2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение22.05.2019, 08:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4537
Даже конкретизирую вопрос.

Пусть у меня определён оператор $A:\mathscr{D}(\Omega_1)\to\mathscr{D}^\prime(\Omega_2)$.
И пусть $\phi\in\mathscr{D}^\prime(\Omega_1)$.
Я хотел бы доопределить $A\phi$ как предел в $\mathscr{D}^\prime(\Omega_2)$ последовательности $\{A\phi_k\}$, где $\{\phi_k\}\subset\mathscr{D}(\Omega_1)$ - произвольная последовательность, такая что $\{\phi_k\}\overset{\mathscr{D}^\prime(\Omega_1)}\to\phi$,
если этот предел существует и не зависит от выбора последовательности $\phi_k$.

Вопрос: насколько широк класс тех $A$ и тех $\phi$, для которых это получится сделать?
Интересуют в первую очередь операторы $A$, соответствующие фундаментальным решениям типичных уравнений, и обобщённые функции $\phi$ тоже с сингулярностями не сложнее простого или двойного слоя.

Интуитивно кажется, что раз уж на $\mathscr{D}^\prime$ даже дифференциальные операторы непрерывны, то с интегральными не должно быть особых проблем. Столь же ясно, конечно, и то, что даже если взять $\Omega_1=\Omega_2=\mathbb{R}^n$, $K_A\equiv 1$, $\phi\equiv 1$ безо всяких сингулярностей, то ничего не получится с пределом. Поэтому я и надеюсь продолжить оператор $A$ не на все $\phi$, а хотя бы на некоторые.
Существует ли какая-нибудь теория на этот счёт?
Или это делается как-то по-другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение22.05.2019, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4537
Скорее всего, так как я предложил в предыдущем сообщении, сделать ничего не получится.
Но ведь зачем это я всё спрашиваю?
Red_Herring в сообщении #1390578 писал(а):
С моей точки зрения, огромное преимущество в единообразии. Так есть интегральные операторы, сингулярные интегральные операторы дифференциальные, их композиции да суперпозиции, а с помощью обобщенных функций можно сказать "интегральный оператор с ядром Шварца .... ". Как иначе объяснить, что такое фундаментальное решение? Для каждой задачи объяснение придется придумывать отдельно, если без обобщенных функций, даже если фундаментальное решение является обычной функцией. А вот для 3D волнового уравнения (и тем паче в более высоких размерностях, оно обычной функцией и не будет).
Чтобы было действительно единообразие, нужно уметь единообразно определять все перечисленные интегральные операторы с ядром Шварца, и не только на $\mathscr{D}$, а не так чтобы для каждого оператора придумывать своё определение. Потому что иначе, может, для всех задач и можно единообразно определить фундаментальное решение (ядро интегрального оператора), но как это фундаментальное решение применять (как применять этот интегральный оператор к вообще говоря сингулярным правым частям) - по-прежнему непонятно. Можно ли здесь навести какое-то единообразие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение22.05.2019, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Mikhail_K в сообщении #1394484 писал(а):
Интуитивно кажется, что раз уж на $\mathscr{D}^\prime$ даже дифференциальные операторы непрерывны, то с интегральными не должно быть особых проблем.
Видите ли, при таком подходе все операторы "интегральные".

Есть критерии когда такой оператор как мы определили, действует из $\mathscr{D}$ в $\mathscr{Е}$ и/или из $\mathscr{E}'$ в $\mathscr{D}'$. Все остальное ... Я понимаю, Вы думаете, что решение всегда более регулярно чем правая часть. Но это далеко не так!

