно быть. С ростом задержки (с увеличением D) интерференция в С2 портится, а в С3 сохраняется. (Чтобы это заметить, надо обращать внимание на отношение максимальной и минимальной скорости отсчётов; графики для скорости отсчётов С2 и С3 хоть и похожи на вид, но у них разные масштабы и цена деления.)

(Описание деталей опытов можно разыскать по ссылкам в той статье; вот без ссылок несколько иллюстраций: параметры интерферометров для нейтронов, их внешний вид_1, вид_2, и такой же интерферометр в установке)

[realeugene]

Про волновые пакеты.

Импульс неизбежно как-то размазан. А длина волны де Бройля обратно пропорциональна импульсу. Пики интерференционной картины возникают там, где разность путей кратна длине волны. Из-за этого по мере увеличений номера пика они смазываются. Минимальная ширина распределения в импульсном пространстве обратно пропорциональна ширине волнового пакета в координатном. Так что, неопределённость длины волны также обратно пропорциональна неопределённости положения центра пакета в пространстве. Это просто свойство преобразования Фурье между координатным и частотным представлениями волнового пакета.

Если на пути от щелей к экрану волновые пакеты разделяются достаточно в пространстве, чтобы уверенно можно было сказать, через какую щель пролетел электрон, интерференционные полосы в этом месте экрана полностью сольются в однородную засветку. И дело тут не в длине волны электрона по сравнению с периодом кристаллической решетки, разумеется. Это принципиальное свойство волновой механики, применимое к любым волнам.

[Dmitriy40]

amon в сообщении #1531253 писал(а):

Она не является собственной функцией оператора импульса и в результате измерения мы будем получать некую случайную величину. Какая это величина и как она распределена - дело сложное, и про это я пожалуй писать не буду. Среднее от этой величины $\bar{t}$ даст среднюю скорость: $\bar{v}=\frac{L}{\bar{t}}.$ Короче, так мы слона не продадим не узнаем, через какую щель электрон пролетел.

Так ведь распределение этой измеренной величины и интересует. И Cos(x-pi/2) ниже прекрасно объяснил что если облака вероятностей не перекрываются (скажем более чем на 1%), то определить вполне можно (с 98% вероятностью). Разумеется интерференции при этом не будет (заметной выше 1%), но вопрос и не о ней.
Момент с длиной волны де Бройля я не учёл, это да, надо ещё посчитать какая скорость электронов нужна для микронных зазоров. Хотя чего её считать-то, я же беру скорость в $10^4$ раз выше погрешности, значит длина волны будет в те же $10^4$ меньше микронных зазоров и об интерференции можно забыть ещё и поэтому (похоже realeugene как раз это и пояснил). Но вопрос-то о другом и там уменьшение длины волны лишь помогает.

upgrade, так что Ваша идея всё же нерабочая: выбором параметров установки можно или узнать через какую щель пролетел электрон, или получить интерференцию. Но не одновременно. Просто по факту (не)перекрытия облаков вероятностей (не перекрываются - знаем щель, перекрываются - не знаем, зато интерференция). Причём для каждого конкретного электрона, и потому накопление статистики тут ничем не поможет (каждый электрон будет вносить вклад или в то (определение щели) или в другое (интерференцию), и никогда вместе).

Надеюсь нигде сильно не наврал.

[upgrade]

Dmitriy40
Я пока разбираюсь с изложенным выше. По поводу импульса:
если импульс каким-то образом сделали постоянным для всех электронов, время прилета будет разным в зависимости от пролета через щели, кроме того, щели можно сдвигать/раздвигать, то есть можно добиться распределения времен из нескольких пиков, как вариант - имеет значение не ширина щели, а ширина перегородки - величина области, сквозь которую не может пролететь электрон. Пока мне думается, что измерять надо именно время, а не импульс - частица с бОльшим импульсом, пролетев через дальнюю щель, прилетит на экран в тоже самое время, что и частица с меньшим импульсом, пролетевшая через ближнюю. Ну и моделирование в экселе показывает череду пиков, может это артефакты, может модель неверная (модель: генерируется с.в. (излучение электрона в случайный момент времени), генерируется вторая с.в. (момент времени прилета на экран через ближнюю щель), генерируется третья с.в. (момент времени прилета на экран через дальнюю щель, границы с.в. больше чем границы второй с.в.), затем получаем итоговую четвертую с.в., которая равна значению второй или третьей, выбранных случайно (случайное пересечение электроном ближней или дальней щели)).

Emergency в сообщении #1531249 писал(а):

Как вы собираетесь фиксировать время испускания и время прилета?

