2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
arseniiv в сообщении #1501751 писал(а):
Как это можно обнаружить?
Попробую показать, только во избежание недоразумений, сформулируйте своё предложение максимально точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 22:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Odysseus в сообщении #1501764 писал(а):
В общем, в обоих случаях мой пойнт был в том, что когда речь идет о предложении соглашения для некоей "неопределенности", то не всех оно сможет убедить.
Это да, но кстати важна аудитория и степень убеждения. Некоторые какое-то время считают, что логично $(-1)\cdot(-1) = -1$, но математика почему-то не считает это неопределённостью. :-) Ситуация с тем, что вообще видится неопределённость (не в смысле предельных неопределённостей, полезность которых я обсуждать не могу, хотя вот в учебнике Зорича они например не поминались, насколько я в курсе), которую мы видим, в оптимистичном случае временная и просто исторический казус, и в науках вообще, и математике не единственный.

Odysseus в сообщении #1501764 писал(а):
Но на самом деле это, к сожалению, может быть аргументом в пользу того, чтобы не определять $0^0$, как раз потому, что не все могут быть согласны с логичностью данного определения, т.е. не будут его полностью принимать, и значит это может создавать путаницу.
Боюсь, мы не очень хорошо представляем реальное распределение мнений. Может статься, что $0^0 = 0$ придерживаются очень немногие, и даже неопределённость значения может быть как «рационализованная» точка зрения не у многих. Разумеется в отсутствии сколь-угодно полной информации многие будут осторожны и при необходимости выдать какое-то мнение говорить, что лучше оставить значение неопределённым. Если бы этот вопрос был очень-очень важным для экономии усилий и упрощения картины мира в целом, он бы живо рассосался, но он не таков и потому мы имеем (не оформленные сколь-нибудь сознательно) фактоиды типа кажущейся непрерывности возведения в степень всюду.


Утундрий в сообщении #1501769 писал(а):
Попробую показать, только во избежание недоразумений, сформулируйте своё предложение максимально точно.
Не могу быть точнее источника, который сам пытаюсь уточнить:
    Утундрий в сообщении #1501741 писал(а):
    И вот, когда я, допустим, вижу $$\text{В нашем доме завсегда   } 0^0=1 \text{, ура!}$$то мне будет крайне пренеприятно внезапно обнаружить, что не завсегда.
Как вы видите ситуацию, в которой вы обнаружите, что $0^0\ne 1$? Потому что (1) если вы даже не можете представить такой ситуации, то опасение рациональнее было бы отвергнуть, ну или другим людям его не учитывать при вычислении наиболее полезной точки зрения; и (2) если вы можете представить такую ситуацию, стоит разобраться в ней и превратить её в достаточно строгий аргумент или получить что-то другое (например, возможно, она казалась не такой, какой оказывается в итоге).

Заметьте, что вы не боитесь обнаружить, к примеру, что аргумент синуса должен быть в градусах. (Это плохой пример, но лучше не придумалось.)

-- Вт янв 19, 2021 00:18:17 --

(Оффтоп)

Odysseus
Кстати, проблема с натуральностью нуля могла бы наверно разрешиться неплохим образом, если бы кто-то придумал два коротких слова (и обозначения без плюсиков и знаков сравнения?..) для положительных и неотрицательных целых чисел, а «натуральные» постепенно начали бы использоваться так же недоуточнённо в отсутствие контекста, как и просто слово «числа»; и не привязывал ни к одному из новых слов коннотации какой-то связи с естественными языками, например «использованием для счёта» (чем обычно дискриминируют ноль).

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
arseniiv
Много слов. Вы предлагаете всегда полагать $0^0=1$? Да или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 23:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Много слов в предположении, что вы хотели ясности, иначе я бы ничего не отвечал вообще. Я предлагаю $0^0 = 1$, да, притом главным образом как частный случай определения степени элемента моноида (то есть это не приходится постулировать отдельным утверждением «$0^0 = 1$»), но в этой теме я предлагал вообще рассматривать эту ситуацию через возможные аргументы, с упором на убедительные аргументы. Вы пока только приводили сомнения и не очень похоже вчитывались в то, что я старательно выписывал (потому что всё выписанное не ново) в надежде получить какую-то аргументацию и в вашем случае. И это в принципе уже было довольно успешным, хотя я рассчитывал на что-то сильнее чем опасения в том, что возникнут непредвиденные противоречия неизвестно в какой области математики.


(О другом. Совсем не хочется отвлекать эту тему на натуральность нуля, но…)

Я только что понял, что утверждение о том, что «счётные числа» («числа, используемые при счёте») не содержит нуля, на самом деле спорно. Если мы собрались что-то считать и ничего не нашли, мы ничего не скажем, но насчитаем ноль вещей. То, что люди при этом как правило никогда не говорят «ноль» явно, можно объяснять речевой экономией.

(Мало того, в лингвистике есть точка зрения, что слова типа пять обозначают «не менее чем пять». В таком случае можно решить, что при счёте с вербализацией мы просто постоянно заявляем всё более лучшие оценки числа предметов: не менее одного, не менее двух и т. д.; разумеется самую слабую оценку «не менее нуля» озвучивать нет смысла; внутренняя же речь, если говорить про счёт про себя, во многом подражает внешней.)