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение22.05.2019, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4537
Red_Herring в сообщении #1394553 писал(а):
Есть критерии когда такой оператор как мы определили, действует из $\mathscr{D}$ в $\mathscr{Е}$ и/или из $\mathscr{E}'$ в $\mathscr{D}'$.
Я правильно понял: из $\mathscr{E}^\prime$ в $\mathscr{D}^\prime$ (хотя изначально был из $\mathscr{D}$ в $\mathscr{D}^\prime$)?
Если так, то хотел бы посмотреть. Где это можно увидеть?
Red_Herring в сообщении #1394553 писал(а):
Я понимаю, Вы думаете
Я ничего не думаю.
Вы сказали, что обобщённые функции позволяют единообразно определить фундаментальное решение для любых УЧП, в частности для трёхмерного волнового уравнения, а без обобщённых функций этого не получается.
Я смотрю на трёхмерное волновое уравнение и вижу, что его фундаментальное решение сингулярное и порождает соответствующий интегральный оператор с ядром Шварца.
Но затем Вы мне говорите, что такой оператор можно применять только к правой части из $\mathscr{D}$. Какой толк от фундаментального решения, если я не могу его единообразно применить к правой части не из $\mathscr{D}$? Ведь именно для этого фундаментальное решение и нужно, в реальных задачах правая часть не принадлежит $\mathscr{D}$, а содержит $\delta$ или $\delta^\prime$. Если это приходится для каждой задачи придумывать отдельно, как фундаментальное решение применять к правым частям не из $\mathscr{D}$, то никакого единообразия я здесь не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение22.05.2019, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Mikhail_K в сообщении #1394559 писал(а):
Но затем Вы мне говорите, что такой оператор можно применять только к правой части из
. Не надо передергивать. Я сказал, что общий оператор с ядром Шварца можно применять только к регулярным функциям, получая обобщенные. Например оператор с ядром Шварца $\delta(x)\delta(y)$.
Но у волнового оператора ядро Шварца имеет волновой фронт (подмножество в $T^*(\Omega_1\times \Omega_2)$ не содержащий точек вида $(x,\xi, y,0)$ и $(x,0,y,\eta)$ и потому оператор действует из гладких в гладкие и из обобщенных в обобщенные.

Но если учесть, что существуют уравнения, которые не имеют обобщенных решений даже при некоторых гладких правых частях (например, знаменитый пример Леви), то даже оператор из гладких в обобщенные не так плох.

Mikhail_K в сообщении #1394559 писал(а):
Ведь именно для этого фундаментальное решение и нужно, в реальных задачах правая часть не принадлежит $\mathscr{D}$, а содержит $\delta$ или $\delta^\prime$
. Мне кажется что Вы слишком смело рассуждаете, что нужно и что ненужно, что считать реальной задачей, а что нет.
Mikhail_K в сообщении #1394559 писал(а):
то никакого единообразия я здесь не вижу.
Ну что я могу сказать. Не видите так не видите

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение22.05.2019, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #1394553 писал(а):
Я понимаю, Вы думаете, что решение всегда более регулярно чем правая часть. Но это далеко не так!

Верно ли, что оно не менее регулярно? Если не так, то верно ли, что оно менее регулярно в некоторой контролируемой степени (например, на фиксированный конечный порядок)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение22.05.2019, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4537

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1394566 писал(а):
Не надо передергивать.
Red_Herring в сообщении #1394566 писал(а):
Мне кажется что Вы слишком смело рассуждаете, что нужно и что ненужно, что считать реальной задачей, а что нет.
Red_Herring в сообщении #1394566 писал(а):
Ну что я могу сказать. Не видите так не видите
Стоп. Ни в коем случае не хотел Вас задеть, и прошу прощения. Я очень благодарен Вам за ответы в этой теме. Честно.

Red_Herring в сообщении #1394553 писал(а):
Есть критерии когда такой оператор как мы определили, действует из <...> $\mathscr{E}'$ в $\mathscr{D}'$.
Red_Herring в сообщении #1394566 писал(а):
Я сказал, что общий оператор с ядром Шварца можно применять только к регулярным функциям, получая обобщенные. Например оператор с ядром Шварца $\delta(x)\delta(y)$.
Но у волнового оператора ядро Шварца имеет волновой фронт (подмножество в $T^*(\Omega_1\times \Omega_2)$ не содержащий точек вида $(x,\xi, y,0)$ и $(x,0,y,\eta)$ и потому оператор действует из гладких в гладкие и из обобщенных в обобщенные.
Ну, это именно то, что меня интересует. Условия, при которых оператор с ядром Шварца действует из тех или иных пространств в те или иные пространства. И, главное, как он при этом определяется, если действует не на $\mathscr{D}$.
(Кое-что на этот счёт есть, конечно, даже у Владимирова, но мне пока что всё же кажется, что должно быть что-то более единообразное.)

Не могли бы Вы посоветовать литературу, в которой излагалось бы содержание, как минимум, двух приведённых цитат? Насколько я понимаю, в однотомнике Хёрмандера этого нет (а если, может, и есть, то точно в иных терминах).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение22.05.2019, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Munin в сообщении #1394572 писал(а):
Верно ли, что оно не менее регулярно? Если не так, то верно ли, что оно менее регулярно в некоторой контролируемой степени (например, на фиксированный конечный порядок)?
Ну например для задачи Коши для $u_{tt}-t^2u_{xx} -Au_x=f$ потеря гладкости будет пропорциональна $\operatorname{Re} A$. А как это квалифицировать решайте сами.

