Даже конкретизирую вопрос.
Пусть у меня определён оператор
![$A:\mathscr{D}(\Omega_1)\to\mathscr{D}^\prime(\Omega_2)$ $A:\mathscr{D}(\Omega_1)\to\mathscr{D}^\prime(\Omega_2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf1d03b3d5b3c460e6c5c07158d2c3f82.png)
.
И пусть
![$\phi\in\mathscr{D}^\prime(\Omega_1)$ $\phi\in\mathscr{D}^\prime(\Omega_1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/f/baf6eadf4af88fc1a95e11b80c2e293a82.png)
.
Я хотел бы доопределить
![$A\phi$ $A\phi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/0/990184f4cc66b4f266943fcbff1fa15282.png)
как предел в
![$\mathscr{D}^\prime(\Omega_2)$ $\mathscr{D}^\prime(\Omega_2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/0/08010b992404ce1d58a7a0caac523f4f82.png)
последовательности
![$\{A\phi_k\}$ $\{A\phi_k\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/0/7509db04f747f1a9e15fd1dc2636295f82.png)
, где
![$\{\phi_k\}\subset\mathscr{D}(\Omega_1)$ $\{\phi_k\}\subset\mathscr{D}(\Omega_1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/0/9c02996d00bcc2be05a63a8036b7527082.png)
- произвольная последовательность, такая что
![$\{\phi_k\}\overset{\mathscr{D}^\prime(\Omega_1)}\to\phi$ $\{\phi_k\}\overset{\mathscr{D}^\prime(\Omega_1)}\to\phi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/4/9e4598a5e5f28e6993f2fdf66272a52082.png)
,
если этот предел существует и не зависит от выбора последовательности
![$\phi_k$ $\phi_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/9/a69e80fed79c7251863f7552dce583a582.png)
.
Вопрос: насколько широк класс тех
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и тех
![$\phi$ $\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/0/f50853d41be7d55874e952eb0d80c53e82.png)
, для которых это получится сделать?
Интересуют в первую очередь операторы
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, соответствующие фундаментальным решениям типичных уравнений, и обобщённые функции
![$\phi$ $\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/0/f50853d41be7d55874e952eb0d80c53e82.png)
тоже с сингулярностями не сложнее простого или двойного слоя.
Интуитивно кажется, что раз уж на
![$\mathscr{D}^\prime$ $\mathscr{D}^\prime$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/8/c485e7cdbea273cd8c3826b48534f02482.png)
даже дифференциальные операторы непрерывны, то с интегральными не должно быть особых проблем. Столь же ясно, конечно, и то, что даже если взять
![$\Omega_1=\Omega_2=\mathbb{R}^n$ $\Omega_1=\Omega_2=\mathbb{R}^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/3/0a392a753a8669ae20bc5b252bb9c2de82.png)
,
![$K_A\equiv 1$ $K_A\equiv 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/1/8015d6198444937bb8c59364b5d35d7282.png)
,
![$\phi\equiv 1$ $\phi\equiv 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/1/ad1a47929915db3977e979d3da0035a482.png)
безо всяких сингулярностей, то ничего не получится с пределом. Поэтому я и надеюсь продолжить оператор
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
не на все
![$\phi$ $\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/0/f50853d41be7d55874e952eb0d80c53e82.png)
, а хотя бы на некоторые.
Существует ли какая-нибудь теория на этот счёт?
Или это делается как-то по-другому?