Простые эпидмодели

[NikolayPrimachenko]

Сделал в электронных таблицах простейшую модель эпидемии, чтобы "пощупать", что это такое. На всякий случай поясню, что эта модель не является прогнозом и не имеет к текущей эпидемии коронавируса никакого отношения.

Общее число заразившихся за всё время к суткам под номером $i+1$:

$$x[i+1] = x[i] + \Delta x[i],$$

где число новых зараженных $\Delta x[i]$ определяется так:

$$\Delta x[i] = (x[i-\tau_\text{и}] - x[i-\tau_\text{и}-\tau_\text{з}]) \cdot \alpha \cdot \frac{N-x[i]}{N}.$$

Здесь $\tau_\text{и}$ и $\tau_\text{з}$ --- это запаздывания: число суток от момента заражения до того, как заражённый сам станет заразным, и число суток, в течение которых он остаётся заразным. Т.е. $(x[i-\tau_\text{и}] - x[i-\tau_\text{и}-\tau_\text{з}])$ --- это число заразных на i-ые сутки. $\alpha$ --- скорость заражения: заражённых на одного заразного в сутки в идеальных для заражения условиях, когда вокруг зараженного только незаражённые без иммунитета. $N$ --- численность населения. А последний множитель в формуле (дробь) --- это вероятность столкнуться с незаражёнными.

$\Delta x[i]$ должно быть не больше числа незаражённых $N-x[i].$

Базовое репродуктивное число $R_0 = \alpha \cdot \tau_\text{з}$.

Вот и всё.

Смертности в модели нет, но я добавил оценку при летальности в 1% и при запаздывании смертельного исхода на 30 суток с момента заражения. И сравнил с "обычной смертностью" в 1% населения в год. Такое значение выбрал произвольно.

В таблицу добавил столбец "Дата", потому что это нагляднее, чем номер суток. Начальную дату можно выбрать любую.

Сделал два варианта с $\tau_\text{и} = 0$ и с $\tau_\text{и} = 4$. В обоих случаях $\tau_\text{з} = 10$.

Чтобы в этих двух вариантах расчёта добиться примерно одинакового роста числа заражённых --- его можно оценить по столбцу "Коэффициент роста числа заразившихся" --- скорости заражения и репродуктивные числа должны быть сильно разными. Например, если я хочу, чтобы на среднем участке развития эпидемии число заражённых увеличивалось примерно на 33% в сутки,

• то при $\tau_\text{и} = 0$ нужна $\alpha = 0.35$, и тогда $R_0 = 3.5,$
• а при $\tau_\text{и} = 4$ нужна $\alpha = 1.10$, и тогда $R_0 = 11.0,$

Сами таблицы в Google.Docs: первая и вторая. Для просмотра нужен браузер с JavaScript. Таблицы можно скачать.

Я поигрался с таблицами, чтобы посмотреть, как изменится картина при разных параметрах, но расписывать не буду.

-- 27.03.2020, 17:29 --

Добавлю:

Weisstein, Eric W. в Kermack-McKendrick Model писал(а):

It was proposed to explain the rapid rise and fall in the number of infected patients observed in epidemics such as the plague (London 1665-1666, Bombay 1906) and cholera (London 1865).

В этих таблицах проще следить за волной эпидемии по смертности. Например, во втором варианте ($\tau_\text{и} = 4,$ $N = 10^8,$ $\alpha = 1.1$) ежедневная смертность от эпидемии начинает превышать "обычную" на 81 сутки, пик приходится на 97 сутки, уже на 104 сутки смертность от эпидемии ниже "обычной" и к 109 суткам сходит на нет. Волна заражений в модели проходит на 30 суток раньше.

[PETIKANTROP]

NikolayPrimachenko в сообщении #1447729 писал(а):

$\alpha$ --- скорость заражения: заражённых на одного заразного в сутки в идеальных для заражения условиях, когда вокруг зараженного только незаражённые без иммунитета. $N$ --- численность населения. А последний множитель в формуле (дробь) --- это вероятность столкнуться с незаражёнными.

Мне кажется, последний множитель без поправочного коэффициента, назовем его "системным фактором" например, который учитывал бы функционирование церквей, крупных ТЦ, волонтерство ( без должной защиты и тестирования на носительство...) несколько недостоверен даже для простой эпидмодели.

[NikolayPrimachenko]

PETIKANTROP,
ну, это же примитивнейшая модель. А то, что предлагаете Вы, --- это очень сложно. Не думаю, что даже в профессиональных прогнозных моделях такие вещи учитываются. В них, наверное, учитывают географическое разделение людей, пассажирские потоки между странами и континентами, а такие мелкие детали, связанные с поведением людей, --- сомневаюсь.

Конечно, в более серьёзных моделях учитывают возникновение и исчезновение иммунитета, рождаемость и смертность и т.д. А у меня --- примитив. Но мне всё равно было интересно посмотреть на несколько вещей: на то, как запаздывания влияют на оценку $R_0$, насколько устойчива картина при изменении параметров. Я смотрел, как влияет размер популяции (при $N = 10^6,$ $10^8$ и $10^{10}$), разные запаздывания, разные скорости заражения $\alpha$, летальность выставлял равной 0.01 и 0.1. Короче, игрался.

Например, я выше писал о продолжительности волны смертности во второй таблице. Если увеличить летальность с 0.01 до 0.1, то смертность от инфекции превысит обычную не в 81-е сутки, а в 73-е. Сдвиг всего на неделю. Это совсем немного для десятикратного изменения летальности.

Другой пример: при изменении $N$ с $10^6$ до $10^8$ и до $10^{10}$, пик смертности в модели сдвигается c 80 на 97 и на 113 день, то есть примерно на полмесяца при изменении численности популяции на 2 порядка. Вот такие вещи меня интересовали.

[Dmitriy40]

Мысли по возможному усложнению модели.

Мне вот тоже думается что коэффициент $\frac{N-x[i]}{N}$ реален лишь в начале эпидемии, когда он близок к $1$ и может фактически не учитываться, потом, при формировании очага, каждый инфицированный контачит не со всей популяцией, есть какой-то порог числа связей/контактов, тем более за единицу времени (сутки, шаг модели). И как только размер каждого очага становится достаточно большим, почти все контакты всех инфицированных в нём оказываются уже внутри очага и к заражению уже не приводят (там и так все заражены). Т.е. насыщение происходит очень задолго до $x[i] \approx N$, рост размера каждого очага переходит от экспоненты (каждый инфицированный заражает все свои контакты) к квадратичному (заражается лишь тонкий слой здоровых по периметру очага, прирост за единицу времени становится линейным). Разумеется это происходит одновременно с появлением новых очагов и потому совсем уж квадратичным рост будет только при единичных огромных очагах. Ну ведь Вы и так моделируете один очаг.
Разумеется везде выше говорю не про территориальные размеры и площади и объёмы, а про граф связей.

Ещё, для большей достоверности было бы неплохо брать не фиксированный период $\tau_\text{з}$ (это ведь время от достаточного размножения вируса в организме до изоляции/смерти/выздоровления как я понял), а использовать нормальное распределение его длительности вокруг медианного периода (в случае с коронавирусом время от заражения до появления симптомов и изоляции $\tau_\text{и}+\tau_\text{з}\approx 5.1$ дней). И если хвост в меньшую сторону маловажен, то хвост в сторону увеличения может ускорить рост заражений. Плюс для коронавируса значительная часть (говорили о 18%) заражений проходит бессимптомно, т.е. $\tau_\text{з}\approx\infty$ ... Глупость конечно, но данных за какое время организм побеждает вирус без симптомов я не встречал, наверное разумно взять неделю-две (по примеру простуды с гриппом).

Далее для усложнения модели можно учесть вероятность суперраспространителей (с огромным количеством контактов), их мало, но вклад от них как бы не превышает всех прочих.

Без всего этого модель оказывается слишком уж простой. Хотя и тоже интересной (поиграться параметрами).

[Утундрий]

NikolayPrimachenko в сообщении #1447729 писал(а):

Здесь $\tau_\text{и}$ и $\tau_\text{з}$ --- это запаздывания: число суток от момента заражения до того, как заражённый сам станет заразным, и число суток, в течение которых он остаётся заразным. Т.е. $(x[i-\tau_\text{и}] - x[i-\tau_\text{и}-\tau_\text{з}])$ --- это число заразных на i-ые сутки

Что-то мне здесь не нравится.

[Dmitriy40]

Да не, тут понятно, хоть и заморочено, обычно выделяют или называют другие периоды: инкубационный (который здесь равен $\tau_\text{и}+\tau_\text{з}$ в предположении что после появления симптомов больной изолируется и заражать других перестаёт); латентный (это как раз $\tau_\text{и}$). Если больные не изолируются, то $\tau_\text{и}+\tau_\text{з}$ будет равно среднему времени до смерти или выздоровления. А для коронавируса например $\tau_\text{и}=0$, инфицированные заразны сразу же.

[kry]

Я тут оставлю пару рекомендаций по учебной литературе:

Mathematical and Statistical Modeling for Emerging and Re-emerging Infectious Diseases. Chowell G., Hyman J.M.
Mathematical Models in Epidemiology. Brauer F., Castillo-Chavez C., Feng Z.
Modern Infectious Disease Epidemiology Concepts, Methods, Mathematical Models, and Public Health. Krämer A., Kretzschmar M., Krickeberg K.

