Топология, первое знакомство.

[Sinoid]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518787 писал(а):

То есть, если мы объявим элемент множеством, то он будет подмножеством, а если не объявим, то не будет?

(Оффтоп)

Я же говорю: налицо отсутствие базовых знаний

Нет: наличие элемента автоматически означает и существование множества, состоящего из одного этого элемента, существующего (множества) одновременно с этим элементом и ровно в том месте пространства, в котором существует этот элемент, и, если этот элемент рассматривается как часть некоего большего множества (отношение $\in$), то и то множество будет подмножеством этого большего множества.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518865 писал(а):

Если множества пересекаются, то одно из них не может быть элементом другого, верно?

Нет, mihaild уже объяснил. Хотя в подавляющем большинстве случаев такая ситуация действительно не встретится.
Всё остальное верно.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!

[Vladimir Pliassov]

Дискретное пространство.

1.

Цитата:

Пусть $X$ — некоторое множество, а $\mathcal{T}$ — семейство всех его подмножеств. Тогда $\mathcal{T}$ является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара $(X,{\mathcal {T}})$ называется дискретным топологическим пространством. (Википедия)

Пусть $X$ — некоторое дискретное множество, например, $X=\{1,\ldots ,n\}$, и $\mathcal{T}$ — семейство всех его подмножеств.

Понятно, что все три аксиомы выполняются, то есть объединение и пересечение любых подмножеств $X$, а также пустое множество $\varnothing$ и все $X$ принадлежат $\mathcal{T}$ (как два тривиальных подмножества множества $X$).

2.

Понятно, что все эти подмножества, кроме пустого подмножества $\varnothing$, дискретны. Что же касается $\varnothing$, то является ли оно дискретным? В https://helpiks.org/5-83257.html читаем:

Цитата:

Числовое множество называется дискретным множеством, если между любыми его двумя элементами можно указать действительные числа, не входящие в это множество.

Но пустое множество не содержит двух элементов.

Там же читаем:

Цитата:

Числовое множество называется непрерывным множеством, если его элементы сплошь заполняют некоторый промежуток на координатной оси.

Тем более.

Так является множество $\varnothing$ непрерывным или дискретным? Или оно ни то, ни то?

Если так, то, как я понимаю, оно является исключением как в дискретном, так и в антидискретном пространствах.

3.

Пусть теперь $X$ — не дискретное множество, например, $X=\mathbb R$ (мы можем его взять, ведь в определении дискретного пространства стоит : "Пусть $X$ — некоторое множество").

В этом случае, как я понимаю, пространство $(X,{\mathcal {T}})$ не является исключительно дискретным, так как среди подмножеств $X$, являющихся элементами топологии $\mathcal{T}$, имеются не только дискретные, но и непрерывные (объединения и пересечения интервалов).

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518998 писал(а):

пространство $(X,{\mathcal {T}})$ не является исключительно дискретным

А что такое "исключительно дискретное"? - может быть просто воспользоваться приведённым в начале определением? и не привлекать посторонние цитаты (которые не имеют отношения к топологии)?

[Vladimir Pliassov]

Я, очевидно, неудачно выразился и привел не совсем подходящие цитаты - по незнанию предмета.

Из приведенного определения я не вижу, чтобы пространство $(X,{\mathcal {T}})$ обязательно было дискретным, потому что, как мне представляется, в дискретном пространстве все подмножества множества $X$ должны быть дискретными, а значит, само множество $X$ не может быть произвольным ("некоторым", как сказано), а должно быть дискретным.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518998 писал(а):

Но пустое множество не содержит двух элементов

Соответственно между любыми двумя его элементами можно указать действительное число, не входящее в него. Значит оно дискретно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1518998 писал(а):

Так является множество $\varnothing$ непрерывным или дискретным? Или оно ни то, ни то?

Оно и то, и другое (скорее всего, нужно смотреть, что в точности понимается под "сплошь заполняют промежуток" - это вроде бы не стандартная терминология).

Vladimir Pliassov в сообщении #1518998 писал(а):

оно является исключением как в дискретном, так и в антидискретном пространствах

Непонятно, что вы имеете в виду. Что значит "множество является исключением в пространстве"?

