2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение05.07.2021, 23:45 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Сообщение redicka отделено на правку в Карантин: «Из topic146501.html»

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение06.07.2021, 09:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
HungryLion в сообщении #1525425 писал(а):
В результате у меня получилось $\frac{2 a \sin{\alpha}\sqrt{r(2 l\sin{\alpha} -r)}}{\sqrt{l^2-a^2}}$, но я мог где-то напутать и, скорее всего, напутал.

Хороший подход, в результате у меня получилось $\displaystyle \frac{2 a\sin{\alpha}}{\sqrt{\frac{1}{\sin{\alpha}(2r/l-\sin{\alpha})}-
\frac{a^2}{l^2}}},$
но я мог где-то напутать и, скорее всего, напутал. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение06.07.2021, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
HungryLion в сообщении #1525425 писал(а):

Далее находим угол $\beta$ между плоскостями $AA'C''$ и $P$ по известным сторонам треугольника $AA'C''$ и высоте $h$.
Зная $|A'C'|$ и $\beta$ находим искомое расстояние.

На самом деле надо знать угол между плоскостью $AA'C''$ и отрезком $A'C'$

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение06.07.2021, 15:59 


31/05/11
28
TOTAL
Да. Согласен. Ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение07.07.2021, 10:18 


17/09/10
94
HungryLion в сообщении #1525425 писал(а):
А разве
mihatel в сообщении #1525222 писал(а):
школьная задача, на полчаса
и
mihatel в сообщении #1525222 писал(а):
предлагалась на экзамене на Физический факультет МГУ в 1979 году
не взаимоисключающие параграфы?


Думаю, что нет. Школьная - значит используется только материал школьной программы, и совсем не значит, что решается в одно действие. А материал школьной программы весьма обширен.


HungryLion в сообщении #1525425 писал(а):
Треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ подобны,

почему?

HungryLion в сообщении #1525425 писал(а):
Если я ничего не путаю, то расстояние между параллельными плоскостями $AA'C''$ и $A''C'C$ и будет искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.

согласен

HungryLion в сообщении #1525425 писал(а):
Зная $|A'C'|$ и $\beta$ находим искомое расстояние.

как? я не понимаю.

HungryLion в сообщении #1525425 писал(а):
В результате у меня получилось $\frac{2 a \sin{\alpha}\sqrt{r(2 l\sin{\alpha} -r)}}{\sqrt{l^2-a^2}}$


правильный ответ:

$\frac{2a\tg(\alpha)}{\sqrt{l^2-a^2\cos^2(\alpha)}}\sqrt{2rl\sin(\alpha)-(r^2+l^2)\sin^2(\alpha)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение07.07.2021, 12:12 


31/05/11
28
mihatel в сообщении #1525502 писал(а):
почему?
Они равносторонние и угол при вершине одинаковый.
mihatel в сообщении #1525502 писал(а):
как? я не понимаю.
Там у меня ошибка.

За правильный ответ спасибо - есть к чему стремиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение07.07.2021, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
mihatel в сообщении #1525502 писал(а):
правильный ответ:

$\frac{2a\tg(\alpha)}{\sqrt{l^2-a^2\cos^2(\alpha)}}\sqrt{2rl\sin(\alpha)-(r^2+l^2)\sin^2(\alpha)}$

Расстояние между основаниями равнобедренных треугольников (плоскости которых параллельны, между этими плоскостями и отыскиваем расстояние) равно
$$\frac{2a\sqrt{2rl\sin(\alpha)-(r^2+l^2)\sin^2(\alpha)}}{l\cos(\alpha)},$$
а наклонены эти треугольники к плоскости $ABC$ под углом
$$\sin(\beta)}=\frac{l\sin(\alpha)}{\sqrt{l^2-a^2\cos^2(\alpha)}}$$
Эти величины надо перемножить.

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение08.07.2021, 08:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Изображение
Это вид сверху.
Расстояние между синенькими надо умножить на синус угла между $AA'C''$ и $ABC$.

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение10.07.2021, 16:13 


17/09/10
94
TOTAL в сообщении #1525549 писал(а):
Расстояние между синенькими надо умножить на синус угла между $AA'C''$ и $ABC$.

