Простые числа и палиндромы : Математика (общие вопросы) - Страница 15 fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 21  След.
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение24.04.2021, 02:23 
Заслуженный участник


20/08/14
11867
Россия, Москва
Ну почему не удастся ... Я же проверил все 266 вариантов (A=0 кстати допустимо и даёт аж 26 вариантов сочетаний B и C) для каждой пары близнецов прежде чем спрашивать, оказалось первая пара близнецов даёт один простой палиндром, вторая же нет, ни одного не даёт. И на всё ушло минут 20, из которых 12 чисто на счёт по двум близнецам.
А Вас спрашивал чтобы хоть так до Вас дошло что предлагаемые методы и формулы ничем не помогают (т.е. ничем не лучше просто случайного тыканья пальцем в любой палиндром). И пока Вы не нашли закономерность, т.е. не можете сократить перебор в разы, если уж не исключить его совсем указав сразу точную комбинацию, практического смысла в этих всех формулах не заметно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение24.04.2021, 12:45 


15/11/20
179
Россия, Москва.
Dmitriy40
Перебор исключить совсем - это ключевые слова. Но мне не удаётся это сделать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение26.04.2021, 15:45 
Заслуженный участник


20/08/14
11867
Россия, Москва
Someone в сообщении #1514888 писал(а):
Если взять любые числа $A$ и $B$, где запись $B$ заканчивается на $1$, $3$, $7$ или $9$, то всегда можно подобрать такое число $C$, что число $ACB$ будет простым (имеется в виду не произведение, а просто запись подряд). Ясно, что так же можно строить и простые палиндромы. Чем здесь лучше простые близнецы — совершенно не ясно.
Решил ради забавы проверить это утверждение на предложенной выше паре близнецов $1837120\cdot3^{2093}\pm1$ по восьми формулам со вставкой числа в середину.
Вставка одной и трёх цифр (48 и 480 вариантов) простого палиндрома не дали.
Вставка пяти цифр (4800 вариантов) дала 3 простых палиндрома. Можно грубо принять вероятность $3/4800 \approx 0.06\%$. Вероятность просто случайному числу из 4025 цифр оказаться простому примерно $1/\ln(10^{4025}) \approx 0.01\%$, но при учёте нескольких малых делителей она легко возрастает в 6-7 раз и сравнивается с "близнецово-палиндромной".
Время перебора 4800 вариантов составило 4040с, время поиска следующего простого после одного из вариантов простого палиндрома составило 998с (обнаружено на расстоянии 44% от среднего).
Т.е. близнецы и тут ничем особо не лучше простого почти случайного выбора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение26.04.2021, 20:08 


15/11/20
179
Россия, Москва.
Dmitriy40 в сообщении #1515724 писал(а):
Т.е. близнецы и тут ничем особо не лучше простого почти случайного выбора.
Спасибо! Мы на примере палиндромов посмотрели, что есть закономерность у простых чисел. Вероятность - это разумеется. Предложите путь, что делать, какие числа исследовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение26.04.2021, 21:50 


23/02/12
3372
kazvadim в сообщении #1515742 писал(а):
Предложите путь, что делать, какие числа исследовать?
Вы начали тему, вы и предлагайте!

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение27.04.2021, 01:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17982
Москва
Dmitriy40 в сообщении #1515724 писал(а):
по восьми формулам со вставкой числа в середину.
Извините, а какие именно формулы? Вот эти? И куда что вставляется? Мне хочется понять, откуда берётся число $48$.

