Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1501751 писал(а):

Как это можно обнаружить?

Попробую показать, только во избежание недоразумений, сформулируйте своё предложение максимально точно.

[arseniiv]

Odysseus в сообщении #1501764 писал(а):

В общем, в обоих случаях мой пойнт был в том, что когда речь идет о предложении соглашения для некоей "неопределенности", то не всех оно сможет убедить.

Это да, но кстати важна аудитория и степень убеждения. Некоторые какое-то время считают, что логично $(-1)\cdot(-1) = -1$, но математика почему-то не считает это неопределённостью. Ситуация с тем, что вообще видится неопределённость (не в смысле предельных неопределённостей, полезность которых я обсуждать не могу, хотя вот в учебнике Зорича они например не поминались, насколько я в курсе), которую мы видим, в оптимистичном случае временная и просто исторический казус, и в науках вообще, и математике не единственный.

Odysseus в сообщении #1501764 писал(а):

Но на самом деле это, к сожалению, может быть аргументом в пользу того, чтобы не определять $0^0$, как раз потому, что не все могут быть согласны с логичностью данного определения, т.е. не будут его полностью принимать, и значит это может создавать путаницу.

Боюсь, мы не очень хорошо представляем реальное распределение мнений. Может статься, что $0^0 = 0$ придерживаются очень немногие, и даже неопределённость значения может быть как «рационализованная» точка зрения не у многих. Разумеется в отсутствии сколь-угодно полной информации многие будут осторожны и при необходимости выдать какое-то мнение говорить, что лучше оставить значение неопределённым. Если бы этот вопрос был очень-очень важным для экономии усилий и упрощения картины мира в целом, он бы живо рассосался, но он не таков и потому мы имеем (не оформленные сколь-нибудь сознательно) фактоиды типа кажущейся непрерывности возведения в степень всюду.

Утундрий в сообщении #1501769 писал(а):

Попробую показать, только во избежание недоразумений, сформулируйте своё предложение максимально точно.

Не могу быть точнее источника, который сам пытаюсь уточнить:

Утундрий в сообщении #1501741 писал(а):

И вот, когда я, допустим, вижу

$$\text{В нашем доме завсегда } 0^0=1 \text{, ура!}$$

то мне будет крайне пренеприятно внезапно обнаружить, что не завсегда.

Как вы видите ситуацию, в которой вы обнаружите, что $0^0\ne 1$? Потому что (1) если вы даже не можете представить такой ситуации, то опасение рациональнее было бы отвергнуть, ну или другим людям его не учитывать при вычислении наиболее полезной точки зрения; и (2) если вы можете представить такую ситуацию, стоит разобраться в ней и превратить её в достаточно строгий аргумент или получить что-то другое (например, возможно, она казалась не такой, какой оказывается в итоге).

Заметьте, что вы не боитесь обнаружить, к примеру, что аргумент синуса должен быть в градусах. (Это плохой пример, но лучше не придумалось.)

-- Вт янв 19, 2021 00:18:17 --

(Оффтоп)

Odysseus
Кстати, проблема с натуральностью нуля могла бы наверно разрешиться неплохим образом, если бы кто-то придумал два коротких слова (и обозначения без плюсиков и знаков сравнения?..) для положительных и неотрицательных целых чисел, а «натуральные» постепенно начали бы использоваться так же недоуточнённо в отсутствие контекста, как и просто слово «числа»; и не привязывал ни к одному из новых слов коннотации какой-то связи с естественными языками, например «использованием для счёта» (чем обычно дискриминируют ноль).

[Утундрий]

arseniiv
Много слов. Вы предлагаете всегда полагать $0^0=1$? Да или нет?

[arseniiv]

Много слов в предположении, что вы хотели ясности, иначе я бы ничего не отвечал вообще. Я предлагаю $0^0 = 1$, да, притом главным образом как частный случай определения степени элемента моноида (то есть это не приходится постулировать отдельным утверждением «$0^0 = 1$»), но в этой теме я предлагал вообще рассматривать эту ситуацию через возможные аргументы, с упором на убедительные аргументы. Вы пока только приводили сомнения и не очень похоже вчитывались в то, что я старательно выписывал (потому что всё выписанное не ново) в надежде получить какую-то аргументацию и в вашем случае. И это в принципе уже было довольно успешным, хотя я рассчитывал на что-то сильнее чем опасения в том, что возникнут непредвиденные противоречия неизвестно в какой области математики.

(О другом. Совсем не хочется отвлекать эту тему на натуральность нуля, но…)

Я только что понял, что утверждение о том, что «счётные числа» («числа, используемые при счёте») не содержит нуля, на самом деле спорно. Если мы собрались что-то считать и ничего не нашли, мы ничего не скажем, но насчитаем ноль вещей. То, что люди при этом как правило никогда не говорят «ноль» явно, можно объяснять речевой экономией.

(Мало того, в лингвистике есть точка зрения, что слова типа пять обозначают «не менее чем пять». В таком случае можно решить, что при счёте с вербализацией мы просто постоянно заявляем всё более лучшие оценки числа предметов: не менее одного, не менее двух и т. д.; разумеется самую слабую оценку «не менее нуля» озвучивать нет смысла; внутренняя же речь, если говорить про счёт про себя, во многом подражает внешней.)