Готов согласиться, только не понимаю, как найти (как искать) расстояние между синенькими и угол, кстати, тоже. Там еще треугольники какие-то равнобедренные подобны почему-то и зачем-то:
Изображение

А вот перемножить наверно смогу.

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение10.07.2021, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Точки $A'$ и $C'$ возвышаются над плоскостью $ABC$ на $h=l\sin(\alpha)$
Обозначим $BC'=BA'=R$
$R^2+(r-h)^2=r^2$, поэтому $R^2=2hr-h^2$
Верхний равнобедренный треугольник $BA'C'$ повернут относительно нижнего $ABC$ на угол $\omega$, который находится из условия, что расстояние между точками $(0,-l,0)$ и $(R\sin(\omega), -R\cos(\omega), h)$ равно $l$, т.е. $\cos(\omega)=\frac{hr}{lR}$.
Из подобия $A'C'=AA''=CC''=2aR/l$
Теперь в параллелограмме $AA''CC''$ много что известно. Находите длину синеньких и расстояние между ними. А уж наклон $AA'C''$ теперь находится совсем легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение12.07.2021, 13:01 


17/09/10
94
TOTAL в сообщении #1525712 писал(а):
Точки $A'$ и $C'$ возвышаются над плоскостью $ABC$ на $h=l\sin(\alpha)$
Обозначим $BC'=BA'=R$
$R^2+(r-h)^2=r^2$, поэтому $R^2=2hr-h^2$
Верхний равнобедренный треугольник $BA'C'$ повернут относительно нижнего $ABC$ на угол $\omega$, который находится из условия, что расстояние между точками $(0,-l,0)$ и $(R\sin(\omega), -R\cos(\omega), h)$ равно $l$, т.е. $\cos(\omega)=\frac{hr}{lR}$.
Из подобия $A'C'=AA''=CC''=2aR/l$
Теперь в параллелограмме $AA''CC''$ много что известно. Находите длину синеньких и расстояние между ними. А уж наклон $AA'C''$ теперь находится совсем легко.

Спасибо. Ключевой момент - подобие треугольников $BA'C'$ и $BAC$. А вот как наклон найти - все равно непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение12.07.2021, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
mihatel в сообщении #1525858 писал(а):
А вот как наклон найти - все равно непонятно.

Длину синенькой обозначим $t$. Тогда для угла наклона $\beta$ имеем
$$\sin(\beta)}=\frac{h}{\sqrt{l^2-t^2/4}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение13.07.2021, 23:12 


31/05/11
28
А я вот никак не пойму, как расстояние меду синими линиями найти.
Придумал только через теорему косинусов в треугольнике $ACA''$, где все стороны известны. Но выражение получается громоздкое и к правильному ответу я его привести не могу.
Подскажите, добрые люди, есть какой-то другой путь или я просто в преобразованиях не силён?

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение14.07.2021, 06:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
$AC=2a$
$AA''=2aR/l=S$ - обозначение
$\cos(\omega)=\frac{hr}{lR}$
$R^2=2hr-h^2$
$h=l\cos(\alpha)$
$t^2=S^2+4a^2-4aS\cos(\omega)$ - по теореме косинусов нашли квадрат синенькой
$2aS\sin(\omega)=tH$ - двумя способами нашли площадь, откуда расстояние между синенькими $H=\dots$

 Профиль  
                  
 
 Re: расстояние между скрещивающимися прямыми, школьная геометрия
Сообщение14.07.2021, 11:51 


17/09/10
94
TOTAL в сообщении #1525865 писал(а):
mihatel в сообщении #1525858 писал(а):
А вот как наклон найти - все равно непонятно.

Длину синенькой обозначим $t$. Тогда для угла наклона $\beta$ имеем
$$\sin(\beta)}=\frac{h}{\sqrt{l^2-t^2/4}}$$

Это тоже совсем не очевидно, т.к. этот треугольник не нарисован ни на одном из чертежей. И надо догадаться, что он вообще существует. (Хотя, может быть, все это решается гораздо, гораздо проще.) В любом случае, это именно то, что я искал и не мог найти. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group