Гравитационное поле внутри массивной сферы

[Someone]

epros в сообщении #1511058 писал(а):

А с разрывной метрикой особенности возникают прямо-таки на пустом месте, где никакой материи и не предполагалось. Как в таком случае можно посчитать ТЭИ я просто не представляю.

Условия на поверхности склейки не требуют непрерывности координат или метрического тензора при переходе из одной области в другую. Координаты в этих двух областях вообще никак не связаны. Связь между ними есть только на самой поверхности склейки. Там есть два требования:
1) обе области должны индуцировать на поверхности склейки одну и ту же метрику (возможно, выраженную в разных координатах);
2) поверхностный тензор энергии-импульса определённым образом связан со скачком тензора внешней кривизны поверхности в склеиваемых областях.

Поэтому для нахождения поверхностного тензора энергии-импульса вычисляем внешнюю кривизну поверхности склейки в каждой из областей и по этим двум тензорам определяем требуемое. Подробности смотрите в МТУ, § 21.13.

[epros]

Geen в сообщении #1511113 писал(а):

Ну и какие проблемы? Требуем совпадения индуцированных метрик и совпадения тензоров внешней кривизны. Этого достаточно для связи систем координат в областях по разные стороны поверхности.

Да проблемы-то очень простые. Вот, скажем, есть плоскость с декартовыми координатами. В точке $(0,0)$ задан вектор с координатами, скажем, $(1,1)$. А потом мы берём и уменьшаем вдвое масштаб координаты $x$ в области $x<0$ (а в области $x>0$ всё оставляем как есть). Какие стали координаты у данного вектора после такого преобразования координат?

-- Чт мар 25, 2021 21:13:23 --

Someone в сообщении #1511147 писал(а):

Поэтому для нахождения поверхностного тензора энергии-импульса вычисляем внешнюю кривизну поверхности склейки в каждой из областей и по этим двум тензорам определяем требуемое.

Замечательно. Два набора компонент одного и того же ТЭИ вместо одного, как положено.

А теперь давайте вот для этого Вашего решения с метрикой, имеющей разрыв прямо на тяготеющем слое:

Someone в сообщении #894305 писал(а):

Таким образом,

$$ds^2=\begin{cases}\left(1-\frac{r_g}{r_1}\right)c^2dt^2-dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)\text{ при }0\leqslant r\leqslant r_1,\\ \left(1-\frac{r_g}r\right)c^2dt^2-\frac 1{1-\frac{r_g}r}dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)\text{ при }r>r_1.\end{cases}\eqno(27)$$

Здесь коэффициент $g_{11}=-e^{\lambda}$ имеет разрыв на поверхности склейки $r=r_1$.

посчитаем ТЭИ этого тяготеющего слоя.

[Geen]

epros в сообщении #1511151 писал(а):

посчитаем ТЭИ этого тяготеющего слоя.

По моей ссылке выписаны компоненты - формулы 31-33.

[epros]

Geen в сообщении #1511174 писал(а):

По моей ссылке выписаны компоненты - формулы 31-33.

В каких координатах? Внешних или внутренних?

epros в сообщении #1511151 писал(а):

Какие стали координаты у данного вектора после такого преобразования координат?

[Geen]

epros в сообщении #1511224 писал(а):

Внешних или внутренних?

В координатах, заданных на самой границе, конечно - для трёхмерного тензора это естественно.

[epros]

Geen в сообщении #1511228 писал(а):

В координатах, заданных на самой границе, конечно - для трёхмерного тензора это естественно.

А какой смысл в чём-то, заданном в координатах на самой границе, если нужно что-то в координатах, заданных на многообразии? Например, хотелось бы увидеть какие-нибудь $\delta(r-R)$, перед которыми будут стоять поверхностные плотности соответствующих компонент ТЭИ.

Это как бы если на мой другой вопрос:

epros в сообщении #1511151 писал(а):

Какие стали координаты у данного вектора после такого преобразования координат?

Вы ответили бы: "В координатах, заданных на линии $x=0$, вектор равен $(1)$". И зачем мне что-то знать про какой-то одномерный вектор, если вопрос был про вектор на плоскости?

[schekn]

epros в сообщении #1511026 писал(а):

Хотелось бы видеть одно решение в общих координатах для всего многообразия, включая выражение для ТЭИ в этих координатах. И такие решения есть.

А чем вас не устраивает решение, когда все три области - вне оболочки, внутри (тонкая но конечных размеров) и внутренняя были в одной координатной системе - стандартной и требовать непрерывность компонент метрики на двух границах, как это делается в пар. 100 ЛЛ-2 или у Вайнберга, когда он рассматривает коллапс пылевого облака?
Может быть именно в стандартных координатах возможно требование непрерывности $g_{rr}$ на поверхности и это следует из требования одинаковой индуцированной метрики на поверхности. Но я такого доказательства не видел.

[realeugene]

epros в сообщении #1511246 писал(а):

А какой смысл в чём-то, заданном в координатах на самой границе, если нужно что-то в координатах, заданных на многообразии? Например, хотелось бы увидеть какие-нибудь $\delta(r-R)$, перед которыми будут стоять поверхностные плотности соответствующих компонент ТЭИ.

Например, двумерный (2+1-мерный) ТЭИ конечен, и это, наверное, позволяет обойтись без дельта-функции непонятно в каких координатах.

