Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)

[arseniiv]

Я был бы признателен, если кто-то спотыкался по какому-то поводу о статьи про то, чем определять $0^0$, содержащие историю разной аргументации и вообще то, какая она сейчас есть в мире из самой на данный момент убедительной. Я думаю написать пост — не здесь — с наиболее убедительной аргументацией за $0^0 = 1$, и мне было бы полезно знать эту социальную проблему математиков получше (ради контрконтраргументов).

Предлагаю воздержаться от постов, которые не содержат ссылок на статьи (в журналах или просто где-нибудь странички в интернете) или отдельные откуда-то стащенные аргументы за то или иное, но аргументы должны быть достаточно подробными: просто «неопределённость же» мне не интересно, я такое видел и не уверен что это может быть основанием для рационального выбора точки зрения кем-то, кто решит, что он должен иметь взвешенную точку зрения, и предлагаю воздержаться вообще от флейма.

Я в курсе, что тут было наверно больше десяти тем про $0^0$, но не думаю, что от них в том виде, в котором они получились, есть достаточно пользы, и потому открываю эту. Надеюсь, она не будет никуда перенесена и ни с чем слита. Надеюсь на сдержанность и отсутствие флейма; и если этой теме здесь быть пустой при таких ограничениях, то уж лучше пустой — это будет намного лучше, чем флейм.

[Nemiroff]

Немного есть тут
https://arxiv.org/abs/math/9205211

[novichok2018]

А что тут Вам кажется необычным? Стандартная неопределённость, раскрывается как и остальные. Значение не обязательно 1, может быть любым. Как с любой неопределённостью, это перетягивание каната, что перетянет - верх или низ.

[StaticZero]

novichok2018, если я правильно понял, то речь о том, чтобы определить выражение $0^0$ as is, а не о неопределённостях.

[Odysseus]

arseniiv в сообщении #1501240 писал(а):

Я думаю написать пост — не здесь — с наиболее убедительной аргументацией за $0^0 = 1$, и мне было бы полезно знать эту социальную проблему математиков получше (ради контрконтраргументов).

Не искал здесь другие темы про $0^0$, но если определять это как количество отображений из пустого множества в пустое (или использовать последнее как мотивацию), то в самом деле будет $1$.

[novichok2018]

Но если неопределённость при раскрытии может любые значения принимать, то получится ли убедительно аргументировать, что это именно и только единица?

[Odysseus]

novichok2018 Мне кажется, вы говорите про несколько другое. Про неопределенность, любые значения и "перетягивание каната между верхом и низом" обычно говорят, когда речь идет о предельных переходах в каком-то выражении. Числитель и знаменатель стремятся к нулю, используются стандартные правила для раскрытия неопределенности и т.д. Но здесь пределов нет.

[arseniiv]

Odysseus в сообщении #1501274 писал(а):

Мне кажется, вы говорите про несколько другое.

И это один из типичных путей развития обсуждения про $0^0$, кстати. Раз неопределённость, значит негоже, хотя теоремы о пределах никак не нарушатся (насколько я в курсе — и вот тут хорошо бы получить твёрдое да), если придать значение «конкретному выражению» $0^0$.

Nemiroff
Спасибо! К сожалению, сам я эту статью уже знаю, но зато кто-то другой посмотрит.

-- Сб янв 16, 2021 00:31:47 --

arseniiv в сообщении #1501278 писал(а):

насколько я в курсе

То есть например теорема о пределе суперпозиции непрерывной функции (которой будем брать $(x, y)\mapsto x^y$) с чем-нибудь там. В точке $(0, 0)$ мы никак не сможем сделать эту функцию непрерывной, как ни определяй, так что эта теорема нам не даст никаких несоответствий, какое мы значение ни возьми, и стало быть причины не брать никакое просто потому что в пределах определённого вида получается что угодно, нет. Могла бы быть причина, если бы был выбор лучше чем 1, и вот такие аргументы я тоже собираю. Например аргумент в пользу $0^0 = 0$, потому что так будет одинаковее для всех осмысленных вещественных показателей степени. На мой взгляд единица не делает ситуацию некрасивой, и например если ограничиться лишь натуральночисленными показателями, мы получим последовательность $1, 0, 0, 0, \ldots$, занимающую важный угол: её производящая функция (и обычная, и экспоненциальная) равна 1 и потому же это нейтральный элемент для свёртки последовательностей. (Кроме того положить $0^0 = 0$ не будет согласовываться например с наиболее общими применимыми определениями возведения в степень, например нулевая степень чего-то в моноиде всегда нейтральный элемент по умножению — и делать исключение для поглощающих элементов выглядит требующим отдельных оснований.)

[lel0lel]

Есть ли возможность различать нули в следующих записях $0^0$, $\frac{0}{0}$? По-моему ответ отрицательный, нет никаких причин считать их разными. Тогда можно определить $0^0=\lim\limits_{x\to 0}x^x=1$

[grizzly]

На всякий случай напомню про англовики. Там много всяких ссылок (и на Кнута тоже), но я сам поленился их просмотреть. Что-то грамотное и полезное в контексте вопроса там ещё может быть на длинной Talk-странице (тоже не смотрел, но знаю, что обычно бывает).

[iifat]

Odysseus в сообщении #1501266 писал(а):

если определять это как количество отображений из пустого множества в пустое

Боюсь, для полноты картины вам таки придётся научить нас считать количество отображений из множества из 3.14 элементов в множество из 2.71 элементов.

[mihaild]

iifat в сообщении #1501291 писал(а):

Боюсь, для полноты картины вам таки придётся научить нас считать количество отображений из множества из 3.14 элементов в множество из 2.71 элементов

Как только вы принесете мне множество из 3.14 элементов - я сразу покажу вам все отображения из него.
Отображение же из пустого множества в пустое я могу вам показать прямо сейчас: $\varnothing$.

[Утундрий]

Обожаю конвенциональные споры. Ну, пусть будет $-1/12$. Мне кажется, это символично.

[arseniiv]

iifat
Утундрий
Давайте тема продержится от флейма хотя бы одну страницу? Можно же почитать первый пост и пройти мимо, если эмоции такой замечательный настрой.

Утундрий в сообщении #1501294 писал(а):

Ну, пусть будет $-1/12$.

Достаточно осмысленны лишь кандидаты 0 и 1. Все остальные испортят самое важное свойство $x^{y + z} = x^y x^z$.

-- Сб янв 16, 2021 02:26:46 --

grizzly
Спасибо, откопал оттуда вопрос на math.SE, к которому есть ответы с хорошими аргументациями типа такой, как и представление всяких разных мнений, которые полезно знать на случай дискуссии.

[novichok2018]

Почему тогда не считать, что всегда $0/0=1$, есть разница?