2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение14.04.2020, 20:41 
Заблокирован


16/04/18

1129
Между тройкой и восьмёркой тоже всё известно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение14.04.2020, 20:41 


21/06/06
1721
Подсказку не дадите, уважаемый Arqady, вот какого толка
Стоит ли пытаться доказывать при тех же условиях вот такое:
$16(a^3+b^3+c^3+d^3)\geqslant(a+b+c+d)^3$
И можно ли это приспособить к доказательству для случая восьми переменных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение14.04.2020, 20:49 
Заблокирован


16/04/18

1129
Похоже для 4 слагаемых постоянная 16 - это для положительных чисел, а если есть при дополнительных условиях отрицательные - то можно её уменьшить? И для восьми чисел с отрицательными можно уменьшить 64? Или аналогия с тремя числами не работает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение14.04.2020, 20:59 


21/06/06
1721
novichok2018 в сообщении #1454607 писал(а):
Похоже для 4 слагаемых постоянная 16 - это для положительных чисел, а если есть при дополнительных условиях отрицательные - то можно её уменьшить? И для восьми чисел с отрицательными можно уменьшить 64? Или аналогия с тремя числами не работает?


Меня терзают смутные сомнения, что в этом вся и соль, то есть показать, что в случае отрицательных чисел, ну разумеется при выполнении указанных условий, эта постоянная не больше чем для случая, когда все числа неотрицательные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение15.04.2020, 05:00 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Неравенство верно для всех $3\leq n\leq8$.
Существует общее рассуждение.
Для $n=4$ это выглядит так:
Пусть $a+b+c+d\geq0$ и $abc+abd+acd+bcd\geq0.$ Докажите, что:
$$16(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq(a+b+c+d)^3.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение16.04.2020, 06:22 


21/06/06
1721
Уважаемый Arqady - ну хоть самый малейший намек.
Вот, например, я говорю ПОЛИНОМИНАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА, а Вы ответьте Да- Да. Нет - Нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение16.04.2020, 07:57 
Заблокирован


16/04/18

1129
И можно ли уменьшить постоянную, если есть отрицательные числа в наборе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение16.04.2020, 09:32 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sasha2, в моём решении существенную роль играет теорема Ролля. Но ведь это наводка на моё решение. Может, кто-то увидит здесь какую-то совсем другую идею...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение16.04.2020, 12:49 


07/03/20
34
Если $a_i\geqslant 0$, для $i=1,...,n$
то неравенство очевидно, если вспомним "хорошое неравенство" :

$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}a^p_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}b^{(p-1)}_i }\geqslant \frac{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)^p}{(\sum\limits_{i=1}^{n}b_i)^{(p-1)}}$,
для $p \in [1,\infty]$ и $b_i>0$, для $i=1,...,n$,

но здесь только
$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\geqslant 0$ и в дополнения $\sum\limits_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}^{n}a_ia_ja_k\geqslant0$, т.е. не исключено и участия отрицатильных чисель!
И все же мне кажется, что "хорошое неравенство" как то можно понадобится, так как можно групировать
слагаеммые в $\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\geqslant 0$, так что они были только $\geqslant 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение18.04.2020, 12:07 
Заблокирован


16/04/18

1129
Ksanty - для положительных чисел неравенство очевидно из намного более простого неравенства о средних, кубического и арифметического.
Я пробовал добавить к каждому числу по большому положительному $t$, чтобы все числа стали положительными, записать это неравенство. Но избавиться потом от этого $t$ у меня не получилось.
Про т. Ролля и подобное - есть чудесная книжка у Юры Никанорова про неравенства для средних значений, не видели такую, если это интересно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение20.04.2020, 07:48 
Заблокирован


16/04/18

1129
Ссылку на решение специально убрали, или оно неверное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение20.04.2020, 08:03 
Аватара пользователя


14/03/18
87
novichok2018 в сообщении #1456311 писал(а):
Ссылку на решение специально убрали, или оно неверное?

ТС попросил, а так решение верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение21.04.2020, 09:24 


21/06/06
1721
Уважаемый Arqady, прошу еще одну наводку и вот какого рода.
Вы сказали при формулировании данной задачи, что какое-то рассуждение не проходит для n=9.
Вопрос такой, данное неравенство неверно для $n=9$ или же оно просто пребывает в состоянии недоказанности, то есть неизвестности?
У меня что-то наклевывается по индукции, но вот это Ваше $n=9$ меня сбивает.

Иными словами, мы уже доказали, что данное неравенство верно для n=3.
Попробуем показать по индукции, что если оно верно для $n=k$, то тогда оно будет верно и для $n=k+1$.
Пусть $a_1, a_2,..., a_{n+1}$ - это те числа, из которых составляется указанное выше неравенство.
Пока допустим, что среди них, имеется, по крайней мере два отрицательных (WLOG пусть ими будут $a_n$ и $a_{n+1}$).
В этом случае рассмотрим неравенство для $n$ переменных, определяемых следующим образом: $b_1=a_1$, $b_2=a_2$,..., $b_n=a_n+a_{n+1}$.
Нетрудно видеть, что, если для чисел $a_1, a_2,..., a_{n+1}$ выполняются те два условия, указанные при формулировке задачи, то тогда они также будут выполняться и для чисел $b_1, b_2,..., b_n$.
Выполнение первого условия очевидно, а выполнение второго условия вытекает из того, что
$a_1a_2_a_3+...+a_{n-2}a_{n-1}a_n=S_+P_--S_-P_+$, Здесь:
1) $S_+$ - это сумма всех положительных членов
2) $S_-$ - это сумма всех отрицательных членов
3) $P_+$ - это сумма всех попарных произведений составленных из тех членов, которые положительны
4) $P_-$ - это сумма всех попарных произведений составленных из МОДУЛЕЙ тех членов, которые отрицательны

Далее, правые части неравенств для чисел $a_1, a_2,..., a_{n+1}$ и $b_1, a_b,..., b_n$ одинаковые.
Что же касается левых частей, то левая часть неравенства для чисел $b_1, a_b,..., b_n$ будет больше чем левая часть неравенства для чисел $a_1, a_2,..., a_{n+1}$.
Поэтому оно верно по индукции, НО, к сожалению, остается рассмотреть случай, когда среди отрицательных чисел, из которых составлено данное неравенство, имеется РОВНО ОДНО ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО. Ну и разумеется здесь затык у меня.

Прошу заранее прощения, если свою идею я изложил сумбурно.

И таким образом кажется, что остается доказать данное неравенство для того случая, когда среди чисел, из которых оно составлено имеется ровно одно отрицательное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение21.04.2020, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
Sasha2 в сообщении #1456616 писал(а):
Нетрудно видеть, что, если для чисел $a_1, a_2,..., a_{n+1}$ выполняются те два условия, указанные при формулировке задачи, то тогда они также будут выполняться и для чисел $b_1, b_2,..., b_n$.

Условия выполняются для
$1, 4, -2, -2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от восьми переменных
Сообщение21.04.2020, 11:50 


21/06/06
1721
TOTAL в сообщении #1456633 писал(а):
Sasha2 в сообщении #1456616 писал(а):
Нетрудно видеть, что, если для чисел $a_1, a_2,..., a_{n+1}$ выполняются те два условия, указанные при формулировке задачи, то тогда они также будут выполняться и для чисел $b_1, b_2,..., b_n$.

Условия выполняются для
$1, 4, -2, -2$


Да вижу уже ошибку.
Хотел сообщение свое удалить, да не знал как.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group