[epros]

realeugene в сообщении #1511281 писал(а):

Например, двумерный (2+1-мерный) ТЭИ конечен, и это, наверное, позволяет обойтись без дельта-функции непонятно в каких координатах.

Не понял. ТЭИ - четырёхмерный тензор. Это значит, что трёхмерный тензор - не ТЭИ. Можете объяснить мне, как сделать из трёхмерного или двумерного тензора четырёхмерный?

И не понимаю, зачем обходиться без дельта-функций, ибо для бесконечно тонкого массивного слоя дельта-функция и должна быть.

[realeugene]

epros в сообщении #1511322 писал(а):

Можете объяснить мне, как сделать из трёхмерного или двумерного тензора четырёхмерный?

Никак. Тензор должен быть конечным.

epros в сообщении #1511322 писал(а):

И не понимаю, зачем обходиться без дельта-функций, ибо для бесконечно тонкого массивного слоя дельта-функция и должна быть.

Например, потому, что чтобы использовать обобщённые функции, необходимо задать пространства обобщённых и пробных функций. И как это сделать без метрики, которой нет до решения урвнений Эйнштейна - мне не очень понятно. То есть, нужно возвращаться к физическим основам и показывать, что путь предельного перехода не влияет на результат.

[Geen]

epros в сообщении #1511322 писал(а):

Не понял. ТЭИ - четырёхмерный тензор. Это значит, что трёхмерный тензор - не ТЭИ. Можете объяснить мне, как сделать из трёхмерного или двумерного тензора четырёхмерный?

Ну посмотрите лекцию - пересказывать её здесь как-то странно.

[epros]

realeugene в сообщении #1511435 писал(а):

И как это сделать без метрики, которой нет до решения урвнений Эйнштейна - мне не очень понятно.

Метрика есть. Кстати, для того чтобы получить вот это:

Someone в сообщении #894305 писал(а):

Таким образом,

$$ds^2=\begin{cases}\left(1-\frac{r_g}{r_1}\right)c^2dt^2-dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)\text{ при }0\leqslant r\leqslant r_1,\\ \left(1-\frac{r_g}r\right)c^2dt^2-\frac 1{1-\frac{r_g}r}dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)\text{ при }r>r_1.\end{cases}\eqno(27)$$

Здесь коэффициент $g_{11}=-e^{\lambda}$ имеет разрыв на поверхности склейки $r=r_1$.

не нужно было совершать множество телодвижений, ибо и так понятно, что внутри статической сферы - Минковский, а снаружи - Шварцшильд. А для любой заданной метрики можно найти ТЭИ. Для этого надо всего лишь дважды её продифференцировать.

Моё предложение отличается только тем, что перед этим нужно сделать простую замену координаты $r$, после которой масштабы координатной сетки снаружи и внутри приводятся в соответствие, в результате чего метрика становится непрерывной. Не требуются никакие пляски с бубном и вычислением скачка внешней кривизны гиперповерхности, а потом с раздумьями о том, как превратить трёхмерный тензор в четырёхмерный.

Geen в сообщении #1511479 писал(а):

Ну посмотрите лекцию - пересказывать её здесь как-то странно.

А если не пересказывая лекцию, а на простом примере? Пусть не тензор, а вектор. Пусть не четырёхмерный из трёхмерного, а двумерный из одномерного. Выше был простой пример, когда вектор определялся на плоскости прямо на линии разрыва метрики. Можно ли как-то восстановить этот вектор из информации об одномерных объектах, определённых на линии разрыва? По-моему, никак нельзя. Информация о компоненте, нормальной к линии разрыва, будет потеряна.

[Geen]

epros в сообщении #1511514 писал(а):

По-моему, никак нельзя.

Начнём с того, что так нельзя ставить задачу. Если Вы устраиваете разрыв по поверхности $x=0$, то эта поверхность на может принадлежать ни карте справа, ни карте слева.

А если нужно некий "вектор" "непрерывно продолжить" справа-налево, то есть формулы 84-85 (где для них ессть развёрнутое обоснование я не знаю).

[epros]

Geen в сообщении #1511556 писал(а):

Если Вы устраиваете разрыв по поверхности $x=0$, то эта поверхность на может принадлежать ни карте справа, ни карте слева.

Ну пусть. Я не против считать, что граница $x=0$ не принадлежит ни области $x<0$, ни области $x>0$.

Geen в сообщении #1511556 писал(а):

А если нужно некий "вектор" "непрерывно продолжить" справа-налево, то есть формулы 84-85 (где для них ессть развёрнутое обоснование я не знаю).

Ну да, есть векторное или тензорное поле, которое определено во всех трёх областях. В моём простом примере - это вектор, а в изначальной задаче - ТЭИ. В каком смысле при разрывной метрике имеет смысл что-то "непрерывно продолжать" - я не знаю, ибо некоторые вещи как раз по своей природе не являются непрерывными. Например, ТЭИ тонкого слоя по своей природе имеет особенность как раз на границе областей. Но если обеспечить непрерывность метрики, то такие вопросы просто не возникают, векторное или тензорное поле нормально продолжается из левой области в правую через границу, независимо от того, является ли оно непрерывным.

[Geen]

epros в сообщении #1511677 писал(а):

Но если обеспечить непрерывность метрики

непрерывность - это $C^0$? - ну и имеет ли смысл ради этого усложнять жизнь? (а жизнь существенно усложнится если выйти из статики)