2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
Насколько я понимаю, единственная причина считать $0^0$ неопределённым, а не единицей - желание сохранить достаточно симпатичное утверждение, что любая элементарная функция непрерывна в любой точке, в которой определена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Mikhail_K в сообщении #1501654 писал(а):
Насколько я понимаю, единственная причина считать $0^0$ неопределённым, а не единицей - желание сохранить достаточно симпатичное утверждение, что любая элементарная функция непрерывна в любой точке, в которой определена.
Нет, желание сохранить не менее симпатичное утверждение, что функция не определена там, где не имеет никакого определённого значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 22:02 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Утундрий в сообщении #1501643 писал(а):
Нужны какие-то дополнительные аргументы.
Да, конечно, нужны, и ещё бы их притом не было уже условные сто лет как. :-)

Если указать некоторые:

1. Мы любим $x^{y + z} = x^y x^z$, это самая основа возведения в степень, ну плюс $x^1 = x$. Как известно, это даёт нам для полугруппы полностью определённую степень с показателем из $\mathbb Z_+$. Для моноида это даёт нам добавить $x^0 = e$ для всех $x$, потому что это наиболее единообразно. Мы могли бы начать сомневаться в нулевой степени идемпотентных элементов, но это не даст нам определения, которое равноприменимо к любому моноиду и в каком-то смысле равномерно — $e$ записывается через язык моноидов и наиболее простым образом. Это всё остаётся верным для любого моноида безотносительно к тому, какие на нём ещё могут быть структуры. Несмотря на то, что мы можем добавить отрицательные и нецелочисленные показатели, во всех прочих ситуациях в математике мы не начинаем внезапно сверлить в хорошо определённой ранее функции дырочки про её доопределении.

1a. Мы рассматриваем топологические кольца, где операции непрерывны. Это не конфликтует с разрывом у вещественно-вещественнозначного возведения в степень, потому что возведение в степень я лично никогда не видел входящим в сигнатуру кольца. Входят туда как правило только сложение и умножение — с них и спрос — ну а если входят смена знака и мультипликативное обращение, то опять же это никак не открывает нам пути требовать непрерывность всюду и от возведения в степень. (Так что мы можем определить её в точке разрыва.)

2. Всевозможные биномы Ньютона, мощности множества отображений, и явление $x^0$ единичным многочленом (если учесть как многочлены ведут себя при подстановке какого-нибудь значения, в том числе 0). Почему-то они часто считаются недостойными говорить за всю математику, де они дискретные, полнота их одностороння и всё такое — но покажите мне специалиста, который вот действительно хочет считать, что математику можно независимо задать по кускам. Разумно стремиться унифицировать всё, что можно унифицировать, а не придумывать по десять вариантов одного и того же для разных областей. И действительно подобных проблем кажется практически нет. (Вопрос о конструктивизме, интуиционизме — отдельный, я не готов ничего по этому поводу сказать, но к счастью он не должен изменить основной аргументации в конкретно этом случае. И в конце концов мы почти всегда можем строить модели одного в другом.) Потому даже если бы пределы закрывали нам путь, всё равно стоило бы что-то попробовать переформулировать, чтобы улучшить ситуацию.

-- Пн янв 18, 2021 00:04:12 --

Утундрий в сообщении #1501655 писал(а):
Нет, желание сохранить не менее симпатичное утверждение, что функция не определена там, где не имеет никакого определённого значения.
Похоже, вы вкладываете разный смысл в то и другое. Могли бы вы пояснить, куда какой хотя бы примерно?

-- Пн янв 18, 2021 00:16:15 --

Если я правильно понимаю, вы предполагаете, что «дух» возведения в степень как оно уже давно понимается недостаточно сильный, чтобы установить однозначно значение $0^0$, и нужны дополнительные аргументы, не связанные с ним непосредственно. На мой взгляд, все хорошие аргументы связаны с ним непосредственно. Есть плохие аргументы за, типа $\lim\limits_{x\to +0} x^x = 1$, которые как раз не связаны непосредственно — они используют пределы, которые как раз изначально и навели тень на плетень.

