Найти интеграл от дифференциальной формы по M^2, применяя те

[Juicer]

svv в сообщении #1431913 писал(а):

Например, диском.

Так, ещё проблема в том, что я первый раз встречаюсь с таким понятием, как "диск". Насколько я понял, это что-то в форме тарелки НЛО, "расплющенная сфера"? Я понял, что нам нужно просто заменить интегралы, но не понимаю, как получить диск.
Даже если уходить от данного метода решения, то мне просто интересно, как же это решить, применяя теорему Стокса "напрямую".

svv в сообщении #1431913 писал(а):

К первому слагаемому другой подход, давайте сначала разделаемся со вторым.

Хорошо, я понял. Но, как вы сами заметили, интеграл $d(-\cos x)$ по окружности равен нулю. Получается, разделались. Что же тогда с первым?

[svv]

Диск = круг. Фигура, вырезаемая сферой $x^2+y^2+z^2=4$ на плоскости $x=z$. Этот круг и дополняет полусферу до замкнутой поверхности.

-- Ср дек 25, 2019 22:09:31 --

svv в сообщении #1431887 писал(а):

можно воспользоваться тем, что $x^2\;dy\wedge dz\stackrel{M}{=}(4-y^2-z^2)\;dy\wedge dz$ (то есть ограничения этих форм на $M$ совпадают).

Пожалуйста, для начала найдите дифференциал формы $(4-y^2-z^2)\;dy\wedge dz$.

[Brukvalub]

Juicer в сообщении #1431901 писал(а):

Brukvalub,
Brukvalub в сообщении #1431890

писал(а):
По многим причинам. В частности, потому, что на диске изначально не задана никакая ориентация, поэтому пока бессмысленно обсуждать согласованность этой ориентации с ориентацией границы диска.
Не понимаю, что вы хотите этим сказать.

Чтобы меня понимать, процитируйте здесь точную формулировку теоремы о формуле Стокса.

[Juicer]

Brukvalub в сообщении #1431962 писал(а):

процитируйте здесь точную формулировку теоремы о формуле Стокса

Дано n-мерное ориентированное многообразие M, на котором задано ориентированное подмногообразие N и гладкая дифференциальная форма $\omega$. Тогда, если граница подмногообразия положительно ориентирована, то

$$\int_N d\omega = \int_{\partial N} \omega $$

[Otta]

Juicer
И что у Вас выступает в роли $N$ и $\partial N$ соответственно?

[Juicer]

svv в сообщении #1431939 писал(а):

Пожалуйста, для начала найдите дифференциал формы

$d((4 - y^2 - z^2) dy \wedge dz) = 0 + 2y dy \wedge dy\wedge dz - 2z dz\wedge dy \wedge dz$
Получается, дифференциал равен нулю?
Или, быть может, вы имели ввиду найти дифференциал, который равен этой форме? Тогда получится:
$(4 - y^2 - z^2)dy \wedge dz = d((4y - \frac{y^3}{3} - z^2y)dz)$

-- 26.12.2019, 04:16 --

Otta в сообщении #1431990 писал(а):

И что у Вас выступает в роли $N$ и $\partial N$ соответственно?

в качестве $\partial N$ - исходное многообразие $M^2$, в качестве $N$ - многообразие $M^3$

[Otta]

Juicer в сообщении #1431991 писал(а):

в качестве $\partial N$ - исходное многообразие $M^2$, в качестве $N$ - многообразие $M^3$

Можно явно, словами описать? Не надо пока на языке формул.

[Juicer]

Otta в сообщении #1431993 писал(а):

Можно явно, словами описать?

$\partial N$ - полусфера из начальных данных, получается, а само N - полушар

[Otta]

Juicer
Разве у полушара граница полусфера?

-- 26.12.2019, 07:34 --

Видимо, нет. И Вы об этом знаете. Так какая граница у полушара? как ориентирована эта граница? полусфера ориентирована, как надо ориентировать недостающий диск (тот самый)?

[svv]

Juicer в сообщении #1431991 писал(а):

$d((4 - y^2 - z^2) dy \wedge dz) = 0 + 2y dy \wedge dy\wedge dz - 2z dz\wedge dy \wedge dz$
Получается, дифференциал равен нулю?

Да, именно этот дифференциал я имел в виду, и он равен нулю.

(знак вот только в одном месте...)

$\begin{array}{l}d((4 - y^2 - z^2) dy \wedge dz)=\\ =d(4 - y^2 - z^2)\wedge dy\wedge dz+\begin{xy}*{(4 - y^2 - z^2)\;d(dy\wedge dz)};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}=\\ =0{\color{magenta}-}\begin{xy}*{2y dy\wedge dy\wedge dz};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}-\begin{xy}*{2z dz\wedge dy\wedge dz};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}=0\end{array}$

Смотрите, как интересно. Дифференциал исходного первого слагаемого $x^2\;dy\wedge dz$ ненулевой. Но на полусфере эта 2-форма совпадает с формой $(4 - y^2 - z^2) dy \wedge dz$, поэтому и интегралы от этих форм по полусфере совпадают. А дифференциал $(4 - y^2 - z^2) dy \wedge dz$ уже равен нулю, чем мы и воспользуемся.

Теперь, применив теорему Стокса, сравните интеграл от последней формы по полусфере и от неё же по диску. Не забудьте что-то сказать про ориентации полусферы и диска, при которых вывод будет справедлив.

[svv]

Juicer в сообщении #1431995 писал(а):

$\partial N$ - полусфера из начальных данных, получается, а само N - полушар

Как, Вы до сих пор так считаете?

[Juicer]

Otta в сообщении #1431997 писал(а):

Так какая граница у полушара?

окружность? Я уже путаюсь, извините.

svv в сообщении #1432016 писал(а):

Как, Вы до сих пор так считаете?

Я пояснил для изначального метода решения. Если применять теорему наоборот, то границей будет окружность, а само N - полусфера.

svv в сообщении #1432006 писал(а):

(знак вот только в одном месте...)

да, забыл минус перед "y"

svv в сообщении #1432006 писал(а):

Теперь, применив теорему Стокса, сравните интеграл от последней формы по полусфере и от неё же по диску.

Сейчас подумаю над этим

[svv]

Juicer в сообщении #1432019 писал(а):

Я пояснил для изначального метода решения.

Да, это корень проблемы. Сначала надо разобраться с этим.
Мы усиленно намекаем, что полусфера — это только часть границы полушара. И Вы не имеете права применять теорему Стокса к части границы, просто проигнорировав другую часть.
Пожалуйста, ответьте на вопрос, что же является границей полушара (безотносительно ко всяким теоремам Стокса)?

[Juicer]

svv в сообщении #1432025 писал(а):

Пожалуйста, ответьте на вопрос

Получается, полусфера с добавленным диском.

[svv]

Прекрасно! Если требуется полностью покрасить деревянный полушар, красить придётся не только сферическую часть, но и плоскую.

Теперь можно применять теорему Стокса к случаю, когда $\omega=(4 - y^2 - z^2) dy \wedge dz$ и $N=$ наш полушар.
Вы уже нашли, что $d\omega=0$ и $\partial N=$ полусфера $\cup$ диск.