Vladimir Pliassov в сообщении #1519002 писал(а):

Из приведенного определения я не вижу, чтобы пространство $(X,{\mathcal {T}})$ обязательно было дискретным

Дискретная топология никакого отношения к "дискретным множествам" не имеет.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1519003 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1518998 писал(а):

Но пустое множество не содержит двух элементов

Соответственно между любыми двумя его элементами можно указать действительное число, не входящее в него. Значит оно дискретно.

Оно ведь не содержит ни одного элемента, как же можно указать что-то "между любыми двумя его элементами"?

mihaild в сообщении #1519003 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1518998 писал(а):

Так является множество $\varnothing$ непрерывным или дискретным? Или оно ни то, ни то?

Оно и то, и другое.

Здесь то же самое: если непрерывность множества обусловливается наличием чего-то (а именно, бесконечного числа элементов) между его элементами, то как же она возможна, если их нет?

mihaild в сообщении #1519003 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1518998 писал(а):

оно является исключением как в дискретном, так и в антидискретном пространствах

Непонятно, что вы имеете в виду. Что значит "множество является исключением в пространстве"?

Так как я полагал, что 1) в дискретном пространстве все подмножества множества $X$ дискретные, а в антидискретном пространстве все они непрерывные, и что 2) пустое множество не непрерывно, и не дискретно, -- я имел в виду, что пустое множество и в том, и в другом пространстве является (в отношении непрерывности, дискретности) не таким подмножеством, как все прочие.

mihaild в сообщении #1519003 писал(а):

Дискретная топология никакого отношения к "дискретным множествам" не имеет.

Я это подозревал. Так что же в ней дискретного?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519005 писал(а):

Оно ведь не содержит ни одного элемента, как же можно указать что-то "между любыми двумя его элементами"?

А Вы думаете, что не между любыми двумя? То есть Вы думаете, что между какими-то двумя элементами пустого множества нельзя указать действительных чисел? Если Вы так думаете, то укажите такие два элемента пустого множества, между которыми нельзя указать действительных чисел.

В математике, любое утверждение вида "Для всех элементов пустого множества выполняется то-то" автоматически верно.

Вот кое-что аналогичное. Утверждение "Все динозавры на Марсе красного цвета" - верное. Потому что на Марсе нет динозавров. Если Вы думаете, что утверждение неверное, т.е. что не все динозавры на Марсе красного цвета, ну, тогда покажите мне динозавра на Марсе, который был бы не красного цвета.
Конечно, утверждения "Все динозавры на Марсе зелёные" и "Все динозавры на Марсе не красные" тоже верны. И тут нет противоречия. Потому что отрицание к верному утверждению "Все динозавры на Марсе красные" звучит так: "На Марсе существует не красный динозавр" (и это отрицание неверно). А отрицание к верному утверждению "Все динозавры на Марсе не красные" звучит так: "На Марсе существует красный динозавр" (и это отрицание неверно).

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519005 писал(а):

Здесь то же самое: если непрерывность множества обусловливается наличием чего-то (а именно, бесконечного числа элементов) между его элементами, то как же она возможна, если их нет?

Если на рукомахательном уровне (хотя это получается очень плохо, и мне вообще не нравится приведенное определение "непрерывного множества"), то "непрерывность" "обеспечивается" отсутствием "дырок", а не "наличием" чего-то.

Vladimir Pliassov в сообщении #1519005 писал(а):

Так что же в ней дискретного?

То, что в ней все точки "стоят отдельно". Если брать не просто топологическое, а метрическое пространство (с расстояниями), то чтобы топология на нем получилась дискретной, нужно, чтобы для любой точки на некотором расстоянии от неё других точек не было.

Вообще, если вы еще путаетесь в базовых понятиях - советую читать последовательно какой-то один учебник, а не перескакивать на какие-то непонятные страницы в интернете.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518998 писал(а):

Дискретное пространство.

Цитата:

Числовое множество называется дискретным множеством, если между любыми его двумя элементами можно указать действительные числа, не входящие в это множество.

