2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 ... 25  След.
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение23.09.2021, 19:54 


02/11/11
1243
Cos(x-pi/2) в сообщении #1532389 писал(а):
Вы сформулируйте себе сюжет в терминах наблюдаемых физ. величин или их средних значений, они будут зависеть от времени (результат измерения физ. величины в КМ не зависит от представления).

Не представляю, как это сделать для эксперимента с котом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение24.09.2021, 14:13 
Аватара пользователя


07/03/16
2947
KVV в сообщении #1532473 писал(а):
Не представляю, как это сделать для эксперимента с котом.

Понадобится уморить множество котов. А их жалко. Поэтому проще воспользоваться просто результатами радиоактивного распада.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение25.09.2021, 21:38 
Заслуженный участник


29/09/14
947
Это просто упражнение в писании бра и кет значков.

В КМ эволюция любого состояния любой замкнутой системы определяется уравнением Шрёдингера, оно имеет вид дифф. ур. 1-го порядка по времени $t.$ Значит, к нему надо задать одно начальное условие; пусть у нас заданным считается вектор состояния системы при $t=0,$ обозначаю его так: $|\psi(0)\rangle.$ Для явного вычисления решения $|\psi(t)\rangle$ надо также знать в явном виде оператор Гамильтона (гамильтониан системы) $\hat{H}.$ Гамильтониан замкнутой системы не зависит от $t.$

Принцип суперпозиции в КМ гласит: задать вектор состояния означает задать его коэффициенты разложения по как-либо выбранному ортонормированному базису. Выберем базис $ |E_n \rangle ,$ построенный из стационарных состояний системы, т.е. из состояний с определёнными значениями энергии; такие базисные состояния - решения не содержащего $t$ уравнения Шрёдингера $$\hat{H} |E_n \rangle = E_n |E_n \rangle \qquad (1)$$ где $E_n$ - уровни энергии системы, $n$ - нумерующий их мультииндекс. Зададим коэффициенты $C_n.$ Тогда: $$|\psi(0)\rangle = \sum \limits_n C_n |E_n \rangle \qquad (2)$$ Это выражение не содержит $t,$ поэтому оно является не только вектором начального состояния системы в представлении Шрёдингера, но и вектором состояния той же системы в любой момент времени в представлении Гейзенберга.

Оператор эволюции замкнутой системы: $$\hat{S}(t)=e^{-i\hat{H}t/\hbar} \qquad (3)$$ В представлении Шрёдингера:

Вектор состояния системы в любой момент времени $t$ есть $$|\psi(t) \rangle = \hat{S}(t) |\psi(0)\rangle = \sum \limits_n C_n \hat{S}(t)|E_n \rangle = \sum \limits_n C_n e^{-iE_n t/\hbar}|E_n \rangle \qquad (4)$$ Измерениям какой-либо наблюдаемой в системе в КМ сопоставляется спектр её значений $f_k,$ ортонормированные состояния $|k\rangle$ с определёнными значениями этой величины, и оператор $$\hat{f}=\sum \limits_k f_k |k\rangle \langle k| \qquad (5)$$ Значок $k$ - нумерующий мультиндекс. Среднее значение наблюдаемой, относящееся к моменту времени $t,$ есть $$f(t)=\langle \psi(t)|\hat{f}|\psi(t)\rangle = \sum \limits_k f_k \langle \psi(t) | k \rangle \langle k |\psi(t)\rangle = \sum \limits_k f_k |\langle k | \psi(t) \rangle |^2 \qquad (6)$$ Это выражение можно записать немного по-другому, заметив, что $$\langle k |\psi(t)\rangle = \sum \limits_n C_n e^{-iE_n t/\hbar}\langle k|E_n \rangle $$ и обозначив $$A_k(t) = \sum \limits_n C_n e^{-iE_n t/\hbar}\langle k|E_n \rangle\ , \qquad (7)$$ $$P_k(t)=|A_k(t)|^2$$ Тогда $$\langle \psi(t)|\hat{f}|\psi(t)\rangle = \sum \limits_k f_k P_k(t) \qquad (8)$$ Видно, что $P_k(t)$ - вероятность того, что акт измерения величины $f$ даст значение $f_k.$ Функции $A_k(t)$ служат амплитудами вероятности таких событий.

