Интерпретации квантовой механики

[KVV]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1532389 писал(а):

Вы сформулируйте себе сюжет в терминах наблюдаемых физ. величин или их средних значений, они будут зависеть от времени (результат измерения физ. величины в КМ не зависит от представления).

Не представляю, как это сделать для эксперимента с котом.

[Emergency]

KVV в сообщении #1532473 писал(а):

Не представляю, как это сделать для эксперимента с котом.

Понадобится уморить множество котов. А их жалко. Поэтому проще воспользоваться просто результатами радиоактивного распада.

[Cos(x-pi/2)]

Это просто упражнение в писании бра и кет значков.

В КМ эволюция любого состояния любой замкнутой системы определяется уравнением Шрёдингера, оно имеет вид дифф. ур. 1-го порядка по времени $t.$ Значит, к нему надо задать одно начальное условие; пусть у нас заданным считается вектор состояния системы при $t=0,$ обозначаю его так: $|\psi(0)\rangle.$ Для явного вычисления решения $|\psi(t)\rangle$ надо также знать в явном виде оператор Гамильтона (гамильтониан системы) $\hat{H}.$ Гамильтониан замкнутой системы не зависит от $t.$

Принцип суперпозиции в КМ гласит: задать вектор состояния означает задать его коэффициенты разложения по как-либо выбранному ортонормированному базису. Выберем базис $ |E_n \rangle ,$ построенный из стационарных состояний системы, т.е. из состояний с определёнными значениями энергии; такие базисные состояния - решения не содержащего $t$ уравнения Шрёдингера

$$\hat{H} |E_n \rangle = E_n |E_n \rangle \qquad (1)$$

где $E_n$ - уровни энергии системы, $n$ - нумерующий их мультииндекс. Зададим коэффициенты $C_n.$ Тогда:

$$|\psi(0)\rangle = \sum \limits_n C_n |E_n \rangle \qquad (2)$$

Это выражение не содержит $t,$ поэтому оно является не только вектором начального состояния системы в представлении Шрёдингера, но и вектором состояния той же системы в любой момент времени в представлении Гейзенберга.

Оператор эволюции замкнутой системы:

$$\hat{S}(t)=e^{-i\hat{H}t/\hbar} \qquad (3)$$

В представлении Шрёдингера:

Вектор состояния системы в любой момент времени $t$ есть

$$|\psi(t) \rangle = \hat{S}(t) |\psi(0)\rangle = \sum \limits_n C_n \hat{S}(t)|E_n \rangle = \sum \limits_n C_n e^{-iE_n t/\hbar}|E_n \rangle \qquad (4)$$

Измерениям какой-либо наблюдаемой в системе в КМ сопоставляется спектр её значений $f_k,$ ортонормированные состояния $|k\rangle$ с определёнными значениями этой величины, и оператор

$$\hat{f}=\sum \limits_k f_k |k\rangle \langle k| \qquad (5)$$

Значок $k$ - нумерующий мультиндекс. Среднее значение наблюдаемой, относящееся к моменту времени $t,$ есть

$$f(t)=\langle \psi(t)|\hat{f}|\psi(t)\rangle = \sum \limits_k f_k \langle \psi(t) | k \rangle \langle k |\psi(t)\rangle = \sum \limits_k f_k |\langle k | \psi(t) \rangle |^2 \qquad (6)$$

Это выражение можно записать немного по-другому, заметив, что

$$\langle k |\psi(t)\rangle = \sum \limits_n C_n e^{-iE_n t/\hbar}\langle k|E_n \rangle $$

и обозначив

$$A_k(t) = \sum \limits_n C_n e^{-iE_n t/\hbar}\langle k|E_n \rangle\ , \qquad (7)$$

$$P_k(t)=|A_k(t)|^2$$

Тогда

$$\langle \psi(t)|\hat{f}|\psi(t)\rangle = \sum \limits_k f_k P_k(t) \qquad (8)$$

Видно, что $P_k(t)$ - вероятность того, что акт измерения величины $f$ даст значение $f_k.$ Функции $A_k(t)$ служат амплитудами вероятности таких событий.