Это какая-то чушь. По этому "определению" множество иррациональных чисел является дискретным, потому что между любыми двумя иррациональными числами есть рациональное. И множество рациональных чисел тоже "дискретно" по аналогичной причине.

Если говорить о подмножествах числовой прямой, то множество $M\subseteq\mathbb R$ дискретно, если каждая точка $x\in M$ содержится в некотором интервале, не содержащем других точек множества $M$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1519002 писал(а):

в дискретном пространстве все подмножества множества $X$ должны быть дискретными

Так и есть, и это легко проверяется.

Vladimir Pliassov в сообщении #1519005 писал(а):

а в антидискретном пространстве все они непрерывные

А в антидискретном пространстве они все антидискретные.

Я не буду клясться, что термин "непрерывное множество" не употребляется, но, видимо, он является редким.

Vladimir Pliassov в сообщении #1518998 писал(а):

Цитата:

Числовое множество называется непрерывным множеством, если его элементы сплошь заполняют некоторый промежуток на координатной оси.

Очень плохое определение. Невразумительное. Что за учебник Вы читаете?

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1519014 писал(а):

В математике, любое утверждение вида "Для всех элементов пустого множества выполняется то-то" автоматически верно.

Mikhail_K в сообщении #1519014 писал(а):

отрицание к верному утверждению "Все динозавры на Марсе красные" звучит так: "На Марсе существует не красный динозавр" (и это отрицание неверно). А отрицание к верному утверждению "Все динозавры на Марсе не красные" звучит так: "На Марсе существует красный динозавр" (и это отрицание неверно).

1) Любое утверждение о несуществующем верно -- аксиома (не нуждается в доказательстве).

Отсюда: отрицание любого утверждения о несуществующем неверно.

[Может быть, в математической логике 1) это не аксиома, а, может быть, там вообще нет такого предложения, но я беру его как аксиому].

Правильно?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519086 писал(а):

Любое утверждение о несуществующем верно -- аксиома (не нуждается в доказательстве).

Не только не аксиома, но даже не утверждение. Нет понятия "утверждение о несуществующем".

Правильно так: любое утверждение вида "для любого $x$ из пустого множества выполнено $P(x)$" (где $P(x)$ - некоторое утверждение со свободным параметром) верно. Это не совсем аксиома, это следствие из определения истинности в логике предикатов. Подробнее изучается в матлоге (см., например, Верещагин, Шень "Языки и исчисления"), но оно вам вряд ли сейчас нужно.

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1519071 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519002 писал(а):

в дискретном пространстве все подмножества множества $X$ должны быть дискретными

Так и есть, и это легко проверяется.

Someone в сообщении #1519071 писал(а):

Если говорить о подмножествах числовой прямой, то множество $M\subseteq\mathbb R$ дискретно, если каждая точка $x\in M$ содержится в некотором интервале, не содержащем других точек множества $M$.

Это понятно, если множество состоит из отдельных точек, например, если $M=\{1, 2, 3\}$, то $x=2$ содержится в интервале $(1,5; \;2,5)$, не содержащем других точек множества $M$.

Но если множество $M$ это интервал $(a, b)$, то никакая его точка не содержится в некотором интервале, не содержащем других точек интервала $(a, b)$ . Разве нет?

Если да, то $X=\mathbb R$ не может браться в качестве основного множества дискретного пространства (поскольку среди его подмножеств имеются антидискретные множества, то есть интервалы).

Но Википедии стоит:

Цитата:

Пусть $X$ — некоторое множество,

-- значит, можно взять $X=\mathbb R$ --

Цитата:

а $\mathcal{T}$ — семейство всех его подмножеств. Тогда $\mathcal{T}$ является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара $(X,{\mathcal {T}})$ называется дискретным топологическим пространством.

Someone в сообщении #1519071 писал(а):

Что за учебник Вы читаете?

Это из интернета -- https://helpiks.org/5-83257.html

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519103 писал(а):

Это из интернета -- https://helpiks.org/5-83257.html

Присоединюсь к совету не читать интернет. Это может очень сильно запутать.