Если взять любые числа

и

, где запись

заканчивается на

,

,

или

, то всегда можно подобрать такое число

, что число

будет простым (имеется в виду не произведение, а просто запись подряд). Ясно, что так же можно строить и простые палиндромы.
Пример. Поищем простые палиндромы вида

. Число цифр в простом палиндроме должно быть нечётным.
Попытка вставить в середину одну цифру ничего не даёт, все

кандидатов оказываются составными.
Пробуем комбинации из трёх цифр вида

(их

штук) и получаем аж

простых палиндромов:

,

,

,

,

,

.
Вообще, в простых числах можно "прятать" какую-нибудь информацию, например, текст или картинку. Я однажды даже участвовал в создании простого числа, десятичная запись которого содержит

цифр (не помню, точно столько или всё-таки больше), в котором был закодирован некоторый текст (просто информация об участниках). Текст можно прочитать, если распечатать десятичную запись числа по

цифр в строке. Это число, уменьшенное на

, имеет

простых делителей по

цифр каждый, в которых также закодированы некоторые тексты (FACTOR 1, FACTOR 2 и т.д.; прилагаю файл helper-50.txt с этими делителями). Это число, видимо, можно найти в базе сайта
Prime Pages по описанию "picture prime", поскольку оно туда выкладывалось, но в данный момент у них что-то не в порядке и поиск не работает.
Число искали в виде

, где

является произведением всех перечисленных в файле множителей, а

в начале содержит требуемый текст, а "хвост" подобран так, чтобы число

делилось на

. Параметр

я, к сожалению, не сохранил. Подбор

требовал больших вычислений, которые были распределены между всеми участниками. Все эти делители нужны для того, чтобы можно было в обозримое время доказать, что полученное число простое.
А без разницы, я если не ошибся, то проверил их практически все и ни одного простого палиндрома из этих близнецов не строится.
Это меня не удивляет. Чем больше числа, тем реже среди них попадаются простые, и если среди чисел порядка

простые встречаются часто и на одно из них можно наткнуться после десятка-двух проб, то для чисел порядка

этих проб потребуются сотни и тысячи. И совершенно неважно, используем мы простые близнецы или просто случайные последовательности цифр (с необходимыми ограничениями на последнюю цифру, естественно).