Функции (7) служат также коэффициентами разложения вектора состояния по состояниям ${ |k\rangle },$ т.е. $$|\psi(t)\rangle = \sum \limits_k A_k(t) |k \rangle \qquad (9)$$
Формуле среднего значения наблюдаемой (8) можно, в частности, придать вид формулы вероятности $P_k(t)$ с конкретным $k.$ Для этого положим $f_k=1$ при конкретном значении $k,$ и $f_{k'}=0$ при остальных $k' \neq k.$ Так определённый оператор наблюдаемой называют проектором на $|k\rangle,$ обозначим его как $\hat{\Pi}_k:$ $$\hat{\Pi}_k= |k\rangle \langle k| \qquad (10)$$ Тогда из (8) имеем равенство $$\langle \psi(t)|\hat{\Pi}_k|\psi(t)\rangle = P_k(t) \qquad (11)$$ Полная сумма проекторов равна единице: $$\sum \limits_k \hat{\Pi}_k =\hat{1},$$ это соответствует равенству единице суммарной вероятности $$\sum \limits_k P_k(t) =1 .$$
Представление Гейзенберга:

Поскольку $|\psi(t)\rangle=\hat{S}(t) |\psi(0)\rangle$ и соответствующий этому кет-вектору бра-символ есть $\langle \psi(t)|=\langle \hat{S}(t) \psi(0)|= \langle \psi(0)| \hat{S}(t)^{\dag},$ то формулу (8) можно записать в виде среднего для т.н. "оператора наблюдаемой в гейзенберговском представлении" по не зависящему от параметра $t$ состоянию $|\psi(0) \rangle$

$$\langle \psi(0)|\hat{S}(t)^{\dag}\hat{f}\hat{S}(t)|\psi(0)\rangle = \sum \limits_k f_k P_k(t) \qquad (12)$$ где $$\hat{S}^{\dag}\hat{f}\hat{S} \equiv \hat{f}_H(t) \qquad (13)$$ есть по определению оператор $\hat{f}$ в гейзенберговском представлении. Крестик означает эрмитово сопряжение. В таком описании зависимость от $t$ просто перенеслась с вектора состояния на операторы, а структура выражения для вероятности осталась прежней: $$P_k(t)=|\sum \limits_n C_n e^{-iE_n t/\hbar}\langle k|E_n \rangle |^2  \qquad (14)$$ Здесь видно, что надо конкретно знать о системе, чтобы практически вычислять такие вероятности: коэффициенты начального состояния $C_n,$ энергетический спектр системы $E_n,$ коэффициенты $\langle k|E_n \rangle $ разложения стационарных состояний по состояниям $|k\rangle,$ вероятностями обнаружения которых интересуемся.

Пытаться практически описывать ансамбль реальных котов такими величинами, думаю, бессмысленная затея (примерно, как просить программиста, чтобы он описал поведение операционной системы в терминах электрических токов и напряжений в микрочипах компьютера :)

Ну а для философского баловства можно, конечно, чисто формально записать в качестве одного состояния $|k\rangle$ вот такой символ $$ |L,1\rangle =|L\rangle \otimes |1\rangle , $$ в качестве ортогонального ему состояния - такой символ: $$|D,2\rangle =|D\rangle \otimes |2\rangle , $$ и считать, что других интересующих нас состояний нет, так что сумма проекторов на эти два состояния равна единице $$| L,1\rangle \langle L,1| + |D,2\rangle \langle D,2|=\hat{1}.$$ Здесь значки L и D означают "живой кот" и "мёртвый кот", цифры 1 и 2 - "несработавшее" и "сработавшее" убивающее устройство, соответственно. В терминах этих состояний начальное состояние системы можно задать в виде ансамбля живых котов: $$|\psi(0)\rangle=| L,1\rangle$$ Тогда, согласно изложенному выше формализму, в терминах этих же двух состояний вектор состояния в более поздний момент времени должен принять вид их суперпозиции с коэффициентами $A_k(t),$ т.е. в представлении Шрёдингера получится $$|\psi(t)\rangle = A_{L,1}(t)| L,1\rangle + A_{D,2}(t)| D,2\rangle, $$ и сумма обеих вероятностей должна быть равна единице: $$|A_{L,1}(t)|^2+|A_{D,2}(t)|^2=1.$$ Это означает, если вероятность срабатывания убивающего устройства увеличивается со временем, что вероятность коту стать мёртвым с течением времени увеличивается, а вероятность остаться живым соответственно уменьшается. КМ говорит, что в каждом акте измерения на ансамбле котов кот к моменту $t$ будет либо жив, либо мёртв. То же самое очевидно и из классики, без КМ. Ну вот как-то так описывается "сам сюжет с котом".

