Пришла пора представиться

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1504306 писал(а):

Нуу, теоретическая CS это довольно большая область, нет?

Большая, но очень специфическая. Нужно иметь сильную склонность именно в эту сторону.
Мейнстрим - это всё-таки анализ, геометрия, алгебра (в широком понимании этих терминов).

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1504309 писал(а):

Большая, но очень специфическая. Нужно иметь сильную склонность именно в эту сторону.

Угу.

[vpb]

Sender в сообщении #1504278 писал(а):

Всё-таки без базовых представлений о логике и теории множеств в математике невозможно никуда двигаться. Пусть это будет хотя бы наивная теория множеств и основы исчисления высказываний. Хотя бы чтобы понимать, чем обратная теорема отличается от противоположной, откуда берутся доказательства от противного и что это за кванторы такие, которыми всё напропалую утыкано.

Токмо не "наивная" (под этим словом обычно понимают ту, которая, грубо говоря, соответствует упомянутой книжке Верещагина-Шеня; и которая совсем не проста !), а "элементарная", т.е. теоретико-множественный язык (грубо говоря, первая глава Верещагина). А в остальном согласен.

Anton_Peplov в сообщении #1504281 писал(а):

Из теории множеств нужно понимать, что такое объединение, пересечение и разность множеств. Это всё. Уже мощность множества - излишнее понятие на этом этапе (хотя обычно его всё-таки дают в курсе математического анализа).

Из логики нужно:
1) понимать операции "и", "или", "не"
2) понимать, что такое "необходимо", "достаточно", "необходимо и достаточно", как они связаны между собой.
3) различать "для всех $x$ верно, что" и "существует $x$, для которого верно, что", и знать, как выглядят отрицания этих высказываний.

Да, согласен. А попросту: иметь способность (опыт, привычку) аккуратно рассуждать, с обычной (не математической) логикой.

Потом, несколько позже, полезно познакомиться с тем, что такое предикат, формула с кванторами и предикатами, машина Тьюринга, алгоритмы и т.д., но всё опять-таки на элементарном уровне.

-- 06.02.2021, 20:46 --

Так, собственно, в Калужнине что такое язык первого порядка уже и написано, чего же боле ...

[Sinoid]

vpb в сообщении #1504291 писал(а):

а самое главное неполная, в которой объяснений не хватает)

А объяснений не хватает во всех книгах, уверяю вас!

-- 07.02.2021, 01:24 --

arseniiv в сообщении #1504301 писал(а):

Проблема тут в том, что традиционно учебники матлогики и теории множеств не имеют целью рассказать именно это, они глубоко рассматривают свой предмет при условии, что базовая математическая грамотность уже есть. Кажется, учебник «основы математики», который вместо них тут нужен, ещё не написали. Возможно потому что ни в университетский курс, ни в школьный оно как-то не укладывается по разным причинам. Будем надеяться, что чудеса современной популяризации смогут надёжно закрыть этот пробел для тех, кому не везёт, а так его часто закрывает вводная глава в учебниках матанализа.

Именно поэтому я и хочу для начала знакомства с теорией множеств осилить книгу, которая еще не университетская, но уже далеко не школьная, прям, ни разу не школьная!

-- 07.02.2021, 01:38 --

vpb в сообщении #1504305 писал(а):

Да и не сдюжите Вы эту общую теорию скорее всего, потому что, чтобы её сдюжить, ум должен долго привыкать к абстракциям. И если Вы думаете, что уже привыкли к нужного уровня абстракциям из предшествующего опыта изучения математики --- скорее всего, ошибаетесь.

Если что, я уже осилил одну книгу примерно такого же уровня "Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики". Правда, с активным участием одного человека. И задачи я там прорешал почти все с его проверкой. Нет, ну, конечно, он меня наталкивал в нужную сторону, но решал-то я сам. Да, и, к примеру, в упомянутом мной задачнике по высшей алгебре даны указания ко многим задачам.

[vego]

Цитата:

Именно поэтому я и хочу для начала знакомства с теорией множеств осилить книгу, которая еще не университетская, но уже далеко не школьная, прям, ни разу не школьная!

Увы, нет такой книги на русском языке. На английском есть, а на русском есть только куча отличных книг для школьников/первокурсников, а дальше - пропасть.

[Sinoid]

vego в сообщении #1504324 писал(а):

Увы, нет такой книги на русском языке.

Да, как же нет? Я, к примеру, просматривал учебники для спецшкол. Да, по крутости по сравнению с обычными не идет ни в какое сравнение, но и до Верещагина, Шена им, извините, как до Альфы Центавра.

[vego]

На английском языке стандартным текстом по теории множеств для студентов математиков является Халмош
"Naive Set Theory". Верещагин и Шень идут дальше и задачи у них сложнее.

[Sinoid]

vego в сообщении #1504327 писал(а):

Верещагин и Шень идут дальше и задачи у них сложнее.

Даешь Верещагина, Шена в массы! И за державу не обидно...

[vego]

Верещагин и Шень к сожалению не очень подходят для самостоятельного изучения предмета.