Mikhail_K в сообщении #1394574 писал(а):
Не могли бы Вы посоветовать литературу, в которой излагалось бы содержание, как минимум, двух приведённых цитат? Насколько я понимаю, в однотомнике Хёрмандера этого нет (а если, может, и есть, то точно в иных терминах).
Однотомник это ранние 60тые, а волновой фронт в лучшем случае поздние. Я думаю в двухтомнике Трева. Но определение обычное. Тут фокус в то, что условия на в.ф. гарантируют, что ядро Шварца не просто обобщенная функция на произведении областей, но бесконечно гладкая на одной со значениями в обобщенных функциях на другой. Это условие на в.ф. достаточное, но не необходимое.


Пример: $u_{tt}-\Delta u=0$,тогда в.ф. $u$ содержится в $\{(x,\xi; t,\tau)\colon |\tau|=|\xi|\}$ и если $u=u(x,y,t)$ удовлетворяет в.у. по $(x,t)$ и по $(y,t)$, to . $\Delta_xu=\Delta_y u$ и т.д.

Но если $u_t-\Delta u=0$, то в.ф. $u$ содержится в $\{(x,\xi; t,\tau)\colon 0=|\xi|\}$ ... и то же для Шредингерас

Но в обоих случаях то утверждение "бесконечно гладкая на одной со значениями в обобщенных функциях на другой" верно

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение22.05.2019, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4537
Red_Herring в сообщении #1394579 писал(а):
Однотомник это ранние 60тые, а волновой фронт в лучшем случае поздние. Я думаю в двухтомнике Трева.
Спасибо. Буду читать и разбираться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение22.05.2019, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring
Извините за офтопик, а не подскажете ли учебник про оператор Лапласа(Бельтрами) на дифформах на многообразиях? (+) по-русски, (+) простой для начинающих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение22.05.2019, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Munin в сообщении #1394614 писал(а):
одскажете ли учебник про оператор Лапласа(Бельтрами) на дифформах на многообразиях?
Забыл, к сожалению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение02.06.2019, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4537
Маленький вопрос.

Для уравнения акустики в неоднородной среде
$$
\frac{1}{c^2(x)}u_{tt}-\Delta u+(\nabla\ln\rho(x),\nabla u)=h(x,t)
$$
или хотя бы (в приближении $\rho(x)={\rm{const}}$)
$$
\frac{1}{c^2(x)}u_{tt}-\Delta u=h(x,t)
$$
- известно ли фундаментальное решение (как обобщённая функция от $x,\,t,\,\xi,\,\tau$)?
Если да, то где на него можно посмотреть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение02.06.2019, 01:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я боюсь, тут беда в том, что в глобальном масштабе неоднородная среда приводит к страшным явлениям: фокусировка, каустики и т. д. И построить здесь общую теорию - ого-го работка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение02.06.2019, 03:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Mikhail_K в сообщении #1397219 писал(а):
известно ли фундаментальное решение

Да, в виде интегральных операторов Фурье. Читайте Трев, т. 2.

Альтернативно: Канонический оператор Маслова, (Маслов--Федорюк)
Альтернативно, глобальная конструкция в виде интегрального оператора Фурье с комплексной фазой. Вроде бы в книге Safarov–Vassiliev, The Asymptotic Distribution of Eigenvalues of Partial Differential Operators. volume 155 of Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society (1997).

Кстати, в микролокальном анализе координаты (вкл. временную) традиционно обозначаются латинскими буквами, а греческие зарезервированы за двойственными. Поэтому фундаментальные решения будут функциями $(x, t; y, s)$.

Munin в сообщении #1397221 писал(а):
Я боюсь, тут беда в том, что в глобальном масштабе неоднородная среда приводит к страшным явлениям: фокусировка, каустики и т. д. И построить здесь общую теорию - ого-го работка.
Примерно 50 лет назад. Все эти "страшные явления" будут и для однородной среды если рассматривать неплоские волны. Вот для краевых задач это гораздо сложнее, но и то сделано для сильно выпуклой и вогнутой границ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужен ликбез по обобщённым функциям
Сообщение02.06.2019, 03:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
О! Круто!

А тогда, как я понимаю, и на многообразиях всё то же работает?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group