Функции (7) служат также коэффициентами разложения вектора состояния по состояниям ${ |k\rangle },$ т.е.

$$|\psi(t)\rangle = \sum \limits_k A_k(t) |k \rangle \qquad (9)$$

Формуле среднего значения наблюдаемой (8) можно, в частности, придать вид формулы вероятности $P_k(t)$ с конкретным $k.$ Для этого положим $f_k=1$ при конкретном значении $k,$ и $f_{k'}=0$ при остальных $k' \neq k.$ Так определённый оператор наблюдаемой называют проектором на $|k\rangle,$ обозначим его как $\hat{\Pi}_k:$

$$\hat{\Pi}_k= |k\rangle \langle k| \qquad (10)$$

Тогда из (8) имеем равенство

$$\langle \psi(t)|\hat{\Pi}_k|\psi(t)\rangle = P_k(t) \qquad (11)$$

Полная сумма проекторов равна единице:

$$\sum \limits_k \hat{\Pi}_k =\hat{1},$$

это соответствует равенству единице суммарной вероятности

$$\sum \limits_k P_k(t) =1 .$$

Представление Гейзенберга:

Поскольку $|\psi(t)\rangle=\hat{S}(t) |\psi(0)\rangle$ и соответствующий этому кет-вектору бра-символ есть $\langle \psi(t)|=\langle \hat{S}(t) \psi(0)|= \langle \psi(0)| \hat{S}(t)^{\dag},$ то формулу (8) можно записать в виде среднего для т.н. "оператора наблюдаемой в гейзенберговском представлении" по не зависящему от параметра $t$ состоянию $|\psi(0) \rangle$

$$\langle \psi(0)|\hat{S}(t)^{\dag}\hat{f}\hat{S}(t)|\psi(0)\rangle = \sum \limits_k f_k P_k(t) \qquad (12)$$

где

$$\hat{S}^{\dag}\hat{f}\hat{S} \equiv \hat{f}_H(t) \qquad (13)$$

есть по определению оператор $\hat{f}$ в гейзенберговском представлении. Крестик означает эрмитово сопряжение. В таком описании зависимость от $t$ просто перенеслась с вектора состояния на операторы, а структура выражения для вероятности осталась прежней:

$$P_k(t)=|\sum \limits_n C_n e^{-iE_n t/\hbar}\langle k|E_n \rangle |^2 \qquad (14)$$

Здесь видно, что надо конкретно знать о системе, чтобы практически вычислять такие вероятности: коэффициенты начального состояния $C_n,$ энергетический спектр системы $E_n,$ коэффициенты $\langle k|E_n \rangle $ разложения стационарных состояний по состояниям $|k\rangle,$ вероятностями обнаружения которых интересуемся.

Пытаться практически описывать ансамбль реальных котов такими величинами, думаю, бессмысленная затея (примерно, как просить программиста, чтобы он описал поведение операционной системы в терминах электрических токов и напряжений в микрочипах компьютера :)

Ну а для философского баловства можно, конечно, чисто формально записать в качестве одного состояния $|k\rangle$ вот такой символ

$$ |L,1\rangle =|L\rangle \otimes |1\rangle , $$

в качестве ортогонального ему состояния - такой символ:

$$|D,2\rangle =|D\rangle \otimes |2\rangle , $$

и считать, что других интересующих нас состояний нет, так что сумма проекторов на эти два состояния равна единице

$$| L,1\rangle \langle L,1| + |D,2\rangle \langle D,2|=\hat{1}.$$

Здесь значки L и D означают "живой кот" и "мёртвый кот", цифры 1 и 2 - "несработавшее" и "сработавшее" убивающее устройство, соответственно. В терминах этих состояний начальное состояние системы можно задать в виде ансамбля живых котов:

$$|\psi(0)\rangle=| L,1\rangle$$

Тогда, согласно изложенному выше формализму, в терминах этих же двух состояний вектор состояния в более поздний момент времени должен принять вид их суперпозиции с коэффициентами $A_k(t),$ т.е. в представлении Шрёдингера получится

$$|\psi(t)\rangle = A_{L,1}(t)| L,1\rangle + A_{D,2}(t)| D,2\rangle, $$

и сумма обеих вероятностей должна быть равна единице:

$$|A_{L,1}(t)|^2+|A_{D,2}(t)|^2=1.$$

Это означает, если вероятность срабатывания убивающего устройства увеличивается со временем, что вероятность коту стать мёртвым с течением времени увеличивается, а вероятность остаться живым соответственно уменьшается. КМ говорит, что в каждом акте измерения на ансамбле котов кот к моменту $t$ будет либо жив, либо мёртв. То же самое очевидно и из классики, без КМ. Ну вот как-то так описывается "сам сюжет с котом".