(Есть амбивалентный аргумент, что если мы возьмём $f, g$ аналитическими в нуле, и также $f > 0$ на некотором интервале $(0, a)$ и $f(x)\to 0, g(x)\to 0$ при $x\to +0$, то всё же $f(x)^{g(x)}\to 1$. Я бы предложил его тоже не включать в ядро аргументации, потому что во-первых условия требуются довольно сильные (кроме аналитичности ещё пара), и во-вторых он опять же делает видимость того, что пределы здесь важны, и вероятно что они что-то изначально нам запрещали.)

Но вообще, возвращаясь к своему вопросу об уточнении, я бы сказал, что то, что вы написали — не очень аргумент. Это просто пресуппозиция ничего не делать, когда ничего не известно (ничего против неё не имею), тогда как предполагается, что придерживающийся аргумента против определения $0^0$ знаком с как минимум какими-то аргументами за и решил, что они недостаточны, исходя из чего-то, а не просто так. Это что-то и не было приведено — жалко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 07:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
arseniiv в сообщении #1501661 писал(а):
Если указать некоторые:
Прелестно, вот там и вводите свою единицу. Но не везде и всюду. В частности, не там, где уже показано, что никакая она не единица, а и вовсе любое наперёд заданное число. (Я про вещественные числа, если что.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 19:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Утундрий в сообщении #1501683 писал(а):
там, где уже показано, что никакая она не единица, а и вовсе любое наперёд заданное число
Но как показано-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Что-то я потерял нить разговора. Давайте совершим фланговый манёвр и поглядим на ситуацию с заднего боку. По мне, так всякая аксиоматика - нечто вроде законов сохранения. Чтобы, не компостируя где не надо себе и людям, мозги прийти сразу же к правильному результату. Краеугольное слово тут - правильному. И вот, когда я, допустим, вижу $$\text{В нашем доме завсегда   } 0^0=1 \text{, ура!}$$то мне будет крайне пренеприятно внезапно обнаружить, что не завсегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
Утундрий в сообщении #1501741 писал(а):
то мне будет крайне пренеприятно внезапно обнаружить, что не завсегда.
Мне кажется, Вы путаете значение функции в точке (в данном случае функции $f(x,y)=x^y$ в точке $(0,0)$) с пределом (или частичным пределом) функции в этой точке. Никто не спорит с тем, что предела у данной функции в данной точке нет, а частичные пределы есть разные.

Если же Вы говорите не о пределах, а именно о значении функции в точке, то давайте уже, продемонстрируйте, чему именно в современной математике противоречит соглашение $f(0,0)=0^0=1$. Как именно можно "внезапно обнаружить", что $0^0$ не равно (не всегда равно?) единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Утундрий в сообщении #1501741 писал(а):
Что-то я потерял нить разговора. Давайте совершим фланговый манёвр и поглядим на ситуацию с заднего боку. По мне, так всякая аксиоматика - нечто вроде законов сохранения. Чтобы, не компостируя где не надо себе и людям, мозги прийти сразу же к правильному результату. Краеугольное слово тут - правильному.
В данном случае это исключительно вопрос удобства, чтобы не надо было каждый раз, когда пишется $\sum\limits_{k = 0}^n a_k z^k$ или $\sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty} a_k z^k$ или $e^z = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}$ не надо было пояснять, что $z^0 = 1$ при $z = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Удобство, достигнутое в одном месте, оборачивается неудобством в каком-то другом. То есть, вопрос по сути сводится к перетягиванию одеяла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 20:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Утундрий в сообщении #1501749 писал(а):
Удобство, достигнутое в одном месте, оборачивается неудобством в каком-то другом. То есть, вопрос по сути сводится к перетягиванию одеяла.
Это не всегда так.