Быть может кто-нибудь и воспользуется.

[NikolayPrimachenko]

Dmitriy40, я обдумываю то, что Вы написали. Пока ещё не понял про очаги и квадратичный и экспоненциальный рост. То есть Вы говорите, что есть группы или сообщества, где люди плотно контактируют друг с другом, но не с людьми вне сообществ, причем сообщества не разделены географически? Под "контактируют" подразумеваются контакты с передачей инфекции.

Утундрий, а Вы смогли определить, что именно не понравилось? Или просто чувство, что в этом месте есть неправильность какая-то?

По обозначениям могу пояснить, что не использовал стандартные, т.к. с ними не особо знаком. А раз так, все обозначения одинаково непривычны.

В $\tau_\text{и}$ буква "и" от слова "инкубационный". Подразумевалось, что зараженный не заразен, пока у него самого не появятся симптомы. Конечно, правильно было бы использовать букву "л", потому что от заражения до заразности --- это латентный период.

[Утундрий]

NikolayPrimachenko
А попробуйте простыми словами описать как должна действовать модель.

[Dmitriy40]

NikolayPrimachenko
Я имел в виду что каждый конкретный человек не контактирует со всей совокупностью остальных, даже в виде вероятности. Банально потому что они могут быть в разных городах, ну к примеру. И потому всё множество контактов каждого никогда вовсе не стремится к $N$ даже близко. Я не знаю какая величина будет адекватной, тут смотря что именно моделируете (город, деревню, городской район), в любом случае количество контактов каждого человека $k$ будет выражаться десятками-тысячами, но никак не сотнями миллионов.
Про скорость роста. Пока вокруг (в списке контактов) мало или вообще нет других заражённых, то заражаться будет $\alpha k$, а не $\alpha N$. В это время рост будет экспоненциальным или близким к нему. Когда очаг заражения достаточно вырастет (скажем до "диаметра" (т.е. расстояния в терминах количества промежуточных звеньев) в десяток $k$), то почти все контакты каждого заражённого будут уже заражены и заразиться смогут лишь те контакты, которые ещё здоровы, т.е. строго вне очага. Причём не далее чем на один шаг контакта от крайних заражённых на периферии/периметре очага. И таких здоровых не более чем длина периметра очага, т.е. линейно по размеру/"диаметру" очага. Линейный рост за шаг это квадратичный рост от времени, вместо экспоненциального. Т.е. фактически вместо $N$ надо брать $k$ (может быть с коэффициентом), получите гораздо-гораздо более быстрое насыщение роста.
Сразу сознаюсь: как это всё согласуется со взрослыми эпид.моделями я честно говоря не в курсе. Там много ещё других нюансов, те же суперрастространители, или не фиксированное $k$, а что-то типа экспоненциально падающее с расстоянием контакта (ближе контактов много, чем дальше тем сильно меньше, но не ноль), плюс вероятность вместо фиксированной формулы. И если есть желание, то лучше почитать нормальные учебники, я могу и заблуждаться.

[Утундрий]

Dmitriy40 в сообщении #1449659 писал(а):

экспоненциально падающее с расстоянием контакта

Приближение, которое заработало только сейчас...

[EUgeneUS]

Утундрий
Уважаемый Dmitriy40 давно, еще на китайской статистике утверждал тоже самое.
FGJ

[Dmitriy40]

Я хотел и здесь привести пример Китая (квадратичный рост две-три недели примерно с 22 января с всего порядка тысячи обнаруженных случаев), но потом подумал что переход к квадратичности таки может быть эффектом введения карантина (ибо совпали по времени) и потому не стал (подставляться ).
Но про эффект насыщения контактов и скорости роста я точно где-то читал, это не чисто моя придумка.

[NikolayPrimachenko]

Утундрий, попробую простыми словами.

В модели общее число заразившихся к началу следующих суток равно числу заразившихся к началу текущих суток плюс число зараженных в текущие сутки.

Число зараженных в текущие сутки зависит от числа людей, которые являются заразными на начало текущих суток. Чтобы стать заразным, зараженному человеку надо пройти латентный период. Такой человек перестаёт быть заразным, если болел дольше латентного периода + период заразности. Например, во второй таблице число заразных на начало 30-х суток было бы равно общему числу заразившихся на начало 26-х суток, если бы все, кто заразился к началу 16-х суток, уже не перестали быть заразными.

Вот. Всё ли нормально, на Ваш взгляд, или я чего-то недосмотрел?

[NikolayPrimachenko]

Dmitriy40, идею понял. Про распределения вместо фиксированных значений тоже понял.