Представление Гейзенберга никакой погоды тут не делает, т.к. вектор состояния в шрёдингеровском представлении $|\psi(t)\rangle$ и вектор состояния в гейзенберговском представлении $|\psi(0)\rangle$ выражаются друг через друга с помощью унитарного ($\hat{S}^{-1}=\hat{S}^{\dag})$ оператора эволюции:

$$|\psi(t)\rangle=\hat{S}|\psi(0)\rangle, \qquad |\psi(0)\rangle=\hat{S}^{\dag}|\psi(t)\rangle .$$

[realeugene]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1532735 писал(а):

Представление Гейзенберга никакой погоды тут не делает

А как в представлении Гейзенберга описывается коллапс? Я уже забыл даже в каком месте это искать.

[Markus228]

А уже известно, какой размер должен быть у системы, чтобы она могла вызвать коллапс? Ну т.е. являться классическим прибором

[realeugene]

Markus228 в сообщении #1532824 писал(а):

А уже известно, какой размер должен быть у системы, чтобы она могла вызвать коллапс? Ну т.е. являться классическим прибором

Классичность вызывающей когллапс системы в копенгагенской интерпретации декларируется.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1532791 писал(а):

А как в представлении Гейзенберга описывается коллапс?

По-моему (14) объясняет. Выбор одного из слагаемых ведь и есть коллапс? И его, (14), вид не отличается от шрёдингеровского.

-- 26.09.2021, 15:47 --

Markus228 в сообщении #1532824 писал(а):

А уже известно, какой размер должен быть у системы, чтобы она могла вызвать коллапс? Ну т.е. являться классическим прибором

Если объекту для квантовомеханического рассмотрения приходится приписывать частоту выше планковской, то это уже заставляет задуматься. Где-то встречал утверждение, что решение этого вопроса требует квантовой гравитации. Почему это так связано, объяснено, увы, не было.

[Cos(x-pi/2)]

realeugene в сообщении #1532791 писал(а):

А как в представлении Гейзенберга описывается коллапс?

Markus228 в сообщении #1532824 писал(а):

А уже известно, какой размер должен быть у системы, чтобы она могла вызвать коллапс?

Коллапс чего? Что такое коллапс?

[Markus228]

realeugene в сообщении #1532832 писал(а):

Классичность вызывающей когллапс системы в копенгагенской интерпретации декларируется.

Ну так это в копенгагенской

chislo_avogadro в сообщении #1532835 писал(а):

Где-то встречал утверждение, что решение этого вопроса требует квантовой гравитации.

Т.е. еще нет решения? Так я и думал

Cos(x-pi/2) в сообщении #1532900 писал(а):

Коллапс чего? Что такое коллапс?

Ну вот была у нас квантовая суперпозиция, а превратилась в одно из базисных состояний, которое показывает наш прибор

[Dmitriy40]

(Кучка банальностей, не смотреть)

UPD. Почитав тему с начала понял что ниже накидал никому не нужных банальностей. Стирать не буду, но прошу внимания не обращать.

Markus228
В той книжке что всё ещё читаю, это называется декогеренцией и объясняется воздействием внешней среды. И приводится пример с земным гравитационным полем и прибором массой 100кг с точностью координат порядка размера атома 0.1нм, декогеренция которого происходит за $10^{-27}$ секунд, т.е. ненаблюдаема. Прибор в момент измерения запутывается с измеряемым объектом, но быстро распутывается переходя из суперпозиции состояний в их смесь.
Книжка не новая, 15 лет уже, в то время нормального объяснения декогеренции так и не было. Кажется его и сейчас нет. Впрочем могу ошибаться.
Не так давно видел новость про аналогичный расчёт времени декогеренции в гравитационном поле и там уже более строго показывалось что только его достаточно для быстрой декогеренции макрообъектов. Очень меня впечатлило.
Вот здесь есть (почти в самом конце) забавная иллюстрация ответа на вопрос "Как связана декогеренция и коллапс волновой функции? Это про одно и то же?".

[Cos(x-pi/2)]

Markus228 в сообщении #1532903 писал(а):

Ну вот была у нас квантовая суперпозиция, а превратилась в одно из базисных состояний, которое показывает наш прибор

У нас не превратилась :) Квантовая суперпозиция это правая сторона формулы (9) - ссылаюсь на свой текст выше, но легко и в учебниках КМ отыскать определение суперпозиции состояний, - такого же рода формулу увидите. Cуперпозиция (9) ни во что не превращается: взгляните, пожалуйста, там все слагаемые до сих пор на своих местах.