Предыдущее обходит стороной вид соответствия порядковых числительных и ординалов и соответствие этого всему остальному.

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1501784 писал(а):

Вы предлагаете всегда полагать $0^0=1$? Да или нет?

arseniiv в сообщении #1501787 писал(а):

Я предлагаю $0^0 = 1$, да, притом главным образом как частный случай определения степени элемента моноида (то есть это не приходится постулировать отдельным утверждением «$0^0 = 1$»), но в этой теме я предлагал вообще рассматривать эту ситуацию через возможные аргументы, с упором на убедительные аргументы.

Спасибо за развёрнутый ответ. Развлекайтесь дальше без меня.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Прекрасно, потратить столько времени у нескольких людей на реакции и в результате просто уйти.

-- Вт янв 19, 2021 01:31:12 --

Утундрий
Но серьёзно, я постарался описать рамки темы в первом посте с самого начала; что вы ожидали от обсуждения? Зачем было всё это?

[Mikhail_K]

Утундрий
Мне интересно.
Например, предположим, что я предлагаю всегда считать $0^0=1$. Да.
Каким образом "можно обнаружить" (как Вы говорите), что $0^0\neq 1$, или что $0^0$ "не всегда" равно $1$?

[Rak so dna]

Mikhail_K в сообщении #1501791 писал(а):

Например, предположим, что я предлагаю всегда считать $0^0=1$.

Используем

arseniiv в сообщении #1501661 писал(а):

1. Мы любим $x^{y + z} = x^y x^z$, это самая основа возведения в степень...

для $x=0, y=1, z=-1$, получим $\frac{0}{0}=0^0=1$. Т.о., определив $0^0$, мы тем самым определили $\frac{0}{0}$

[arseniiv]

Почему определили? Мы получим $1 = 0^0 = 0^1\cdot 0^{-1} = 0\cdot 0^{-1}$. Никакое значение для $0^{-1}$ не сделает это равенство верным.

-- Сб фев 06, 2021 17:49:03 --

Это совершенно обычное доказательство необратимости нуля в нетривиальном кольце.

[Rak so dna]

arseniiv тогда я не совсем понимаю как Вы собираетесь применять

arseniiv в сообщении #1501661 писал(а):

1. Мы любим $x^{y + z} = x^y x^z$, это самая основа возведения в степень...

при $x = 0$ и $y+z=0$, (нас ведь интересует именно случай $0^0$)

[Rak so dna]

arseniiv снимаю вопрос, Вы же в $x^{y+z}=x^yx^z$ при $x=0, y>0, z>0$ убрали только ограничения $y=0, z=0$, а не полностью

[arseniiv]

Да хоть бы и полностью, в самом деле. То, что я написал, никуда не девается.

-- Сб фев 06, 2021 22:45:05 --

Ведь там слева будет 1, справа 0, какие бы $y = -z$ ни выбрали.

[Rak so dna]

arseniiv т.е., как я и решил изначально, в $x^{y+z}=x^yx^z$ вы разрешаете все действительные $y,z$ и для случая $x=0$ ?

[arseniiv]

Не то чтоб «разрешаю». Мы хотим расширить возможные показатели степени побольше, но выходит, что ноль — безусловно, а вот отрицательные для неположительных вещественных оснований, если нас интересует и вещественный результат, ни в какую. Хотели, но не получили. Я «разрешал» захотеть.

[Rak so dna]

И всё-таки есть случаи, когда значение $0^0=0$ лучше чем $0^0=1$.
Возьмём неравенство Шура, в частности:
Если $t$ натуральное и чётное, то $x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-x)(y-z)+z^t(z-x)(z-y)\geqslant0$ верно для всех действительных $x,y,z$ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда

$$\left[\begin{array}{rcrcrcrcr} x=y=z &\text{(1)}\\ x=0, y=z &\text{(2)}\\ y=0, z=x &\text{(3)}\\ z=0, x=y &\text{(4)}\\ \end{array}\right$$

Пусть мы хотим распространить это неравенство на случай $t=0$, очевидно, что в случае ненулевых переменных $x,y,z$ оно верно, поскольку
$2(x^0(x-y)(x-z)+y^0(y-x)(y-z)+z^0(z-x)(z-y)) = (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2.$
Разберём случаи, когда хотя бы одна переменная ноль:
Положим $0^0=1$, тогда при $t=0, z=0$ имеем $x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-x)(y-z)+z^t(z-x)(z-y)=x(x-y)+y(y-x)+xy=x^2-xy+y^2\geqslant0$
При $(4)$ равенство уже не достигается. Т.о., в силу симметрии, при $t=0$ неверны условия $(2)$ и $(3)$. И теперь, разрешив $t=0$, придется запретить $(2), (3), (4).$

Пусть теперь $0^0=0$, тогда при $t=0, z=0$ имеем $x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-x)(y-z)+z^t(z-x)(z-y)=x(x-y)+y(y-x)=(x-y)^2\geqslant0,$
теперь все первоначальные условия в силе.