Представление Гейзенберга никакой погоды тут не делает, т.к. вектор состояния в шрёдингеровском представлении $|\psi(t)\rangle$ и вектор состояния в гейзенберговском представлении $|\psi(0)\rangle$ выражаются друг через друга с помощью унитарного ($\hat{S}^{-1}=\hat{S}^{\dag})$ оператора эволюции: $$|\psi(t)\rangle=\hat{S}|\psi(0)\rangle, \qquad |\psi(0)\rangle=\hat{S}^{\dag}|\psi(t)\rangle .$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение26.09.2021, 11:29 


27/08/16
8542
Cos(x-pi/2) в сообщении #1532735 писал(а):
Представление Гейзенберга никакой погоды тут не делает
А как в представлении Гейзенберга описывается коллапс? Я уже забыл даже в каком месте это искать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение26.09.2021, 14:36 


12/08/21
81
А уже известно, какой размер должен быть у системы, чтобы она могла вызвать коллапс? Ну т.е. являться классическим прибором

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение26.09.2021, 15:18 


27/08/16
8542
Markus228 в сообщении #1532824 писал(а):
А уже известно, какой размер должен быть у системы, чтобы она могла вызвать коллапс? Ну т.е. являться классическим прибором
Классичность вызывающей когллапс системы в копенгагенской интерпретации декларируется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение26.09.2021, 15:40 


31/07/14
616
Я понял, но не врубился.
realeugene в сообщении #1532791 писал(а):
А как в представлении Гейзенберга описывается коллапс?

По-моему (14) объясняет. Выбор одного из слагаемых ведь и есть коллапс? И его, (14), вид не отличается от шрёдингеровского.

-- 26.09.2021, 15:47 --

Markus228 в сообщении #1532824 писал(а):
А уже известно, какой размер должен быть у системы, чтобы она могла вызвать коллапс? Ну т.е. являться классическим прибором

Если объекту для квантовомеханического рассмотрения приходится приписывать частоту выше планковской, то это уже заставляет задуматься. Где-то встречал утверждение, что решение этого вопроса требует квантовой гравитации. Почему это так связано, объяснено, увы, не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение27.09.2021, 02:00 
Заслуженный участник


29/09/14
947
realeugene в сообщении #1532791 писал(а):
А как в представлении Гейзенберга описывается коллапс?
Markus228 в сообщении #1532824 писал(а):
А уже известно, какой размер должен быть у системы, чтобы она могла вызвать коллапс?
Коллапс чего? Что такое коллапс?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение27.09.2021, 06:21 


12/08/21
81
realeugene в сообщении #1532832 писал(а):
Классичность вызывающей когллапс системы в копенгагенской интерпретации декларируется.

Ну так это в копенгагенской :wink:
chislo_avogadro в сообщении #1532835 писал(а):
Где-то встречал утверждение, что решение этого вопроса требует квантовой гравитации.

Т.е. еще нет решения? Так я и думал
Cos(x-pi/2) в сообщении #1532900 писал(а):
Коллапс чего? Что такое коллапс?

Ну вот была у нас квантовая суперпозиция, а превратилась в одно из базисных состояний, которое показывает наш прибор

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение27.09.2021, 09:55 
Заслуженный участник


20/08/14
8538
Россия, Москва

(Кучка банальностей, не смотреть)

UPD. Почитав тему с начала понял что ниже накидал никому не нужных банальностей. Стирать не буду, но прошу внимания не обращать.

Markus228
В той книжке что всё ещё читаю, это называется декогеренцией и объясняется воздействием внешней среды. И приводится пример с земным гравитационным полем и прибором массой 100кг с точностью координат порядка размера атома 0.1нм, декогеренция которого происходит за $10^{-27}$ секунд, т.е. ненаблюдаема. Прибор в момент измерения запутывается с измеряемым объектом, но быстро распутывается переходя из суперпозиции состояний в их смесь.
Книжка не новая, 15 лет уже, в то время нормального объяснения декогеренции так и не было. Кажется его и сейчас нет. Впрочем могу ошибаться.
Не так давно видел новость про аналогичный расчёт времени декогеренции в гравитационном поле и там уже более строго показывалось что только его достаточно для быстрой декогеренции макрообъектов. Очень меня впечатлило.
Вот здесь есть (почти в самом конце) забавная иллюстрация ответа на вопрос "Как связана декогеренция и коллапс волновой функции? Это про одно и то же?".

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение27.09.2021, 21:35 
Заслуженный участник


29/09/14
947
Markus228 в сообщении #1532903 писал(а):
Ну вот была у нас квантовая суперпозиция, а превратилась в одно из базисных состояний, которое показывает наш прибор
У нас не превратилась :) Квантовая суперпозиция это правая сторона формулы (9) - ссылаюсь на свой текст выше, но легко и в учебниках КМ отыскать определение суперпозиции состояний, - такого же рода формулу увидите. Cуперпозиция (9) ни во что не превращается: взгляните, пожалуйста, там все слагаемые до сих пор на своих местах.

