Найти интеграл от дифференциальной формы по M^2, применяя те

[Juicer]

svv в сообщении #1432044 писал(а):

Теперь можно применять теорему Стокса к случаю

Обозначим диск как D.
Добавим к нашему $M^2$ область D и получим, что к $\iint_{M^2 \cup D} \big( (4 - y^2 - z^2)dy \wedge dz + \cos (x) dx \wedge dz \big)$ можно применить теорему Стокса, поскольку многообразие стало замкнутым. Тогда, поскольку $dw = 0$:

$$\iint_{M^2 \cup D} \big( (4 - y^2 - z^2)dy \wedge dz + \cos (x) dx \wedge dz \big) = \iiint_{M^3}0 = 0.$$

Теперь разобьём интеграл в левой части на два:

$$\iint_{M^2 \cup D} \big( (4 - y^2 - z^2)dy \wedge dz + \cos (x) dx \wedge dz \big)= $$

$$=\iint_{M^2}\big( (4 - y^2 - z^2)dy \wedge dz + \cos (x) dx \wedge dz \big) + \iint_{D}\big( (4 - y^2 - z^2)dy \wedge dz + \cos (x) dx \wedge dz \big).$$

И получим, что искомый интеграл

$$ I = \iint_{M^2 \cup D} \big( (4 - y^2 - z^2)dy \wedge dz + \cos (x) dx \wedge dz \big) = - \iint_{D}\big( (4 - y^2 - z^2)dy \wedge dz + \cos (x) dx \wedge dz \big).$$

Диск должен быть ориентирован противоположно полусфере. Тогда при вычислении перед интегралом просто поставим $-$.
Поскольку диск лежит в плоскости $x = z$, то

$$\iint_{D}\big( (4 - y^2 - z^2)dy \wedge dz + \cos (x) dx \wedge dz \big) \overset{x = z}{=} \iint_{D}\big( (4 - y^2 - x^2)dy \wedge dx + \cos (x) dx \wedge dx \big) =$$

$$=\iint_{D}(4 - y^2 - x^2)dy \wedge dx .$$

Всё правильно? Как теперь найти интеграл по этому кругу?
До этого я пользовался параметризацией сферы $(x, y, z) = (r \sin U \sin V, r\cos U, r\sin U \cos V).$ Достаточно ли будет приравнять $x$ и $z$ , получить угол $\frac{\pi}{4}$, подставить в выражение для $x$ и перейти к интегрированию по кругу?
Тогда получим:

$$\begin{equation*} \begin{cases} x =\frac{\sqrt2}{2} r\sin U, \\ y = r\cos U, \\ r \in (0, 2], U \in [0, 2\pi]. \end{cases} \end{equation*}$$

Как тогда в данном случае вычисляется $dy \wedge dx$?

-- 26.12.2019, 22:13 --

svv в сообщении #1431913 писал(а):

Совершенно верно.

Также я подумал над применением теоремы в обратную сторону и получил следующее:
$\begin{equation*} \begin{cases}(4 - y^2 - z^2)dy \wedge dz = d((4y - \frac{y^3}{3} - z^2y)dz) \\ \cos x dx \wedge dz = d(\sin x dz). \end{cases} \end{equation*}$
Применяя теорему Стокса, получим:

$$\iint_{M^2} (4 - y^2 - z^2) dy \wedge dz + \cos x dx \wedge dz = \iint_{\partial^+M^2} (4y - \frac{y^3}{3} - z^2y + \sin x) dz \overset{x = z}{=} \iint_{\partial^+M^2}(4y - \frac{y^3}{3} - x^2y + \sin x) dx.$$

Соответственно, последний интеграл нужно вычислить. Всё ли я правильно сделал? И, если да, то как это сделать? Перейти к полярным координатам, найти якобиан и просто пересчитать?

[Brukvalub]

Juicer в сообщении #1432087 писал(а):

Диск должен быть ориентирован противоположно полусфере.

Это как? На мой взгляд, вся поверхность тела должна быть ориентирована согласовано, например, непрерывным полем нормалей.

[Juicer]

Brukvalub в сообщении #1432093 писал(а):

Это как?

Тогда диск должен быть ориентирован противоположно нормали сферы? Нам же нужно избавиться от минуса.

[Otta]

Juicer в сообщении #1432094 писал(а):

Тогда диск должен быть ориентирован противоположно нормали сферы? Нам же нужно избавиться от минуса.

Он нам ничего не должен. Он должен теореме.
В теореме ориентации как-то заданы или должны быть заданы. Вот и ориентируйте.

[Juicer]

Otta в сообщении #1432103 писал(а):

В теореме ориентации как-то заданы или должны быть заданы

в теореме обязательное условие - положительная ориентированность границы, то есть, как полусферы, так и круга.

[Someone]

Juicer в сообщении #1432107 писал(а):

положительная ориентированность границы

Что это значит? Как отличить положительную ориентацию от отрицательной?

[Juicer]

Someone в сообщении #1432109 писал(а):

Что это значит?