Dmitriy40 в сообщении #1515724 писал(а):
Вставка пяти цифр (4800 вариантов) дала 3 простых палиндрома. Можно грубо принять вероятность $3/4800 \approx 0.06\%$. Вероятность просто случайному числу из 4025 цифр оказаться простому примерно $1/\ln(10^{4025}) \approx 0.01\%$, но при учёте нескольких малых делителей она легко возрастает в 6-7 раз и сравнивается с "близнецово-палиндромной".
Статистики мало. Я понимаю, что для получения достаточной статистики могут потребоваться многосуточные вычисления (если не многомесячные), и ни в коем случае не предлагаю этим заниматься. Пусть kazvadim этим занимается, если захочет.
И если, например, последняя цифра проверяемого числа — не любая из 10, а только $1$, $3$, $7$ или $9$, то заведомо исключаются делители $2$ и $5$, и вероятность получения простого числа возрастает. Также могут совсем или частично исключаться другие делители.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение27.04.2021, 07:46 
Заслуженный участник


20/08/14
11867
Россия, Москва
Someone в сообщении #1515772 писал(а):
Извините, а какие именно формулы? Вот эти?
Нет, не эти, там несколько цифр вставляются, а я вставлял именно как Вы указали, число в середину. Формулы такие ($p=1837120\cdot3^{2093}-1,q=p+2$, черта над числом означает перестановку цифр в обратном порядке, $X$ вставляемое число):
$ p q X \overline q \overline p$
$ \overline p q X \overline q p$
$ p \overline q X q \overline p$
$ \overline p \overline q X q p$
$ q p X \overline p \overline q$
$ \overline q p X \overline p q$
$ q \overline p X p \overline q$
$ \overline q \overline p X p q$
8 формул, в каждую можно вставить лишь $X\equiv \{1;2\}\pmod{3}$, для одной цифры $X=\{1;2;4;5;7;8\}$ — вот и 6 цифр, всего 48 вариантов.

Это разумеется ничего не доказывает, мне лишь было интересно как быстро (сколько придётся перебрать вариантов) найдутся решения. Ну и грубо прикинуть вероятность, да.

Someone в сообщении #1515772 писал(а):
И если, например, последняя цифра проверяемого числа — не любая из 10, а только $1$, $3$, $7$ или $9$, то заведомо исключаются делители $2$ и $5$, и вероятность получения простого числа возрастает. Также могут совсем или частично исключаться другие делители.
Разумеется, это я и назвал "учёт малых делителей".
Точно считать вероятность нафик не надо, грубой прикидки вполне достаточно, она явно не на порядки отличается. А числа уже достаточно велики чтобы разница в порядке роста проявилась, если бы была.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение27.04.2021, 11:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17982
Москва
Dmitriy40 в сообщении #1515786 писал(а):
8 формул, в каждую можно вставить лишь $X\equiv \{1;2\}\pmod{3}$, для одной цифры $X=\{1;2;4;5;7;8\}$ — вот и 6 цифр, всего 48 вариантов.
Понятно. Значит, заранее исключаются делители $2,3,5$, и вероятность наткнуться на простое числу увеличивается в $2\times\frac 32\times\frac 54=3{,}75$ раза. Кроме того, если у близнецов старшая цифра неудачная, то половина этих формул будет давать заведомо составные числа (случаи, когда старшие цифры у пары близнецов различные, встречаются редко: однозначные — это пары $3,5$ и $5,7$, а другие нужно искать среди чисел вида $3k\cdot 10^n\pm1$, $k\in\{1,2,3\}$, $n\geqslant 1$; в таких случаях неудачных формул будет две штуки).

-- Вт апр 27, 2021 12:21:46 --

kazvadim в сообщении #1515742 писал(а):
Мы на примере палиндромов посмотрели, что есть закономерность у простых чисел.
Какая закономерность? Что, комбинируя разными способами записи простых чисел и добавляя туда ещё произвольные цифры, можно иногда получать другие простые числа? Ну, ввиду
Someone в сообщении #1514888 писал(а):
Если взять любые числа $A$ и $B$, где запись $B$ заканчивается на $1$, $3$, $7$ или $9$, то всегда можно подобрать такое число $C$, что число $ACB$ будет простым (имеется в виду не произведение, а просто запись подряд).
ничего удивительного в этом нет.

(kazvadim)


 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение27.04.2021, 17:13 
Заслуженный участник


20/08/14
11867
Россия, Москва
Someone в сообщении #1515799 писал(а):
Понятно. Значит, заранее исключаются делители $2,3,5$, и вероятность наткнуться на простое числу увеличивается в $2\times\frac 32\times\frac 54=3{,}75$ раза.
Да, потому и считаю отличия 0.06% (а на самом деле менее 0.02%) от 0.01% — "на уровне шума" и статистических флуктуаций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение29.04.2021, 04:59 


15/11/20
179
Россия, Москва.
Dmitriy40
Флуктуации! Беспорядок - это мы показываем уровень нашего мышления на примере Теории чисел.
Что-то надо тут делать... проходил шумы по распределению Пуассона - исключил шумовые фотоны с помощью синхронно фазового детектора (да, там была такая же вероятность один к сотни - это наверное природная закономерность), а тут не справляюсь пока.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение14.05.2021, 09:20 


15/11/20
179
Россия, Москва.
Пока отвлекусь на числа Софи Жермен. Если число СЖ $p$ палиндром и число $2p+1$ тоже палиндром, то до триллиона находятся $18$ таких чисел СЖ.

(191,383),(19391,38783),(38183,76367),(1508051,3016103),(1609061,3218123),(1628261,3256523),(3717173,7434347),(3916193,7832387),(161535161,323070323),(161838161,323676323),(170646071,341292143),(172747271,345494543),(182949281,365898563),(190909091,381818183),(352909253,705818507),(354848453,709696907),(360818063,721636127),(364636463,729272927)...

Наблюдения. В этих числах СЖ:
отсутствуют первые цифры $7,9$;
нечётные цифры меньше $5$, чётные цифры больше или равно $5$.
Любопытно, что среди чисел цепей Каннингема 2-го рода нет (до триллиона) таких чисел-палиндромов...

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение14.05.2021, 09:42 
Заслуженный участник


20/08/14
11867
Россия, Москва
A082520

-- 14.05.2021, 10:18 --

kazvadim в сообщении #1518514 писал(а):
до триллиона находятся $18$ таких чисел СЖ.
Это тоже неправда, их 75 штук. И программой на PARI/GP они все получаются за полсекунды. А до квадриллиона ($10^{15}$) их 804шт и все насчитываются за минуту.

-- 14.05.2021, 10:26 --

По ссылке из OEIS от 2006г они есть все до триллиона, плюс есть даже тройки чисел СЖ: A082566.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение14.05.2021, 11:48 


15/11/20
179
Россия, Москва.
Dmitriy40 в сообщении #1518516 писал(а):
По ссылке из OEIS от 2006г они есть все до триллиона, плюс есть даже тройки чисел СЖ: A082566.
Спасибо. Буду учиться работать поиском в OEIS, чтобы не переоткрывать известное. Вместо "до триллиона" мне нужно было написать с 3-х знаков до 9 знака включительно, где их 18 (бес попутал). И мои наблюдения по ссылке есть и даже больше. Извините.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение11.06.2021, 19:07 


16/08/19
124
Не совсем в тему, но где-то рядом:
возьмем простое число 600307
Прибавим слева цифру 3 и получим простое число 3600307
Прибавим еще раз слева цифру 9 и получим простое число 93600307
Продолжив прибавлять слева по одной цифре, каждый раз будем получать простые числа, вплоть до 912733515196363393600307
Аналогично, начав с 99064169, получим 931564692184933513299064169

Можно этот фокус проделывать с другой позицией, например, вставлять цифру между двумя крайними цифрами слева
Например, начав с 6077947, далее 67077947, 627077947 и т.д.
Вплоть до 645309033159037680127077947

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа и палиндромы
Сообщение12.06.2021, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
mathpath в сообщении #1522225 писал(а):
Можно этот фокус проделывать с другой позицией
Даже если разрешить всякий раз вставлять цифру (или не более фиксированного числа цифр) на любые позиции, процесс получения новых простых очень быстро закончится :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 301 ]  На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 21  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group