Утундрий в сообщении #1501741 писал(а):
то мне будет крайне пренеприятно внезапно обнаружить, что не завсегда
Как это можно обнаружить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Утундрий в сообщении #1501749 писал(а):
Удобство, достигнутое в одном месте, оборачивается неудобством в каком-то другом. То есть, вопрос по сути сводится к перетягиванию одеяла.
Возьмите любой текст по любой области математики и сравните, сколько раз там написаны многочлены или ряды с $x^0$, и сколько раз обсуждается поведение $x^y$ около нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 20:43 
Аватара пользователя


16/03/17
475
Я бы, кстати, привел пример функции Хевисайда. Она разрывная в нуле, но ее там для удобства доопределяют, обычно одним из трех способов: $0$, $\frac{1}{2}$ или $1$. Это не предел функции в нуле, как минимум не с обеих сторон. Просто удобно чтобы в каждой точке у нее было какое-то значение. Если и к $0^0$ относиться подобным образом, то проблем не будет.

Останется только договориться чему именно это должно быть равно. Здесь могут быть разные мнения, как и с соглашением о значении $\theta (0)$. Но это не принципиально важно. Достаточно, чтобы был некий консенсус по наиболее принятому значению, аналогично тому наиболее популярным значением для $\theta (0)$ является $\frac{1}{2}$.

Ну а так, конечно, можно долго обсуждать и является ли $0$ натуральным числом :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Odysseus в сообщении #1501755 писал(а):
Здесь могут быть разные мнения, как и с соглашением о значении $\theta (0)$. Но это не принципиально важно. Достаточно, чтобы был некий консенсус по наиболее принятому значению, аналогично тому наиболее популярным значением для $\theta (0)$ является $\frac{1}{2}$.
Важно. Это значение не случайно, а согласуется с теоремой Фейера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8337
Цюрих
Odysseus в сообщении #1501755 писал(а):
Здесь могут быть разные мнения, как и с соглашением о значении $\theta (0)$. Но это не принципиально важно.
$0^0 = 1$ удобно во многих случаях (например действительно в рядах Тейлора / Лорана). В каких случаях удобно другое значение?
Я не видел, чтобы функцию Хевисайда доопределяли чем-то кроме $\frac{1}{2}$, и вроде бы ни разу не видел ни одного текста, где было бы важно, какое у неё значение в нуле. А вот для степени - важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение18.01.2021, 21:07 
Аватара пользователя


16/03/17
475
mihaild в сообщении #1501759 писал(а):
$0^0 = 1$ удобно во многих случаях (например действительно в рядах Тейлора / Лорана). В каких случаях удобно другое значение?

Я не говорил, что по-моему мнению в каких-то случаях удобно другое значение. Просто допустил, что у кого-то может быть другое мнение. Лично мне как раз логичнее представляется, что $0^0 = 1$, но я встречал предложения считать $0^0 = 0$.

mihaild в сообщении #1501759 писал(а):
Я не видел, чтобы функцию Хевисайда доопределяли чем-то кроме $\frac{1}{2}$

Я тоже всегда помнил, что она доопределяется в нуле только как $\frac{1}{2}$, но перед написанием поста на всякий случай проверил, и Википедия говорит, что бывают также варианты $0$ и $1$.

В общем, в обоих случаях мой пойнт был в том, что когда речь идет о предложении соглашения для некоей "неопределенности", то не всех оно сможет убедить. Поэтому и употреблял выражения типа "наиболее популярное", а не "единственное".

mihaild в сообщении #1501759 писал(а):
и вроде бы ни разу не видел ни одного текста, где было бы важно, какое у неё значение в нуле. А вот для степени - важно.

Это другой вопрос. Но на самом деле это, к сожалению, может быть аргументом в пользу того, чтобы не определять $0^0$, как раз потому, что не все могут быть согласны с логичностью данного определения, т.е. не будут его полностью принимать, и значит это может создавать путаницу. А значит и здесь можем прийти к ситуации, когда в каждой второй книге по теории чисел автор сначала уточняет считает ли он $0$ натуральным числом или нет...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group