Неравенство от восьми переменных

[TR63]

Sasha2 в сообщении #1456616 писал(а):

остается доказать данное неравенство для того случая, когда среди чисел, из которых оно составлено имеется ровно одно отрицательное

Для $n=4$ у меня тоже получился этот вариант наиболее заковыристым. Но его тоже можно разбить на два варианта: один простой, второй-сложнее. Останется ввести условие, исключающее такой вариант. Оказывается, что условие в формулировке исходной задачи подходит, т.е. оно исключает оставшийся сложный вариант. В итоге у меня получилось, что при $n=4$ можно положить $A=9$, если имеются отрицательные переменные. Т.е., похоже, что возможна более сильная оценка для $(A)$ при наличии отрицательных переменных. При доказательстве я использовала элемент Вашей идеи при $n=3$. Правда, при $n=3$, есть другая идея (более простая, но она не экстраполируется на большее количество переменных).
Sasha2, здесь была ссылка на другой форум. Там неравенство доказано с помощью замены переменных. Тогда неравенство сводится к компактному неравенству.

Sasha2 в сообщении #1454610 писал(а):

в этом вся и соль, то есть показать, что в случае отрицательных чисел, ну разумеется при выполнении указанных условий, эта постоянная не больше чем для случая, когда все числа неотрицательные.

Интересно выяснить, существуют ли и какие $(n)$, когда постоянная меньше (при наличии отрицательных переменных), чем постоянная при неотрицательных переменных. Из доказательства на другом форуме мне ответ не ясен (я не успела вникнуть в доказательство, как ссылка исчезла).

[arqady]

Sasha2
Дарий Гринберг нашёл $(-2,1,1,1,1,1,1,1,1)$ для девяти переменных (всё гениальное просто!).
Таким образом, восемь переменных - это максимум, что мы можем здесь иметь.
Кстати, доказателство с другого форума - это в точности, что я имел в виду. Так что все мои намёки остаются в силе.

[Sasha2]

arqady в сообщении #1456657 писал(а):

Sasha2
Дарий Гринберг нашёл $(-2,1,1,1,1,1,1,1,1)$ для девяти переменных (всё гениальное просто!).
Таким образом, восемь переменных - это максимум, что мы можем здесь иметь.
Кстати, доказателство с другого форума - это в точности, что я имел в виду. Так что все мои намёки остаются в силе.

Спасибо, значит мой путь был ложным в корне.

[novichok2018]

для девяти и больше наверное можно другие дополнительные условия написать в случае отрицательных некоторых чисел?

[TR63]

TR63 в сообщении #1456653 писал(а):

В итоге у меня получилось, что при $n=4$ можно положить $A=9$, если имеются отрицательные переменные.

Случай $x^3+y^3+z^3+t^3\le0$ я не рассматривала. Он тривиальный, если возможен при $x+y+z+t\ge0$. Тогда знак исследуемого неравенства меняется на противоположный.

[Sasha2]

TR63 в сообщении #1456960 писал(а):

TR63 в сообщении #1456653 писал(а):

В итоге у меня получилось, что при $n=4$ можно положить $A=9$, если имеются отрицательные переменные.

Случай $x^3+y^3+z^3+t^3\le0$ я не рассматривала. Он тривиальный, если возможен при $x+y+z+t\ge0$. Тогда знак исследуемого неравенства меняется на противоположный.

Он невозможен с учетом второго условия

[TR63]

Sasha2 в сообщении #1457077 писал(а):

Он невозможен с учетом второго условия

Конечно, невозможен, т.к. тогда

Sasha2 в сообщении #1457077 писал(а):

Тогда знак исследуемого неравенства меняется на противоположный.

Поэтому

Sasha2 в сообщении #1457077 писал(а):

Случай $x^3+y^3+z^3+t^3\le0$ я не рассматривала.

Т.е. условие $x^3+y^3+z^3+t^3>0$ можно считать дополнительным при наличии отрицательных переменных.

[Ksanty]

novichok2018 в сообщении #1455717 писал(а):

Про т. Ролля и подобное - есть чудесная книжка у Юры Никанорова про неравенства для средних значений, не видели такую, если это интересно?

Разумеется интересно, но я её не видел. Если Вы знаете ссылку в Интернете откуда можно скинуть или точнее заглавия, издательства , год издания - можете сообщить - буду очень благодарный!

[novichok2018]

С книгой - напишите в личку, постараюсь помочь