Значит, что вектор нормали для границы в любой точке границы должен быть положителен(координаты x, y, z должны быть больше нуля) для положительной ориентированности и обратно - для отрицательной.

[svv]

Juicer
Вы применили теорему Стокса. Правильно.
Наша замкнутая поверхность состоит из двух гладких кусков, Вы их обозначили $M^2$ и $D$. Соответственно, интеграл по поверхности представляется суммой интегралов по $M^2$ и по $D$. Это тоже правильно, но при условии, что ориентации этих кусков согласованы. (Вопросы ориентации я обсуждать пока не буду.) Пользуясь тем, что интеграл по всей замкнутой поверхности нулевой, Вы свели интегрирование по полусфере к интегрированию по диску.

Прежде чем вычислять интеграл, сделайте ещё одно упрощение. В форму $(4-y^2-z^2)dy\wedge dz$ не входит $x$. Это означает, что результат интегрирования не изменится, если преобразовать поверхность (диск), заменив каждую точку $(x,y,z)$ точкой $(0,y,z)$. Это даст нам новую область интегрирования в плоскости $yOz$, которая является ортогональной проекцией диска. После этого мы забываем о трёхмерном пространстве и находим интеграл от $4-y^2-z^2$ по этой области на плоскости. Он и будет ответом (с точностью до знака, зависящего от ориентации).

[Someone]

Juicer в сообщении #1432112 писал(а):

Значит, что вектор нормали для границы в любой точке границы должен быть положителен(координаты x, y, z должны быть больше нуля) для положительной ориентированности

Ужас. С таким пониманием Вы свою задачу не решите. Советую посмотреть в учебнике.

[Juicer]

svv в сообщении #1432114 писал(а):

Прежде чем вычислять интеграл, сделайте ещё одно упрощение.

Хорошо, я сделал упрощение, сделал ортогональную проекцию на плоскость $zOy$
Получился интеграл

$$\iint_{y^2 + z^2 = 4}(4 - y^2 - z^2)dydz = \begin{equation*} \begin{cases} x = r\sin t, \\ y = r\cos t, \\ r \in (0, 2], t \in [0, 2\pi], \end{cases} \end{equation*} = \int_0^{2\pi} dt\int_0^2 (4-r^2)rdr = 8\pi.$$

Теперь подскажите, пожалуйста, как согласовать это с ориентацией, данной мне по условию?

-- 26.12.2019, 23:41 --

Someone в сообщении #1432116 писал(а):

Ужас.

Ориентация области и границы положительна, если область обхода при движении по границе остаётся слева от границы, ориентация отрицательна, если область остаётся справа от границы.
Я думал, что определение ориентации области будет отличаться от определения ориентации границы в данном случае. Оказывается, нет.

[svv]

Juicer в сообщении #1432123 писал(а):

Получился интеграл

$$\iint_{y^2 + z^2 = 4}(4 - y^2 - z^2)dydz = \begin{equation*} \begin{cases} x = r\sin t, \\ y = r\cos t, \\ r \in (0, 2], t \in [0, 2\pi], \end{cases} \end{equation*} = \int_0^{2\pi} dt\int_0^2 (4-r^2)rdr = 8\pi.$$

Теперь подскажите, пожалуйста, как согласовать это с ориентацией, данной мне по условию?

По интегралу: диск (круг) непараллелен плоскости $yOz$, поэтому его ортогональная проекция на эту плоскость не будет кругом.

По ориентации. Вы можете выбрать ориентацию гладкого куска поверхности, указав точку на поверхности и выбрав в ней направление вектора нормали из двух возможных. (Есть и другие способы.) Только указания вектора нормали недостаточно, потому что отнесение одного и того же вектора нормали к разным точкам поверхности может давать противоположные ориентации (понятно, почему?).
К какой точке поверхности относится нормаль, данная по условию?

[Brukvalub]

Juicer в сообщении #1432123 писал(а):

Ориентация области и границы положительна, если область обхода при движении по границе остаётся слева от границы, ориентация отрицательна, если область остаётся справа от границы.

[Juicer]

svv в сообщении #1432129 писал(а):

не будет кругом.

Отрезок [-2, 2] на оси у, z=0?

-- 27.12.2019, 00:46 --

Brukvalub
Ну скажите лучше, как правильно, чем просто фэйспалмы кидать

[Brukvalub]

Juicer в сообщении #1432140 писал(а):

Ну скажите лучше, как правильно, чем просто фэйспалмы кидать

Учебник пивом залили, страницы склеились?

[svv]

Окружность, ограничивающая диск, задаётся системой уравнений
$\begin{cases}x^2+y^2+z^2=4\\x=z\end{cases}$
Исключив $x$, получите уравнение кривой, ограничивающей новую область интегрирования на плоскости $yOz$.

-- Чт дек 26, 2019 23:59:17 --

Juicer в сообщении #1432123 писал(а):

Ориентация области и границы положительна, если область обхода при движении по границе остаётся слева от границы, ориентация отрицательна, если область остаётся справа от границы.

Ориентация не бывает положительной и отрицательной. Она бывает "той" или "этой" — шутка с большой долей правды.
Кроме того: