(Как я изучал теорию множеств, окончание).
Прежде всего, теория вполне упорядоченных множеств --- вещь простая. Приведем пример утверждения оттуда, с доказательством.
Утверждение. Пусть --- вполне упорядоченное множество, и --- изоморфизм на свой начальный отрезок (т.е. --- инъективное отображение в себя, его образ --- начальный отрезок в , и тогда и только тогда, когда ). Тогда --- тождественное отображение на себя. Доказательство. Пусть
--- первый элемент из
. Рассмотрим элемент
. Заметим, что любой элемент
больше
, поэтому его образ больше
. Поэтому, если
, то в
нет элемента, который бы отображался на
. Это противоречит предположению, что
--- начальный отрезок в
. Значит,
.
Пусть
--- следующий элемент,
--- его образ. Если
, то
, противоречит инъективности
. Если
, то любой элемент
отображается на элемент, который
. Поэтому на
ничего не отображается. Это противоречит тому, что
--- начальный отрезок в
, содержащий
. Значит,
. И вообще всегда
, где
---
-й по порядку элемент в
. (Множество $A считаем бесконечным. Поскольку для конечных множеств нужное утверждение очевидно.)
Теперь пусть
--- элемент, следующий за всеми
. Тогда аналогичным рассуждением легко доказать, что
(Если
, то
--- один из
. Если же
, то на
ничего не отображается). И следующий за ним тоже отображается на себя, и т.д.
Наконец, рассмотрим общую ситуацию. Рассмотрим множество
всех элементов
со следующим свойством: "любой элемент
отображается на себя". Довольно ясно, что
--- начальный отрезок в
. А теперь расссуждение, вполне аналогичное приведенному выше, показывает, что первый элемент
, не лежащий в
, опять-таки должен отображаться на себя, и тем самым лежит в
. Противоречие. Значит, на самом деле
совпадает с
.
Вот. И другие утверждения в этой теории тоже несложны. Разве что некоторые конструкции немного более многоэтажны. Я осваивал это "по способу листочков". Т.е. прочитаю утверждение, осознаю, что оно значит, закрываю книжку, пытаюсь сам доказать. (Между делом, кстати, занимаясь чем-нибудь хозяйственным, типа посуду помыть и т.д.). Не получается --- открываю вновь, смотрю в доказательство бегло, пытаюсь очень приблизительно оттуда что-то схватить. Закрываю, опять обдумываю. И т.д. Иной раз совсем не идет, приходится внимательно смотреть дословно, что написано, и думать не отходя от текста.
Тут главное --- всякий матлогический формализм, аксиоматичность и т.д. оставить за бортом. (В Яковлеве объясняются аксиомы теории множеств, для полноты, но довольно неформально и без злоупотребления.) Я вот видел тут на форуме термин "аксиома фундирования", но что это такое не знаю и совершенно не интересно. То же про всякие "аксиому пары" и т.д. Рассуждаем на основе обычного здравого смысла. И уж ясно, что всякое "построение теории натуральных чисел на основе теории множеств" к черту. Теория множеств --- она для того, чтобы 1) иметь удобный язык, и 2) насчет бесконечных множеств было меньше туману. А вовсе не для того, чтоб высасывать себе головоломки из пальца на пустом месте.
В обязательном курсе нетривиальные теоретико-множественные рассуждения (конкретно, лемма Цорна) встречаются ровно в двух местах: (а) в доказательстве, что любое векторное пространство имеет базис (скажем,
как пространство над
), если уж не согласны это принять на веру, и (б) в теореме Хана-Банаха. И всё. Еще иногда в более специальных вопросах, в спецкурсах, в алгебре, топологии или матлогике, попадается (как правило,
опять-таки в виде леммы Цорна). Так что, я уверен, для Вас сейчас это не актуально.
-- 07.02.2021, 15:59 --Именно поэтому я и хочу для начала знакомства с теорией множеств осилить книгу, которая еще не университетская, но уже далеко не школьная, прям, ни разу не школьная!
Всё наоборот. То, что написано в Верещагине-Шене, не входит в университетскую программу. С другой стороны, эта книга имеет отрицательные черты "матшкольности" (главная из которых ---- мало объяснений; объяснения заменяются определениями и задачами. Если задача нейдёт, а спросить не у кого, то всё, тупик. Недостаточная последовательность изложения (оффтопность местами) Обучение по листочкам --- неплохо, когда есть у кого спросить или просто есть хороший учебник в классическом смысле).