Кроме того, в физике нет прибора, показывающего квантовое "состояние". Потому что в КМ термин "состояние системы" по определению означает просто-напросто список амплитуд вероятностей событий. Речь здесь о полном наборе альтернативных событий, возможных в системе при заданных физических условиях; ну и о необходимости накапливать статистику речь идёт, поскольку говорится об амплитудах вероятности.


Для ясности изложу ещё немножко элементарного учебного материала.

В КМ опыт по измерению наблюдаемой физ. величины $f$ у квантового объекта сводится к накоплению статистики событий в многократных повторных испытаниях при одних и тех же доступных контролю начальных условиях. Схематично говоря: в каждом акте испытания источник посылает очередной экземпляр квантового объекта в фильтр, сортирующий экземпляры по признаку $f$ с заранее известным спектром. Допустим, для простоты примера, $f$ может принимать только $N$ дискретных значений: $f_1,f_2,...,f_k, ...$ На выходах фильтра стоят пронумерованные детекторы-счётчики: если в фильтре у объекта оказалось $f=f_1,$ то фильтр посылает его в детектор 1, если $f=f_2,$ - то в детектор 2, ... , если $f=f_k,$ - то в детектор с номером $k,$ и т.д. Срабатывания этих разных детекторов составляют здесь полный набор альтернативных событий, тоже пронумерованных номером $k.$

Основное постулативное утверждение КМ: в квантовой теории событиям можно сопоставить комплексные величины $A_k,$ называемые амплитудами вероятности; при этом вероятность $P_k$ события k равна квадрату модуля амплитуды вероятности, $P_k=|A_k|^2.$

Список амплитуд вероятности называют вектором состояния квантового объекта в данной постановке опыта (так говорят для краткости, хотя, очевидно, правильнее говорить - вектор состояния статистического ансамбля одинаково приготовленных объектов в данной постановке опыта). Этот список наглядно представляется столбцом и обозначается символом кет-вектора (придуманным Дираком) с каким нибудь условным именем, например $\psi :$

$$|\psi\rangle =\begin{bmatrix} A_1\\ A_2\\...\\A_k\\...\\A_N \end{bmatrix}$$

Если к таким столбцам применять стандартные действия линейной алгебры - покомпонентное умножение векторов на числа и покомпонентное сложение векторов, - то тот же самый список амплитуд можно записать в виде суммы "базисных столбцов", умноженных на числа $A_k:$

$$|\psi\rangle =A_1 \begin{bmatrix} 1\\ 0\\...\\0\\...\\0 \end{bmatrix}+...+A_k \begin{bmatrix} 0\\ 0\\...\\1\\...\\0 \end{bmatrix}+... + A_N\begin{bmatrix} 0\\ 0\\...\\0\\...\\1 \end{bmatrix}$$

Присутствующие тут столбцы (они все с нулями и одной единичкой) можно обозначить просто как векторы с номерами, т.е. $|1\rangle,\,...\,,|k\rangle,\,...,\, |N\rangle$ (они называются базисными векторами состояний для данного опыта) и тогда весь наш исходный список амплитуд вероятности запишется очень удобно, одной строчкой:

$$|\psi\rangle=\sum \limits_k A_k |k\rangle.$$

Такую запись называют разложением вектора состояния $|\psi \rangle$ по базисным векторам состояния $|k\rangle$ и говорят, что она выражает собой принцип суперпозиции в КМ.

Нетрудно пояснить физ. смысл базисных векторов состояния. Наука ещё не знает происхождения квантовой статистичности (для учёта которой в квантовую теорию и введены амплитуды вероятности на правах фундаментального понятия). Но при этом мы знаем из опыта, что вероятности в квантовой физике (в отличие, например, от классических вероятностей типа $1/2$ для орла и решки при падении монетки) контролируемо изменяемы: вероятности в квантовой физике имеют интерференционный характер и поэтому ими легко управлять, изменяя настройку источника, т.е. меняя в опыте начальные условия.