Кроме того, в физике нет прибора, показывающего квантовое "состояние". Потому что в КМ термин "состояние системы" по определению означает просто-напросто список амплитуд вероятностей событий. Речь здесь о полном наборе альтернативных событий, возможных в системе при заданных физических условиях; ну и о необходимости накапливать статистику речь идёт, поскольку говорится об амплитудах вероятности.


Для ясности изложу ещё немножко элементарного учебного материала.

В КМ опыт по измерению наблюдаемой физ. величины $f$ у квантового объекта сводится к накоплению статистики событий в многократных повторных испытаниях при одних и тех же доступных контролю начальных условиях. Схематично говоря: в каждом акте испытания источник посылает очередной экземпляр квантового объекта в фильтр, сортирующий экземпляры по признаку $f$ с заранее известным спектром. Допустим, для простоты примера, $f$ может принимать только $N$ дискретных значений: $f_1,f_2,...,f_k, ...$ На выходах фильтра стоят пронумерованные детекторы-счётчики: если в фильтре у объекта оказалось $f=f_1,$ то фильтр посылает его в детектор 1, если $f=f_2,$ - то в детектор 2, ... , если $f=f_k,$ - то в детектор с номером $k,$ и т.д. Срабатывания этих разных детекторов составляют здесь полный набор альтернативных событий, тоже пронумерованных номером $k.$

Основное постулативное утверждение КМ: в квантовой теории событиям можно сопоставить комплексные величины $A_k,$ называемые амплитудами вероятности; при этом вероятность $P_k$ события k равна квадрату модуля амплитуды вероятности, $P_k=|A_k|^2.$

Список амплитуд вероятности называют вектором состояния квантового объекта в данной постановке опыта (так говорят для краткости, хотя, очевидно, правильнее говорить - вектор состояния статистического ансамбля одинаково приготовленных объектов в данной постановке опыта). Этот список наглядно представляется столбцом и обозначается символом кет-вектора (придуманным Дираком) с каким нибудь условным именем, например $\psi :$
$$|\psi\rangle =\begin{bmatrix} A_1\\ A_2\\...\\A_k\\...\\A_N \end{bmatrix}$$ Если к таким столбцам применять стандартные действия линейной алгебры - покомпонентное умножение векторов на числа и покомпонентное сложение векторов, - то тот же самый список амплитуд можно записать в виде суммы "базисных столбцов", умноженных на числа $A_k:$
$$|\psi\rangle =A_1 \begin{bmatrix} 1\\ 0\\...\\0\\...\\0 \end{bmatrix}+...+A_k \begin{bmatrix} 0\\ 0\\...\\1\\...\\0 \end{bmatrix}+... + A_N\begin{bmatrix} 0\\ 0\\...\\0\\...\\1 \end{bmatrix}$$
Присутствующие тут столбцы (они все с нулями и одной единичкой) можно обозначить просто как векторы с номерами, т.е. $|1\rangle,\,...\,,|k\rangle,\,...,\, |N\rangle$ (они называются базисными векторами состояний для данного опыта) и тогда весь наш исходный список амплитуд вероятности запишется очень удобно, одной строчкой: $$|\psi\rangle=\sum \limits_k A_k |k\rangle.$$ Такую запись называют разложением вектора состояния $|\psi \rangle$ по базисным векторам состояния $|k\rangle$ и говорят, что она выражает собой принцип суперпозиции в КМ.

Нетрудно пояснить физ. смысл базисных векторов состояния. Наука ещё не знает происхождения квантовой статистичности (для учёта которой в квантовую теорию и введены амплитуды вероятности на правах фундаментального понятия). Но при этом мы знаем из опыта, что вероятности в квантовой физике (в отличие, например, от классических вероятностей типа $1/2$ для орла и решки при падении монетки) контролируемо изменяемы: вероятности в квантовой физике имеют интерференционный характер и поэтому ими легко управлять, изменяя настройку источника, т.е. меняя в опыте начальные условия.

