Ясно, что фундаментальное решение, равно как и решения соответствующих задач Коши и краевых задач, далеко не всегда записывается в явном виде, более того, это случается крайне редко.
В общем случае это будет не свёртка, а интегральный оператор. Можно рассмотреть такой пример. Пусть
![$\Omega$ $\Omega$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9432d83304c1eb0dcb05f092d30a767f82.png)
-- ограниченная область с гладкой границей. Для любого
![$x\in \Omega$ $x\in \Omega$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/4/354ccfd5213faa5d6afd106d0ca940e382.png)
пусть
![$u_x$ $u_x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/2/2329b94074e4d98e1f473d67e62e3b3a82.png)
-- фундаментальное решение
![$-(\Delta u_x)(y)=\delta(x-y)$ $-(\Delta u_x)(y)=\delta(x-y)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/2/242ceb0ed8c9e8e3c4257b9dfbce827b82.png)
во всём пространстве (для него есть явная формула, зависящая от размерности). У этого
![$u_x$ $u_x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/2/2329b94074e4d98e1f473d67e62e3b3a82.png)
есть какое-то значение на границе
![$\partial \Omega$ $\partial \Omega$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/5/e856bc3c05b254c24bba78419c8b1e9a82.png)
, зависящее от
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
.
Пусть
![$v_x$ $v_x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/7/247357cb886ab8ec3fc406185446865982.png)
-- решение краевой задачи
![$(-\Delta v_x)(y)=0$ $(-\Delta v_x)(y)=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/4/874c6e5378a67a6f6a810cd5857f1b2282.png)
,
![$y\in \Omega$ $y\in \Omega$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/b/8cb3f805a8d0d54cce8277dfb15aa83282.png)
,
![$\left. v_x\right|_{\partial\Omega}=\left. u_x\right|_{\partial\Omega}$ $\left. v_x\right|_{\partial\Omega}=\left. u_x\right|_{\partial\Omega}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/b/0fb41ae959a66d79ece5663c893d1a7782.png)
. Заметим, что для него тоже есть более-менее явная формула (потенциал то ли простого, то ли двойного слоя).
Тогда, благодаря сокращениям на границе,
![$w_x=u_x-v_x$ $w_x=u_x-v_x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/5/7f578bb404b793097613c50cc86afc0482.png)
будет фундаментальным решением задачи Дирихле в области
![$\Omega$ $\Omega$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9432d83304c1eb0dcb05f092d30a767f82.png)
: если
![$K(x,y)=u_x(y)$ $K(x,y)=u_x(y)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/a/92a503536d5dbdec04761a653542639682.png)
, то решением уравнения
![$-\Delta u=f$ $-\Delta u=f$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/d/41da0f81d3cf8ed0e9b02032ade0884282.png)
,
![$\left. v_x\right|_{\partial\Omega}=0$ $\left. v_x\right|_{\partial\Omega}=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/8/6486fbdbad1d73bec1a484d186d3cd0a82.png)
будет
![$u(x)=\int_\Omega K(x,y)f(y)\,dy$ $u(x)=\int_\Omega K(x,y)f(y)\,dy$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/3/d333cb5323e5f153f8105fda82aab0e382.png)
. Возможно, я порядок
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
где-то перепутал, но думаю, что идея понятна (если я сейчас начну всё исправлять в процессе чтения, это только запутает).
-- Пт, 03 май 2019 08:36:33 --Например, если у меня есть задача Коши или краевая задача для УЧП (произвольная из какого-нибудь достаточно широкого класса, допускающего должные теоремы единственности), с обобщёнными начальными, граничными условиями и/или правой частью, могу ли я, скажем, каким-нибудь численным методом найти сколь угодно точное регулярное приближение решения такой задачи (вообще говоря нерегулярного) в смысле сходимости в
![$\mathscr{D}^\prime$ $\mathscr{D}^\prime$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/8/c485e7cdbea273cd8c3826b48534f02482.png)
?
В реальности никогда не бывает так, чтобы обобщённое решение было просто в классе
![$\mathscr D'$ $\mathscr D'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/5/fc58ffdc00ba192497908130e477dc0482.png)
без какой-то дополнительной информации. Обычно оно оказывается в пространстве типа Соболева, возможно с отрицательным показателем (зависит от регулярности правой части, коэффициентов, и краевых условий). Дальше можно бороться за наиболее естественное пространство, в котором задача является корректной (что фактически и означает, что её можно решать численно, обычно идёт в комплекте с разрешимостью). Для этого придуманы миллион функциональных пространств, у некоторых может быть до 10 значков.