Другими словами: амплитуды вероятности - регулируемые величины. Возможна (во всяком случае в теории), в частности, такая настройка параметров опыта, что будет $A_1=1,$ а остальные амплитуды вероятности обратятся в ноль. В этом случае вектор состояния $|\psi \rangle$ становится равным базисному вектору $|1\rangle.$ Это означает, что при такой настройке опыта событие с номером 1 происходит в каждом испытании (его вероятность равна единице), а остальные события из данного набора не реализуются. Другими словами, состояние $|1\rangle$ это состояние с определённым (т.е. не флуктуирующим) значением $f=f_1.$ Аналогичный смысл имеют и другие базисные векторы: базисное состояние $|k\rangle$ это состояние с определённым значением $f=f_k.$

Для краткости слово "вектор" (как и слова "статистический ансамбль") опускают: вместо "вектор состояния ансамбля систем" говорят просто "состояние системы". Упомянутое выше равенство - принцип суперпозиции - при этом словами частенько читают так: если система может находиться в состояниях $|k\rangle$ (имеющих определённые значения $f_k),$ то она может находиться и в суперпозиции этих состояний. Да, тех, кто изучение КМ начинает с таких формулировок (примерно так обстояло дело и с первооткрывателями КМ: они угадали формулы КМ до того, как осознали их статистический смысл), изрядно будоражит исторически сложившийся фольклор о "коллапсах" состояний, об одновременно мёртвом и живом коте, о размножении миров и тому подобных чудесах курьёзных интерпретаций ;)

Есть полезная "фича", удобная для записи разложений по базису (и не только, но ограничусь этим), - скалярное произведение векторов состояний. Положим, что по определению скалярное произведение $\langle k'|k \rangle$ равно амплитуде вероятности события с номером $k'$ в состоянии $|k\rangle.$ Из приведённого выше описания базисных векторов очевидно, что эта величина равна 1 при $k'=k$ и равна 0 при $k' \neq k.$ Т.е., в записи через символ Кронекера имеем:

$$\langle k'|k \rangle = \delta_{k'k}$$

Тогда, предполагая линейность (обычную для векторной алгебры) такого скалярного произведения по его правому аргументу, получим:

$$\langle k'|\psi \rangle = \sum \limits_k A_k \langle k'|k \rangle = A_{k'}$$

Другими словами, скалярное произведение $\langle k|\psi \rangle$ это амплитуда вероятности

$$\langle k|\psi \rangle =A_k$$

так что

$$|\psi \rangle = \sum \limits_k |k\rangle \langle k|\psi \rangle$$

Эта форма записи суперпозиции удобна, в частности, тем, что она экономит алфавит: в ней минимум разных букв.

[realeugene]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1532967 писал(а):

Кроме того, в физике нет прибора, показывающего квантовое "состояние".

Есть, конечно же. Повторное измерение в том же базисе даёт повторение результата измерения с вероятностью 1 (минус шум, который можно делать сколь угодно малым).. Это означает, что после первого измерения в разложении состояния квантовой системы по измерительному базису остаётся только одно ненулевое слагаемое.

[Dmitriy40]

(Мелкий уточняющий вопрос)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1532967 писал(а):

В КМ опыт по измерению наблюдаемой физ. величины $f$ у квантового объекта сводится к накоплению статистики событий в многократных повторных испытаниях при одних и тех же доступных контролю начальных условиях.

Вот тут я немного не понял: существуют схемы экспериментов, где вероятности событий теоретически ровно 100% и проводить серию для уточнения вероятностей не нужно (только что прочитал про именно такую теорему ГХЦ (GHZ) 1989г, в 2000г проверена экспериментально). Разумеется в практике ровно 100% не получается и статистику приходится всё же накапливать, но Вы же про теорию. Как тут быть, кто кого в каком месте не понял?

[Dmitriy40]

Товарищи, подскажите по текущим современным представлениям: так и не придумано эксперимента отличить разные интерпретации КМ (пусть не все, но хоть некоторые) друг от друга? Что нибудь вроде продвинутой теоремы Белла. Тему с начала перечитал, что-то похожее на ответ было, но не уверен что правильно понял.
Или это в принципе невозможно так как все интерпретации ничего не меняют в наблюдаемой картине и лишь пытаются объяснить почему КМ прекрасно предсказывает любые наблюдаемые результаты? У меня сложилось такое впечатление.

[zykov]

Ну интерпретации разные бывают.
Бывает - не меняют, а бывает меняют (например "объективный коллапс ВФ"). Правда во втором случае это уже теория, а не интерпретация.

Почитайте хотя бы википедию: Interpretations of quantum mechanics.

Вообще вопрос об интерпретации не решен, так что ни у кого ответа нет.
List of unsolved problems in physics
Номер 3 в разделе "General physics/quantum physics".