Распределение импульса можно оценивать по распределению яркости попадающих в интерференционную полосу электронов. Распределение времени - шторка, на шторке свет от попадающих в нее электронов, свет попадает в фотоэлемент (например), затем убираем шторку, теперь в фотоэлемент попадает свет от попадания электрона в экран, а от шторки не попадает, на осцилографе будет виден какой-то рисунок изменения напряжения на фотоэлементе...дальше его надо проанализировать.

[Dmitriy40]

upgrade в сообщении #1531310 писал(а):

если импульс каким-то образом сделали постоянным для всех электронов,

Это принципиально невозможно, погрешность будет всегда, не меньше соотношения неопределённости Гейзенберга.
Ну и повторю, интерференционную картину создают только те электроны, неопределённость импульса которых не позволяет определить через какую щель они пролетели. Чем дальше расходятся облака вероятностей (волновые функции) электрона от каждой щели, тем более расплываются интерференционные пики и тем менее картина похожа на интерференцию, realeugene об этом уже и сказал же. Независимо как испускать электроны, как детектировать и какими шторками манипулировать.

[Cos(x-pi/2)]

upgrade

upgrade в сообщении #1531310 писал(а):

если импульс каким-то образом сделали постоянным для всех электронов, время прилета будет разным в зависимости от пролета через щели

Попробуйте, пожалуйста, ответить на вопрос о времени прилёта электрона вот в такой простой ситуации (без всякой интерференции):

Пусть есть только одна щель. Пусть нам известно (каким-то чудом), что каждый электрон заведомо в ней оказывается в известный нам момент времени, который мы всякий раз условно принимаем за 0. Пусть расстояние от щели до детектора известно: $L.$ Пусть импульс у всех электронов один и тот же. Вопрос Вам: будет ли одним и тем же момент времени $t$ срабатывания детектора?

[upgrade]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1531321 писал(а):

Пусть расстояние от щели до детектора известно: $L.$ Пусть импульс у всех электронов один и тот же. Вопрос Вам: будет ли одним и тем же момент времени $t$ срабатывания детектора?

Да. Иначе или импульс или расстояние или и то и другое отличаются от заданных.

[Dmitriy40]

-- 11.09.2021, 20:15 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1531321 писал(а):

Пусть расстояние от щели до детектора известно: $L.$ Пусть импульс у всех электронов один и тот же. Вопрос Вам: будет ли одним и тем же момент времени $t$ срабатывания детектора?

Вопрос немного в сторону: если вероятность обнаружения электрона детектором в момент времени $t$ обозначить $p(t)$, то как записывается в терминах вероятностей ограничение из СТО $\forall t<L/c: p(t)\equiv 0$ ? Там ведь колокол (не уверен симметричный ли, не суть) должен быть, как его обрезают слева? Или специально обрезать не надо, оно само получается правильно с релятивистскими формулами?
Интерес абстрактный, можно буквально "в двух словах/формулах".

[realeugene]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1531321 писал(а):

каждый электрон заведомо в ней оказывается в известный нам момент времени, который мы всякий раз условно принимаем за 0

upgrade в сообщении #1531325 писал(а):

Пусть импульс у всех электронов один и тот же.

Уже взаимно противоречивые утверждения.

[Emergency]

upgrade в сообщении #1531310 писал(а):

Распределение времени - шторка

О шторке можете сразу забыть. Вам надо измерять время точнее, чем время пролета электрона между соседними плоскостями кристаллической решетки. Теоретически, требуемую точность измерения времени мог бы дать лист однослойного графена сквозь который пролетает электрон. Беда в том, что пролетевший сквозь лист графена (или мимо любого датчика) электрон потеряет неизвестную (случайную) часть импульса (скорость) и мы не сможем рассчитать расстояние которое он пролетел до экрана.

[Cos(x-pi/2)]

Dmitriy40
Обобщение КМ с учётом СТО это ведь КТП. А в КТП всё совсем не элементарно; вместо волновых функций частиц рассматриваются их пропагаторы и различные состояния квантованного поля. Если правильно помню, пропагатор массивной частицы не обращается резко в ноль вне конуса, он там экспоненциально убывает на комптоновской длине. А коммутаторы операторов поля (бозонного) и антикоммутаторы поля фермионного на пространственно-подобных интервалах обращаются в ноль. Что всё это значит, и каковы условия причинности в КТП, - излагается в учебниках по КТП.

В Вашей теме про щели, думаю, совсем (от слова совсем! :) не надо лезть в КТП. Для осмысления нерелятивсистских опытов вполне хороша нерелятивистская КМ. В ней нет ограничений, связанных со скоростью света.

upgrade
Ответ неверный. (Был бы верный если бы работала классическая механика, но в КМ время срабатывания детекторов будет флуктуировать). Попозже постараюсь пояснить правильный ответ на графиках.

realeugene
Да, но даже при таком воображаемом условии (налагаемом на щель как на источник электрона) время срабатывания детектора не будет определённым. Без этого условия - тем более.