Другими словами: амплитуды вероятности - регулируемые величины. Возможна (во всяком случае в теории), в частности, такая настройка параметров опыта, что будет $A_1=1,$ а остальные амплитуды вероятности обратятся в ноль. В этом случае вектор состояния $|\psi \rangle$ становится равным базисному вектору $|1\rangle.$ Это означает, что при такой настройке опыта событие с номером 1 происходит в каждом испытании (его вероятность равна единице), а остальные события из данного набора не реализуются. Другими словами, состояние $|1\rangle$ это состояние с определённым (т.е. не флуктуирующим) значением $f=f_1.$ Аналогичный смысл имеют и другие базисные векторы: базисное состояние $|k\rangle$ это состояние с определённым значением $f=f_k.$

Для краткости слово "вектор" (как и слова "статистический ансамбль") опускают: вместо "вектор состояния ансамбля систем" говорят просто "состояние системы". Упомянутое выше равенство - принцип суперпозиции - при этом словами частенько читают так: если система может находиться в состояниях $|k\rangle$ (имеющих определённые значения $f_k),$ то она может находиться и в суперпозиции этих состояний. Да, тех, кто изучение КМ начинает с таких формулировок (примерно так обстояло дело и с первооткрывателями КМ: они угадали формулы КМ до того, как осознали их статистический смысл), изрядно будоражит исторически сложившийся фольклор о "коллапсах" состояний, об одновременно мёртвом и живом коте, о размножении миров и тому подобных чудесах курьёзных интерпретаций ;)

Есть полезная "фича", удобная для записи разложений по базису (и не только, но ограничусь этим), - скалярное произведение векторов состояний. Положим, что по определению скалярное произведение $\langle k'|k \rangle$ равно амплитуде вероятности события с номером $k'$ в состоянии $|k\rangle.$ Из приведённого выше описания базисных векторов очевидно, что эта величина равна 1 при $k'=k$ и равна 0 при $k' \neq k.$ Т.е., в записи через символ Кронекера имеем: $$\langle k'|k \rangle = \delta_{k'k}$$ Тогда, предполагая линейность (обычную для векторной алгебры) такого скалярного произведения по его правому аргументу, получим: $$\langle k'|\psi \rangle = \sum \limits_k A_k \langle k'|k \rangle = A_{k'}$$ Другими словами, скалярное произведение $\langle k|\psi \rangle$ это амплитуда вероятности $$\langle k|\psi \rangle =A_k$$ так что $$|\psi \rangle = \sum \limits_k |k\rangle \langle k|\psi \rangle$$ Эта форма записи суперпозиции удобна, в частности, тем, что она экономит алфавит: в ней минимум разных букв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение27.09.2021, 22:33 


27/08/16
8542
Cos(x-pi/2) в сообщении #1532967 писал(а):
Кроме того, в физике нет прибора, показывающего квантовое "состояние".
Есть, конечно же. Повторное измерение в том же базисе даёт повторение результата измерения с вероятностью 1 (минус шум, который можно делать сколь угодно малым).. Это означает, что после первого измерения в разложении состояния квантовой системы по измерительному базису остаётся только одно ненулевое слагаемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение27.09.2021, 23:32 
Заслуженный участник


20/08/14
8538
Россия, Москва

(Мелкий уточняющий вопрос)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1532967 писал(а):
В КМ опыт по измерению наблюдаемой физ. величины $f$ у квантового объекта сводится к накоплению статистики событий в многократных повторных испытаниях при одних и тех же доступных контролю начальных условиях.
Вот тут я немного не понял: существуют схемы экспериментов, где вероятности событий теоретически ровно 100% и проводить серию для уточнения вероятностей не нужно (только что прочитал про именно такую теорему ГХЦ (GHZ) 1989г, в 2000г проверена экспериментально). Разумеется в практике ровно 100% не получается и статистику приходится всё же накапливать, но Вы же про теорию. Как тут быть, кто кого в каком месте не понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение28.09.2021, 02:05 
Заслуженный участник


20/08/14
8538
Россия, Москва
Товарищи, подскажите по текущим современным представлениям: так и не придумано эксперимента отличить разные интерпретации КМ (пусть не все, но хоть некоторые) друг от друга? Что нибудь вроде продвинутой теоремы Белла. Тему с начала перечитал, что-то похожее на ответ было, но не уверен что правильно понял.
Или это в принципе невозможно так как все интерпретации ничего не меняют в наблюдаемой картине и лишь пытаются объяснить почему КМ прекрасно предсказывает любые наблюдаемые результаты? У меня сложилось такое впечатление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерпретации квантовой механики
Сообщение28.09.2021, 02:46 


18/09/21
241
Ну интерпретации разные бывают.
Бывает - не меняют, а бывает меняют (например "объективный коллапс ВФ"). Правда во втором случае это уже теория, а не интерпретация.

Почитайте хотя бы википедию: Interpretations of quantum mechanics.

Вообще вопрос об интерпретации не решен, так что ни у кого ответа нет.
List of unsolved problems in physics
Номер 3 в разделе "General physics/quantum physics".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 367 ]  На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 ... 25  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group