Ясно, что фундаментальное решение, равно как и решения соответствующих задач Коши и краевых задач, далеко не всегда записывается в явном виде, более того, это случается крайне редко.
В общем случае это будет не свёртка, а интегральный оператор. Можно рассмотреть такой пример. Пусть

-- ограниченная область с гладкой границей. Для любого

пусть

-- фундаментальное решение

во всём пространстве (для него есть явная формула, зависящая от размерности). У этого

есть какое-то значение на границе

, зависящее от

.
Пусть

-- решение краевой задачи

,

,

. Заметим, что для него тоже есть более-менее явная формула (потенциал то ли простого, то ли двойного слоя).
Тогда, благодаря сокращениям на границе,

будет фундаментальным решением задачи Дирихле в области

: если

, то решением уравнения

,

будет

. Возможно, я порядок

и

где-то перепутал, но думаю, что идея понятна (если я сейчас начну всё исправлять в процессе чтения, это только запутает).
-- Пт, 03 май 2019 08:36:33 --Например, если у меня есть задача Коши или краевая задача для УЧП (произвольная из какого-нибудь достаточно широкого класса, допускающего должные теоремы единственности), с обобщёнными начальными, граничными условиями и/или правой частью, могу ли я, скажем, каким-нибудь численным методом найти сколь угодно точное регулярное приближение решения такой задачи (вообще говоря нерегулярного) в смысле сходимости в

?
В реальности никогда не бывает так, чтобы обобщённое решение было просто в классе

без какой-то дополнительной информации. Обычно оно оказывается в пространстве типа Соболева, возможно с отрицательным показателем (зависит от регулярности правой части, коэффициентов, и краевых условий). Дальше можно бороться за наиболее естественное пространство, в котором задача является корректной (что фактически и означает, что её можно решать численно, обычно идёт в комплекте с разрешимостью). Для этого придуманы миллион функциональных пространств, у некоторых может быть до 10 значков.