Предыдущее обходит стороной вид соответствия порядковых числительных и ординалов и соответствие этого всему остальному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
Утундрий в сообщении #1501784 писал(а):
Вы предлагаете всегда полагать $0^0=1$? Да или нет?

arseniiv в сообщении #1501787 писал(а):
Я предлагаю $0^0 = 1$, да, притом главным образом как частный случай определения степени элемента моноида (то есть это не приходится постулировать отдельным утверждением «$0^0 = 1$»), но в этой теме я предлагал вообще рассматривать эту ситуацию через возможные аргументы, с упором на убедительные аргументы.

Спасибо за развёрнутый ответ. Развлекайтесь дальше без меня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 23:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Прекрасно, потратить столько времени у нескольких людей на реакции и в результате просто уйти. :facepalm:

-- Вт янв 19, 2021 01:31:12 --

Утундрий
Но серьёзно, я постарался описать рамки темы в первом посте с самого начала; что вы ожидали от обсуждения? Зачем было всё это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4607
Утундрий
Мне интересно.
Например, предположим, что я предлагаю всегда считать $0^0=1$. Да.
Каким образом "можно обнаружить" (как Вы говорите), что $0^0\neq 1$, или что $0^0$ "не всегда" равно $1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение06.02.2021, 15:29 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
Mikhail_K в сообщении #1501791 писал(а):
Например, предположим, что я предлагаю всегда считать $0^0=1$.
Используем
arseniiv в сообщении #1501661 писал(а):
1. Мы любим $x^{y + z} = x^y x^z$, это самая основа возведения в степень...
для $x=0, y=1, z=-1$, получим $\frac{0}{0}=0^0=1$. Т.о., определив $0^0$, мы тем самым определили $\frac{0}{0}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение06.02.2021, 15:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Почему определили? Мы получим $1 = 0^0 = 0^1\cdot 0^{-1} = 0\cdot 0^{-1}$. Никакое значение для $0^{-1}$ не сделает это равенство верным.

-- Сб фев 06, 2021 17:49:03 --

Это совершенно обычное доказательство необратимости нуля в нетривиальном кольце.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение06.02.2021, 16:11 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
arseniiv тогда я не совсем понимаю как Вы собираетесь применять
arseniiv в сообщении #1501661 писал(а):
1. Мы любим $x^{y + z} = x^y x^z$, это самая основа возведения в степень...
при $x = 0$ и $y+z=0$, (нас ведь интересует именно случай $0^0$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение06.02.2021, 20:01 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
arseniiv снимаю вопрос, Вы же в $x^{y+z}=x^yx^z$ при $x=0, y>0, z>0$ убрали только ограничения $y=0, z=0$, а не полностью

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение06.02.2021, 20:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Да хоть бы и полностью, в самом деле. То, что я написал, никуда не девается.

-- Сб фев 06, 2021 22:45:05 --

Ведь там слева будет 1, справа 0, какие бы $y = -z$ ни выбрали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение06.02.2021, 20:55 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
arseniiv т.е., как я и решил изначально, в $x^{y+z}=x^yx^z$ вы разрешаете все действительные $y,z$ и для случая $x=0$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение06.02.2021, 21:12 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Не то чтоб «разрешаю». Мы хотим расширить возможные показатели степени побольше, но выходит, что ноль — безусловно, а вот отрицательные для неположительных вещественных оснований, если нас интересует и вещественный результат, ни в какую. Хотели, но не получили. Я «разрешал» захотеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение07.02.2021, 15:45 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
И всё-таки есть случаи, когда значение $0^0=0$ лучше чем $0^0=1$.
Возьмём неравенство Шура, в частности:
Если $t$ натуральное и чётное, то $x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-x)(y-z)+z^t(z-x)(z-y)\geqslant0$ верно для всех действительных $x,y,z$ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда
$$\left[\begin{array}{rcrcrcrcr}
x=y=z &\text{(1)}\\
x=0, y=z &\text{(2)}\\
y=0, z=x &\text{(3)}\\
z=0, x=y &\text{(4)}\\
\end{array}\right$$ Пусть мы хотим распространить это неравенство на случай $t=0$, очевидно, что в случае ненулевых переменных $x,y,z$ оно верно, поскольку
$2(x^0(x-y)(x-z)+y^0(y-x)(y-z)+z^0(z-x)(z-y)) = (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2.$
Разберём случаи, когда хотя бы одна переменная ноль:
Положим $0^0=1$, тогда при $t=0, z=0$ имеем $x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-x)(y-z)+z^t(z-x)(z-y)=x(x-y)+y(y-x)+xy=x^2-xy+y^2\geqslant0$
При $(4)$ равенство уже не достигается. Т.о., в силу симметрии, при $t=0$ неверны условия $(2)$ и $(3)$. И теперь, разрешив $t=0$, придется запретить $(2), (3), (4).$

Пусть теперь $0^0=0$, тогда при $t=0, z=0$ имеем $x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-x)(y-z)+z^t(z-x)(z-y)=x(x-y)+y(y-x)=(x-y)^2\geqslant0,$
теперь все первоначальные условия в силе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group