Найти интеграл от дифференциальной формы по M^2, применяя те

[Juicer]

Brukvalub в сообщении #1432142 писал(а):

Учебник пивом залили, страницы склеились?

отклеите??

[Juicer]

svv в сообщении #1432144 писал(а):

Исключив $x$, получите уравнение кривой, ограничивающей новую область интегрирования на плоскости $yOz$.

Я получил окружность $y^2 + z^2 = 4.$ и далее беру интеграл

$$ \iint_{y^2 + z^2 = 4}(4 - y^2 - z^2) dy \wedge dz = \iint_{y^2 + z^2 = 4}(4 - y^2 - z^2)dydz = \begin{equation*} \begin{cases} y = 2 \cos t, \\ z = 2\sin t, \\ t \in [0, 2\pi] \end{cases} \end{equation*} = 0 (из-за квадратов радиуса).$$

Правильно ли это?
Мне стало интересно, а можно ли взять его в пространстве?
И я получил следующее: $\begin{equation*} \begin{cases} z^2 + y^2 + z^2 = 4, \\ x = z, \\ t \in [0, 2\pi]. \end{cases} \end{equation*}$ Из первого уравнения системы получаем уравнение эллипса $\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{2} = 1$ \\ Рассмотрим параметризацию эллипса$\begin{equation*} \begin{cases} y = 2 \cos t, \\ z = \sqrt2 \sin t, \\ t \in [0, 2\pi].\end{cases} \end{equation*}$ Найдём интеграл $\iint_{y^2 + 2z^2 = 4} (4 - y^2 - z^2)dy dz = \int_{0}^{2\pi}(4 - 4\sin^2 t - 2 \cos^2 t) *-2 \sqrt2 \sin t \cos t dt$

[svv]

Juicer в сообщении #1432173 писал(а):

Я получил окружность $y^2 + z^2 = 4.$

1) Простите, я не понимаю, как у Вас на плоскости $yOz$ получается область, ограниченная окружностью $y^2+z^2=4$.
$\begin{cases}x^2+y^2+z^2=4\\x=z\end{cases}$
Просто подставьте $x$ из второго уравнения в первое.

Геометрически понятно, что в полученное уравнение $y^2$ и $z^2$ войдут с разными коэффициентами, ведь диск расположен наклонно к плоскости $yOz$, и его «тенью» не может быть круг, хотя сам диск — круг.

2) Нуль вряд ли получится, поскольку $4-y^2-z^2\geqslant 0$ всюду в области интегрирования.

3) При переходе (уже на плоскости $yOz$) от интеграла от формы к обычному интегралу от функции может измениться знак, опять же, в зависимости от ориентации.

4) Смысл картинки с обходом поверхности по границе понятен? Полчаса искал подходящую картинку.

5) Повторю вопрос: К какой точке поверхности (полусферы) относится нормаль, данная по условию?

[Lia]

Juicer
Действительно, гораздо целесообразнее будет Вам взять учебник/задачник. Возьмите, например, задачник Кудрявцева по матану, тот том, который называется "Функции нескольких переменных". Там много примеров. Почитайте. Напишите сюда что-то осмысленное по поводу ориентации и проекции. Как только решение сдвинется с мертвой точки в этих местах, я тему верну из Карантина.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- см. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Заодно формулы поправьте по всей теме в своих сообщениях.