[Sinoid]

Ровно также, как и другие книги, посвященные изложению данных разделов математики, совершенно не годятся для самостоятельного их изучения.

[vego]

Sinoid в сообщении #1504330 писал(а):

Ровно также, как и другие книги, посвященные изложению данных разделов математики, совершенно не годятся для самостоятельного их изучения.

А вы точно хотите изучить именно Верещагина и Шеня? Может проще освоить сначала материал изложенный в Халмоше, а потом продолжить если если захочется.

[Odysseus]

Sinoid в сообщении #1504330 писал(а):

Ровно также, как и другие книги, посвященные изложению данных разделов математики, совершенно не годятся для самостоятельного их изучения.

А вы пробовали следующие книги в отношении теории множеств?
Калужнин "Введение в общую алгебру" (первая глава)
Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа (первая глава, параграфы 1-3)
Александров "Введение в теорию множеств и общую топологию" (первая глава)
Натансон "Теория функций вещественной переменной" (первая глава)
Калужнин "Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики"

Первые две выше уже рекомендовали.

Но в любом случае, если появляются какие-то вопросы - задавайте их.

[Emergency]

Sinoid, Если вы попросите разных математиков назвать самую понятную книгу, то скорее всего получите разные ответы. Это из-за индивидуальных свойств мозга.
И есть два пути - а) грызть и биться головой об стену пока не наступит просветление; б) искать своего понятного автора после которого другие становятся проще.
Из этих путей, опять же, каждый выбирает свой.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1504322 писал(а):

А объяснений не хватает во всех книгах, уверяю вас!

По этому поводу две мысли.

1) То, что в какой-то книге что-то кому-то непонятно, может быть по разным причинам. Или человек сам непонятливый, или знаний пока недостаточно, или, что весьма часто, книга правда плохая. Или еще что. Или подумать подольше надо. (Я по таким вещам еще в начале своего пребывания на форуме целый трактат писал, потом забросил; поищите). Короче, непонимание само по себе ничего, кроме факта непонимания данным человеком данной книги и в данный момент, не означает.

2) Есть книги очень понятные. Калужнин --- выдающийся пример. Попробуйте, Вам понравится !

-- 07.02.2021, 10:13 --

Sinoid в сообщении #1504322 писал(а):

осилить книгу, которая еще не университетская,

Вообще-то то, что написано во второй главе Верещагина-Шеня, в программу мехмата МГУ не входит. Разве что в рамках спецкурса. Например, есть такое пособие Архангельский, Канторовская теория множеств.

Собственно, оно в математике почти нигде не нужно, разве что с точки зрения любопытства. Достаточно, и то чрезвычайно изредка, уметь пользоваться т.наз. леммой Цорна. (Ну, про нее я мнение коллеги писал выше...).

Основные факты в этой области такие. Понятие вполне упорядоченного множества. Изоморфизм вполне упорядоченных множеств, порядковые типы. Понятие о трансфинитных числах. Доказательство теоремы о полном упорядочении, с помощью аксиомы выбора (которая считается очевидной). Лемма Цорна, принцип максимума в разных формах. Трансфинитная индукция, построение по индукции. Теорема о сравнении мощностей. Теорема, что сумма любой бесконечной мощности с собой, а также произведение на себя --- та же самая мощность. (Ну, вроде как всё...).

Как лично я этим овладел. Лет в 45 стал я читать Бурбаков. (Зачем --- отдельная песня, тут писать неуместно. На тот момент я уже лет 20 был кандидат и отчасти даже состоявшийся математик. Ладно, чё про себя любимого разглагольствовать...) Сначала первый том, "Теория множеств". Первую главу посмотрел, гляжу --- некий формализм, какие-то формулы, термы, ну её побоку, совершенно вникать не стал. И вторую примерно так же, кроме последнего параграфа, который просмотрел повнимательнее (там про эквивалентности, разбиение на классы и т.д.). Самое интересное в третьей. Сначала там про частично упорядоченные множества идет много общих концепций. Просмотрел их описания, ознакомился с утверждениями про них, и доказал их, при необходимости, самостоятельно (по схеме прочитали теорему, закрыли книжку, доказали сами). Тем самым я некие вещи, которые в результате предыдущей жизни были в голове, которые явно, а которые неявно, как бы перебрал, перетряхнул и внимательно уложил опять. Примерно как большую кучу шмотья перебрать и разложить по полочкам. А затем идет теория вполне упорядоченных множеств.

(Сейчас в этом экскурсе в мою математическую биографию придется сделать перерыв.)

[vpb]

Кстати, по теории множеств есть еще текст А.В.Яковлева в интернетах (либгене), в своем роде довольно недурной.

Сейчас еще раз просмотрел (так и называется "Теория множеств"). Кое-что он там переусложнил, возможно, (скажем, т.Кантора-Бернштейна-Шредера проще всего доказывать как в Колмогорове-Фомине), но в целом текст очень хороший, годный. Не знаю, стоит ли сейчас читать, но на будущее в виду имейте.